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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第四周 星期三 解析幾何習(xí)題 理
解析幾何知識(命題意圖：考查橢圓與圓知識的交匯，主要涉及到橢圓方程的求解，平面向量的模與數(shù)量積的轉(zhuǎn)化，直線與橢圓方程聯(lián)立，圓的方程的求解等．)
設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，B為短軸端點，且S△BF1F2＝4，離心率為，O為坐標原點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點M、N，且滿足|＋|＝|－|？若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由．
解 (1)因為橢圓C：＋＝1(a＞0，b＞0)，由題意得S△BF1F2＝×2c×b＝4，e
2、＝＝，a2＝b2＋c2，
解得橢圓C的方程為＋＝1.
(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓x2＋y2＝r2，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點M，N，
因為|＋|＝|－|，
所以有·＝0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
當切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為y＝kx＋m，
解方程組
得x2＋2(kx＋m)2＝8，
即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
則Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0，即8k2－m2＋4＞0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝；
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.
要使·＝0，需x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，
所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝≥0.
又8k2－m2＋4＞0，所以所以m2≥，
即m≥或m≤－，
因為直線y＝kx＋m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r＝，r2＝＝＝，r＝，所求的圓為x2＋y2＝，
此時圓的切線y＝kx＋m都滿足m≥或m≤－，
而當切線的斜率不存在時，切線為x＝±，與橢圓＋＝1的兩個交點為或滿足·＝0，綜上，存在圓心在原點的圓x2＋y2＝滿足條件．
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