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1、2022年高中數(shù)學(xué) 極限的概念極限的概念極限的概念教案 新人教A版選修1
教學(xué)目的:理解數(shù)列和函數(shù)極限的概念;
教學(xué)重點(diǎn):會判斷一些簡單數(shù)列和函數(shù)的極限;
教學(xué)難點(diǎn):數(shù)列和函數(shù)極限的理解
教學(xué)過程:
一、實(shí)例引入:
例:戰(zhàn)國時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭。”也就是說一根長為一尺的木棒,每天截去一半,這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去。(1)求第天剩余的木棒長度(尺),并分析變化趨勢;(2)求前天截下的木棒的總長度(尺),并分析變化趨勢。
觀察以上兩個(gè)數(shù)列都具有這樣的特點(diǎn):當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí),數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于
2、某個(gè)常數(shù)A(即無限趨近于0)。無限趨近于常數(shù)A,意指“可以任意地靠近A,希望它有多近就有多近,只要充分大,就能達(dá)到我們所希望的那么近?!奔础皠狱c(diǎn)到A的距離可以任意小。
二、新課講授
1、數(shù)列極限的定義:
一般地,如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí),無窮數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)A(即無限趨近于0),那么就說數(shù)列的極限是A,記作
注:①上式讀作“當(dāng)趨向于無窮大時(shí),的極限等于A”?!啊蕖北硎尽摆呄蛴跓o窮大”,即無限增大的意思。有時(shí)也記作當(dāng)∞時(shí),A
②引例中的兩個(gè)數(shù)列的極限可分別表示為_____________________,_________
3、___________
③思考:是否所有的無窮數(shù)列都有極限?
例1:判斷下列數(shù)列是否有極限,若有,寫出極限;若沒有,說明理由
(1)1,,,…,,… ;(2),,,…,,…;
(3)-2,-2,-2,…,-2,…;(4)-0.1,0.01,-0.001,…,,…;
(5)-1,1,-1,…,,…;
注:幾個(gè)重要極限:
(1) (2)(C是常數(shù))
(3)無窮等比數(shù)列()的極限是0,即 :
2、當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限
O
y
x
(1) 畫出函數(shù)的圖像,觀察當(dāng)自變量取正值且無限增大時(shí),函數(shù)值的變化情況
4、:函數(shù)值無限趨近于0,這時(shí)就說,當(dāng)趨向于正無窮大時(shí),函數(shù)
的極限是0,記作:
一般地,當(dāng)自變量取正值且無限增大時(shí),如果函數(shù)
的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,就說當(dāng)趨向于正無窮大時(shí),函數(shù)的極限是A,記作:
也可以記作,當(dāng)時(shí),
(2)從圖中還可以看出,當(dāng)自變量取負(fù)值而無限增大時(shí),函數(shù)的值無限趨近于0,這時(shí)就說,當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)的極限是0,記作:
一般地,當(dāng)自變量取負(fù)值而無限增大時(shí),如果函數(shù)的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,就說當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)的極限是A,記作:
也可以記作,當(dāng)時(shí),
(3)從上面的討論可以知道,當(dāng)自變量的絕對值無限增大時(shí),函數(shù)的值都無限趨近于0,
5、這時(shí)就說,當(dāng)趨向于無窮大時(shí),函數(shù)的極限是0,記作
一般地,當(dāng)自變量的絕對值無限增大時(shí),如果函數(shù)的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,就說當(dāng)趨向于無窮大時(shí),函數(shù)的極限是A,記作:
也可以記作,當(dāng)時(shí),
特例:對于函數(shù)(是常數(shù)),當(dāng)自變量的絕對值無限增大時(shí),函數(shù)的值保持不變,所以當(dāng)趨向于無窮大時(shí),函數(shù)的極限就是,即
例2:判斷下列函數(shù)的極限:
(1) (2)
(3) (4)
三、課堂小結(jié)
1、數(shù)列的極限
2、當(dāng)時(shí)函
6、數(shù)的極限
四、練習(xí)與作業(yè)
1、判斷下列數(shù)列是否有極限,若有,寫出極限
(1)1,,,…,,… ;(2)7,7,7,…,7,…;
(3);
(4)2,4,6,8,…,2n,…;
(5)0.1,0.01,0.001,…,,…;
(6)0,…,,…;
(7)…,,…;
(8)…,,…;
(9)-2, 0,-2,…,,…,
2、判斷下列函數(shù)的極限:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
補(bǔ)充:3、如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)。(1)求證:MN⊥AB;
(2)若平面PCD與平面ABCD所成的二面角為θ,
能否確定θ,使得MN是異面直線AB與PC的公垂線?
若可以確定,試求θ的值;若不能,說明理由。