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1、2022年高考數(shù)學二輪專題復習 第二周 星期四 函數(shù)與導數(shù)習題 理
函數(shù)與導數(shù)知識(命題意圖：考查含參函數(shù)的單調區(qū)間的求解，考查應用導數(shù)解決方程解的個數(shù)問題以及不等式恒成立問題等．)
已知函數(shù)f(x)＝ex＋mx－2，g(x)＝mx＋ln x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
(2)當m＝－1時，試推斷方程|g(x)|＝＋是否有實數(shù)解；
(3)證明：在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝g(x)的圖象的上方．
(1)解 由題意可得：f′(x)＝ex＋m.
當m≥0時，f′(x) ＞0，
所以當m≥0時，函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
當m＜0時
2、，令f′(x)＞0，
即ex＋m＞0，
可得x＞ln(－m)；
令f′(x)＜0，即ex＋m＜0，
可得x＜ln(－m)．
所以當m＜0時，函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為[ln(－m)，＋∞)，
單調減區(qū)間為(－∞，ln(－m)]．
(2)解 當m＝－1時，g(x)＝－x＋ln x(x＞0)，
易得g′(x)＝－1.
令g′(x)＞0，可得0＜x＜1，
令g′(x)＜0，可得x＞1.
故g(x)在x＝1處取得極大值，亦即最大值．
即g(x)≤g(1)＝－1，∴|g(x)|≥1.
令h(x)＝＋，
所以h′(x)＝.
令h′(x)＞0，可得0＜x＜e，
令h′(x)＜
3、0，可得x＞e，
故h(x)在x＝e取得極大值，亦即最大值．
∴h(x)≤h(e)＝＋＜1.
所以方程|g(x)|＝＋無實數(shù)解．
(3)證明 由題意可知本題即證：當x∈(0，＋∞)時，
f(x)＞g(x)恒成立．
令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－ln x－2(x＞0)，
則F′(x)＝ex－＝.
令H(x)＝xex－1，
則H′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
又x∈(0，＋∞)，
∴H′(x)＞0，
∴函數(shù)H(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
∴H(0)＝－1.
又H(1)＝e－1＞0，設x0為函數(shù)H(x)的零點，
則x0∈(0，1)，
即H(x0)＝x0ex0－1＝0，
即x0ex0＝1，∴x0＝＝e－x0，ex0＝，
∴當x∈(0，x0)時，H(x)＜0，
即x∈(0，x0)時，函數(shù)F(x)單調遞減，
當x∈(x0，＋∞)時，H(x)＞0，
即x∈(x0，＋∞)時，函數(shù)F(x)單調遞增．
∴x0為函數(shù)F(x)的極小值點，亦即最小值點，
∴F(x)≥F(x0)＝ex0－ln x0－2＝
＋x0－2＞2－2＝0，
∴F(x)＞0，即x∈(0，＋∞)時，f(x)＞g(x)，
∴原題得證．
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