2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版

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1、 第二節(jié)　基本不等式及其應(yīng)用 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第95頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． (3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 2．幾個重要的不等式(注意逆應(yīng)用) (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． (2)ab≤ (a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時

2、取等號． (3)≥(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． (4)＋≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)如果和x＋y是定值q那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． [知識拓展] 1.≤≤≤(a＞0，b＞0)． 2．不等式的恒成立、能成立、恰成立問題 (1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恒成立?f(x)min＞A； 若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f

3、(x)＜B在區(qū)間D上恒成立?f(x)max＜B. (2)能成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)＞A成立?f(x)max＞A； 若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)＜B成立?f(x)min＜B. (3)恰成立問題：不等式f(x)＞A恰在區(qū)間D上成立?f(x)＞A的解集為D； 不等式f(x)＜B恰在區(qū)間D上成立?f(x)＜B的解集為D. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的．(　　) (2)(a＋

4、b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　) (3)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．(　　) (4)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (5)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (6)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要條件．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ 2．(教材改編)設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A．80　　　　　　 B．77 C．81 D．82 C　[∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81.] 3．已知f(x)＝x＋－2(x

5、＜0)，則f(x)有(　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 C　[∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時取等號． ∴f(x)有最大值－4.] 4．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 C　[當(dāng)x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3，選C.] 5．若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是__________m2.

6、 25　[設(shè)矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m， 則y＝x(10－x)≤＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25.] (對應(yīng)學(xué)生用書第95頁) 利用基本不等式求最值 　(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，則ab的最大值為________． (2)已知x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________． (3)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140194】 (1)　(2)1　(3)5　　[(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋

7、b＝1，∴1＝4a＋b≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)4a＝b＝，即a＝，b＝時，等號成立． ∴≤，∴ab≤.∴ab的最大值為. 法二：∵4a＋b＝1， ∴ab＝·4a·b≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)4a＝b＝，即a＝，b＝(滿足a＞0，b＞0)時，等號成立，∴ab的最大值為. (2)因為x＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時，等號成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. (3)由x＋3y＝5xy可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋2＝5(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1，y＝時，等號成立)， ∴3x

8、＋4y的最小值是5.] 規(guī)律方法]　利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路： (1)對條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等. (2)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值. 易錯警示：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2018·東北三省四市模擬(一))已知a＞0，b＞0，則的最小值為(　　) A.　　　　　 B．1 C．2 D．4 (2)(2017·山東高考)若直線＋＝1(a>0，b

9、>0)過點(1,2)，則2a＋b的最小值為________． (3)(2017·四川樂山一中月考)設(shè)0＜x＜，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________． (1)D　(2)8　(3)　[(1)＝a＋2b＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＋2b＝，即a＋2b＝2時等號成立，則的最小值為4.故選D. (2)∵直線＋＝1(a>0，b>0)過點(1,2)， ∴＋＝1， ∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2，b＝4時，等號成立． 故2a＋b的最小值為8. (3)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x，即x＝時，等號成立．

10、 ∵∈， ∴函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為.] 基本不等式的實際應(yīng)用 　某化工企業(yè)2017年年底將投入100萬元，購入一套污水處理設(shè)備．該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護(hù)費，第一年的維護(hù)費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費都比上一年增加2萬元．設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費用為y(單位：萬元)． (1)用x表示y； (2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時，企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備．則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備． [解]　(1)由題意得， y＝， 即y＝x＋＋1.5(x∈N＋)． (2)由基本不

11、等式得： y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時取等號． 故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備． [易錯警示]　解實際應(yīng)用題的三個注意點 (1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. [跟蹤訓(xùn)練]　要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是(　　) A．80元 B．120

12、元 C．160元 D．240元 C　[設(shè)底面相鄰兩邊的邊長分別為x m，y m，總造價為T元，則xy·1＝4?xy＝4. T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號)． 故該容器的最低總造價是160元．] 利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍 　(1)(2017·河南平頂山一模)若對任意x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤ (2)已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝________. (1)A　(2)36　

13、[(1)∵對任意x＞0，≤a恒成立， ∴對x∈(0，＋∞)，a≥max， 而對x∈(0，＋∞)，＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時等號成立，∴a≥. (2)∵x＞0，a＞0， ∴f(x)＝4x＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)4x＝，即4x2＝a時，f(x)取得最小值． 又∵f(x)在x＝3時取得最小值， ∴a＝4×32＝36.] [規(guī)律方法]　求解含參數(shù)不等式的求解策略 (1)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍. (2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時，往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知不等式(x＋y)≥9對任意的正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實數(shù)λ的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140195】 (1)B　(2)2　[(1)(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)y＝x時取等號，所以(x＋y)·的最小值為(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故選B. (2)依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號)，即的最大值為2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值為2.] 8