2022年高三數(shù)學大一輪復習 10.2排列與組合教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 10.2排列與組合教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查排列、組合的概念及其公式的推導；2.考查排列、組合的應用． 復習備考要這樣做　1.熟練掌握排列、組合公式，理解二者的差異；2.掌握一些排列、組合常見問題的解法． 1． 排列 (1)排列的定義：從n個不同元素中取出m (m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． (2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示． (3)排列數(shù)公式：A＝n(n－1)(n－2)

2、…(n－m＋1)． (4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A＝，這里規(guī)定0?。?. 2． 組合 (1)組合的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． (2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示． (3)組合數(shù)的計算公式：C＝＝＝，由于0?。?，所以C＝1. (4)組合數(shù)的性質(zhì)：①C＝C__；②C＝C__＋C__. [難點正本　疑

3、點清源] 1． 排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”．取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)是排列，如果與順序無關(guān)即是組合． 2． 求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．” 1． 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有________種． 答案　14 解析?、儆?名女生：CC＝8. ②有2名女生：CC＝6. ∴不同的選派方案有8＋6＝14(種)． 2． 5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有________種．(用數(shù)字作答) 答案　72 解析　依題意

4、得滿足題意的排法共有A－AA＝72. 3． (xx·大綱全國)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有 (　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 答案　A 解析　先排第一列，因為每列的字母互不相同，因此共有A種不同的排法． 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1種排法． 因此共有A·A·1＝12(種)不同的排列方法． 4． 用數(shù)字1、2、3、4、5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為 (　　) A．8

5、B．24 C．48 D．120 答案　C 解析　分兩步： (1)先排個位有A種排法． (2)再排前三位有A種排法，故共有AA＝48種排法． 5． (xx·浙江)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有 (　　) A．60種 B．63種 C．65種 D．66種 答案　D 解析　滿足題設(shè)的取法可分為三類： 一是四個奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個，有C＝5(種)； 二是兩個奇數(shù)加兩個偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)中任取2個，再在4個

6、偶數(shù)2,4,6,8中任取2個，有C·C＝60(種)； 三是四個偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個偶數(shù)的取法有1種， 所以滿足條件的取法共有5＋60＋1＝66(種)． 題型一　排列問題 例1　有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？ (1)甲不在中間也不在兩端； (2)甲、乙兩人必須排在兩端； (3)男女相間． 思維啟迪：這是一個排列問題，一般情況下，我們會從受到限制的特殊元素開始考慮，有時也從特殊的位置討論起．對于相鄰問題，常用“捆綁法”；對于不相鄰問題，常用“插空法”(特殊元素后考慮)；對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元

7、素先考慮)． 解　(1)方法一　(元素分析法) 先排甲有6種，其余有A種， 故共有6·A＝241 920(種)排法． 方法二　(位置分析法) 中間和兩端有A種排法，包括甲在內(nèi)的其余6人有A種排法，故共有A·A＝336×720＝241 920(種)排法． 方法三　(等機會法) 9個人的全排列數(shù)有A種，甲排在每一個位置的機會都是均等的，依題意，甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是A×＝241 920(種)． 方法四　(間接法) A－3·A＝6A＝241 920(種)． (2)先排甲、乙，再排其余7人， 共有A·A＝10 080(種)排法． (3)(插空法) 先排4名男生有A種方法

8、，再將5名女生插空，有A種方法，故共有A·A＝2 880(種)排法． 探究提高　本題集排列多種類型于一題，充分體現(xiàn)了元素分析法(優(yōu)先考慮特殊元素)、位置分析法(優(yōu)先考慮特殊位置)、直接法、間接法(排除法)、等機會法、插空法等常見的解題思路． 用0,1,3,5,7五個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字且5不在十位位置上的五位數(shù)？ 解　本題可分兩類： 第一類：0在十位位置上，這時，5不在十位位置上，所以五位數(shù)的個數(shù)為A＝24； 第二類：0不在十位位置上，這時，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，這一步有A＝3種方法．又由于0不能排在萬位位置上，所以萬位位置上只

9、能排5或1,3,7被選作十位上的數(shù)字后余下的兩個數(shù)字之一，這一步有方法A＝3(種)．十位、萬位上的數(shù)字選定后，其余三個數(shù)字全排列即可，這一步有方法A＝6(種)．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，第二類中所求五位數(shù)的個數(shù)為A·A·A＝54. 由分類加法計數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有 24＋54＝78(個)． 題型二　組合問題 例2　從7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)． (1)A，B必須當選； (2)A，B不全當選. 思維啟迪：可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法． 解　(1)由于A，B必須當選，那么從剩下的10人中選取3人即可，有C＝120(種)． (2)

10、全部選法有C種，A，B全當選有C種，故A，B不全當選有C－C＝672(種)． 探究提高　組合問題常有以下兩類題型變化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取． (2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理． 正方體六個表面的中心所確定的直線中，異面直線共有多少對？ 解　根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)的對稱性，對每一條邊，與其異面的邊有4個，

11、共有＝24對異面直線；每一條邊與相對頂點連線中的1條異面，共有12對異面直線．綜上，共有24＋12＝36對異面直線． 題型三　排列與組合的綜合應用問題 例3　4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)． (1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？ (2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？ (3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？ 思維啟迪：把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空． 解　(1)為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2,1,1的三組，然后再從3個盒子中選1個

12、放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分步乘法計數(shù)原理，共有CCC×A＝144(種)． (2)“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法． (3)確定2個空盒有C種方法． 4個球放進2個盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有·A種方法．故共有C(CCA＋·A)＝84(種)． 探究提高　排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列．

13、其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準． (1)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有 (　　) A．72種 B．96種 C．108種 D．120種 (2)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為 (　　) A．18 B．24 C．30 D．36 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)若1,3不同色，

14、則1,2,3,4必不同色，有3A＝72種涂色法；若1,3同色，有CCA＝24種涂色法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有72＋24＝96種涂色法． (2)排除法．先不考慮甲、乙同班的情況，將4人分成三組有C＝6種方法，再將三組同學分配到三個班級有A＝6種分配方法，再考慮甲、乙同班的分配方法有A＝6種，所以共有CA－A＝30種分法． 排列、組合問題計算重、漏致誤 典例：(5分)有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有________種． 易錯分析　易犯錯誤如下：先從一等品中取1個，有C種取法；再從余下的19個零件中任

15、取2個，有C種不同取法，共有C×C＝2 736種不同取法．上述做法使兩次取的一等品有了先后順序，導致取法重復． 解析　方法一　將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，由分類加法計數(shù)原理有：CC＋CC＋C＝1 136(種)． 方法二　考慮其對立事件“3個都是二等品”，用間接法：C－C＝1 136(種)． 答案　1 136 溫馨提醒　(1)排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我

16、們才能有明確的解題方向．同時解答組合問題時必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題． (2)“至少、至多型”問題不能利用分步乘法計數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件求解. 方法與技巧 1． 對于有附加條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)． 2． 排列、組合問題的求解方法與技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合

17、混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價條件． 失誤與防范 1． 解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏． 2． 解組合應用題時，應注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義． 3． 對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏． A組　專項基礎(chǔ)訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(

18、每小題5分，共20分) 1． 10名同學合影，站成了前排3人，后排7人．現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為 (　　) A．CA B．CA C．CA D．CA 答案　C 解析　從后排抽2人的方法種數(shù)是C；前排的排列方法種數(shù)是A.由分步乘法計數(shù)原理知不同調(diào)整方法種數(shù)是CA. 2． 某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位．該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有 (　　) A．36種 B．42種 C．48種 D．

19、54種 答案　B 解析　分兩類，第一類：甲排在第一位時，丙排在最后一位，中間4個節(jié)目無限制條件，有A種排法；第二類：甲排在第二位時，從甲、乙、丙之外的3個節(jié)目中選1個節(jié)目排在第一位有C種排法，其他3個節(jié)目有A種排法，故有CA種排法．依分類加法計數(shù)原理，知共有A＋CA＝42(種)編排方案． 3． (xx·課標全國)將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有 (　　) A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 答案　A 解析　分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地

20、，共有C＝2(種)選派方法； 第二步，選派兩名學生到甲地，另外兩名到乙地，共有C＝6(種)選派方法． 由分步乘法計數(shù)原理得不同的選派方案共有2×6＝12(種)． 4． (xx·北京)從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為 (　　) A．24 B．18 C．12 D．6 答案　B 解析　根據(jù)所選偶數(shù)為0和2分類討論求解． 當選0時，先從1,3,5中選2個數(shù)字有C種方法，然后從選中的2個數(shù)字中選1個排在末位有C種方法，剩余1個數(shù)字排在首位，共有CC＝6(種)方法； 當選2時，

21、先從1,3,5中選2個數(shù)字有C種方法，然后從選中的2個數(shù)字中選1個排在末位有C種方法，其余2個數(shù)字全排列，共有CCA＝12(種)方法． 依分類加法計數(shù)原理知共有6＋12＝18(個)奇數(shù)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有________種． 答案　60 解析　可先排C、D、E三人，共A種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步乘法計數(shù)原理知滿足條件的排法共有A＝60(種)． 6． 用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)

22、的四位數(shù)共有______個． 答案　324 解析　分兩大類：(1)四位數(shù)中如果有0，這時0一定排在個、十、百位的任一位上，這時，另兩位上數(shù)字又有兩種情況：①可以全是偶數(shù)；②可以全是奇數(shù)．故此時共有CAC＋CAC＝144(個)．(2)四位數(shù)中如果沒有0，這時后三位可以全是偶數(shù)，或兩奇一偶，此時共有AC＋CCAC＝180(個)．故符合題意的四位數(shù)共有：144＋180＝324(個)． 7． 5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員且1、2號中至少有1名新隊員的排法有________種． 答案　48 解析　

23、①只有1名老隊員的排法有CCA＝36(種)．②有2名老隊員的排法有CCCA＝12(種)．所以共有48種． 三、解答題(共22分) 8． (10分)有2個a,3個b,4個c共9個字母排成一排，共有多少種排法？ 解　因為a與a，b與b，c與c無區(qū)別，所以排法取決于9個位置中哪幾個排a，哪幾個排b，剩下的再排c，故共有CCC＝1 260種不同的排法． 9． (12分)某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災醫(yī)療隊，其中： (1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？

24、 (4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ 解　(1)只需從其他18人中選3人即可，共有C＝816(種)； (2)只需從其他18人中選5人即可，共有C＝8 568(種)； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加， 共有CC＋C＝6 936(種)； (4)方法一　(直接法)： 至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類： 一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外， 所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(種)． 方法二　(間接法)： 由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得C－(C＋C)＝14 656(種)． B組　

25、專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx·遼寧)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為 (　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 答案　C 解析　把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家， 所以有(3！)4種． 2． (xx·陜西)兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有 (　　) A．10種 B．15種 C．20種

26、 D．30種 答案　C 解析　由題意知比賽場數(shù)至少為3場，至多為5場． 當為3場時，情況為甲或乙連贏3場，共2種． 當為4場時，若甲贏，則前3場中甲贏2場，最后一場甲贏，共有C＝3(種)情況；同理，若乙贏也有3種情況．共有6種情況． 當為5場時，前4場，甲、乙各贏2場，最后1場勝出的人贏，共有2C＝12(種)情況． 由上綜合知，共有20種情況． 3． 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這項任務，不同的選法有 (　　) A．1 260種 B．2 025種 C．2 520種 D

27、．5 040種 答案　C 解析　第一步，從10人中選派2人承擔任務甲，有C種選派方法；第二步，從余下的8人中選派1人承擔任務乙，有C種選派方法；第三步，再從余下的7人中選派1人承擔任務丙，有C種選派方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理易得選派方法種數(shù)為C·C·C＝2 520. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同的排法種數(shù)是________． 答案　288 解析　記三名男生為甲、乙、丙，三名女生為a、b、c，先排男生，若甲在兩端有4種排法，然后3位女生去插空，排法如甲丙乙共有4AAA種，若男生

28、甲排在中間，有兩種排法，然后女生去插空，排法如乙甲丙共有2AA種排法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有4AAA＋2AA＝288(種)不同排法． 5． 用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的6位數(shù)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是________． 答案　40 解析　第一步將3,4,5,6按奇偶相間排成一列，共有2×A×A＝8(種)排法；第二步再將1,2捆綁插入4個數(shù)字產(chǎn)生的5個空位中，共有A＝5(種)插法，插入時需滿足條件相鄰數(shù)字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4個數(shù)的奇偶性確定． ∴不同的排法有8×5＝40(種)，即這樣的六位數(shù)有40個． 6．

29、某省高中學校自實施素質(zhì)教育以來，學生社團得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為________． 答案　180 解析　設(shè)五名同學分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況： (1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有C種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個社團中，有CA種方法，這時共有CCA種參加方法

30、； (2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有C種方法，甲與丁、戊分配到其他三個社團中有A種方法，這時共有CA種參加方法； 綜合(1)(2)，共有CCA＋CA＝180(種)參加方法． 三、解答題 7． (13分)男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運動員3名，女運動員2名； (2)至少有1名女運動員； (3)既要有隊長，又要有女運動員． 解　(1)第一步：選3名男運動員，有C種選法，第二步：選2名女運動員，有C種選法，故共有C·C＝120種選法． (2)方法一　(直接法)：“至少有1名女運動員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類加法計數(shù)原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246種選法． 方法二　(間接法)，不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運動員的選法有C種， 故“至少有1名女運動員”的選法有C－C＝246(種)． (3)當有女隊長時，其他人選法任意，共有C種選法，不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法，其中不含女運動員的選法有C種，故不選女隊長時共有C－C種選法．所以既有隊長又有女運動員的選法共有C＋C－C＝191(種)．