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1、2022年高考數(shù)學 回扣突破30練 第27練 不等式選講 理
一.題型考點對對練
1.（與含絕對值不等式的解法）設函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.
（2）等價于，等價于，而，若存在實數(shù)解，則，即實數(shù)的取值范圍是.
2.（求解與絕對值不等式相關的最值問題）已知函數(shù)，且不等式的解集為， ， .
（1）求， 的值；
（2）對任意實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的最大值.
【解析】（1）若，原不等式可化為，解得，即；
若，原不等式可化為，解得，即；
若，原不等式可化為，解得，即；
綜上所述，不等式的解集為，所以， .
（2）由（1）知， ，所
2、以 ，
故， ，所以，即實數(shù)的最大值為2.
3.（證明不等式）已知為正實數(shù)，且
（1）解關于的不等式；
（2）證明：
4.（利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法）已知函數(shù)，且的解集為．
（1）求的值；
（2）若都是正實數(shù)，且，求證： ．
【解析】（I）依題意,即,∴
（II）方法1:∵，∴
，當且僅當,即時取等號
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得，當且僅當,即時取等號.
5.（利用不等式性質(zhì)比較大?。┰O不等式的解集為， 、．
（Ⅰ）證明： ；
3、（Ⅱ）比較與的大小，并說明理由．
二.易錯問題糾錯練
6.（不等式證明方法選擇不當至錯）已知函數(shù)．
(1) 解不等式；
(2) 若， ，求證： ．
【解析】（1）原不等式即為．當時，則，解得；
當時，則，此時不成立；當時，則，解得．
所以原不等式的解集為或．
（2）要證，即，只需證明．
則有
．
因為， ，則 ，所以，原不等式得證．
【注意問題】首先利用分析法將要證明的不等式進行等價變形，然后作差結(jié)合不等式的特點和題意證得等價變形后的結(jié)論即可證得原不等式成立.．
7.（混淆不等式有解與不等式恒成立至錯）已知函數(shù)（， ）的值域為．
（Ⅰ）求實數(shù)的值；
（
4、Ⅱ）若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【注意問題】依題意有．
三.新題好題好好練
8.（1）求不等式的解集；
（2）若正實數(shù)滿足，求證：．
【解析】（1）當時，，解得，∴；當時，，解得，∴；當時，，解得，舍去．綜上，．故原不等式的解集為．
（2）證明：要證，只需證，即證，即證，
而，所以成立，所以原不等式成立．
9.已知函數(shù)，若的最小值為2.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，且均為正實數(shù)，且滿足，求的最小值.
，解得或（舍）；②當時，即時，，則當時，，解得（舍）或，③當時，即，，此時，不滿足條件，綜上所述，或；
（2）由題意知，，∵當且僅當時取“”，∴，所以的最
5、小值為18
10.已知函數(shù)．
（1）若的最小值為2，求的值；
（2）若對，，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），當且僅當取介于和之間的數(shù)時，等號成立，故的最小值為，；
（2）由（1）知的最小值為，故，使成立，即 ，
，.
11.已知函數(shù).
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）記的最小值為，若正實數(shù)，，滿足，求證：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值為6，即.（或者），所以，
由柯西不等式可得
因此.
12.已知函數(shù).
(1) 若，求實數(shù)的取值范圍;
(2) 若R , 求證：.
【解析】(1) 因為，所以. ① 當時，得，解得，所以; ② 當時，得，解得，所以; ③ 當時，得，解得，所以; 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
(2) 因為R , 所以 .
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