2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4學(xué)習(xí)目標1.結(jié)合實際問題，了解角的概念的推廣及其實際意義.2.掌握象限角的概念(重點).3.掌握終邊相同的角的表示(重、難點)知識點1任意角的概念1角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2角的表示頂點：用O表示；始邊：用OA表示，用語言可表示為起始位置終邊：用OB表示，用語言可表示為終止位置3角的分類類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角【預(yù)習(xí)評價】(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)經(jīng)過1小

2、時，時針轉(zhuǎn)過30.()(2)終邊與始邊重合的角是零角()(3)小于90的角是銳角()提示(1)，因為是順時針旋轉(zhuǎn)，所以時針轉(zhuǎn)過30(2)，終邊與始邊重合的角是k360(kZ)(3)，銳角是指大于0且小于90的角知識點2象限角如果角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限【預(yù)習(xí)評價】思考銳角屬于第幾象限角？鈍角又屬于第幾象限角？提示銳角屬于第一象限角，鈍角屬于第二象限角知識點3終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k360，kZ，即任一與角終邊

3、相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和【預(yù)習(xí)評價】與457角的終邊相同的角的集合是()A|457k360，kZB|97k360，kZC|263k360，kZD|263k360，kZ解析由于4571360972360263，故與457角的終邊相同的角的集合是|457k360，kZ|263k360，kZ答案C題型一與任意角有關(guān)的概念辨析【例1】(1)下列說法中，正確的是_(填序號)終邊落在第一象限的角為銳角；銳角是第一象限的角；第二象限的角為鈍角；小于90的角一定為銳角；角與的終邊關(guān)于x軸對稱解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400的角是第一象限的角，但不是銳角，故的說法是錯誤的；同理第二

4、象限的角也不一定是鈍角，故的說法也是錯誤的；小于90的角不一定為銳角，比如負角，故的說法是錯誤的答案(2)如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60到OB處，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)820至OC處，則_解析AOC60(820)760，(760720)40答案40規(guī)律方法判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念(2)技巧：判斷一種說法正確需要證明，而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可【訓(xùn)練1】寫出圖(1)，(2)中的角，的度數(shù)解題干圖(1)中，36030330；題干圖(2)中，36060150150，36060()36060150570題型二終邊相同的角

5、的表示及應(yīng)用【例2】寫出終邊落在直線yx上的角的集合S，并把S中適合不等式360720的元素寫出來解直線yx與x軸的夾角是45，在0360范圍內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個：45，225.因此，終邊在直線yx上的角的集合：S|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZS中適合360720的元素是：452180315；451180135；45018045；451180225；452180405；453180585規(guī)律方法解答本題關(guān)鍵是找到0360范圍內(nèi)，終邊落在直線yx的角：45，225，再利用終邊相同的角的關(guān)系寫出符合條件的所

6、有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡【訓(xùn)練2】寫出終邊落在x軸上的角的集合S解S|k360，kZ|k360180，kZ|2k180，kZ|(2k1)180，kZ|n180，nZ.典例遷移題型三象限角和區(qū)域角的表示【例3】(1)2 017是第_象限角解析2 0176360143，143是第二象限角，所以2017為第二象限角答案二(2)已知，如圖所示分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解終邊落在OA位置上的角的集合為|9045k360，kZ|135k360，kZ，終邊落在OB位置上的角的集合為|30k360，kZ由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)

7、的角的集合是由所有介于30到135之間的與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為|30k360135k360，kZ【遷移1】若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？解在0360范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是：150225，則滿足條件的角為|k360150k360225，kZ【遷移2】若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？解由題干圖可知滿足題意的角的集合為|k36060k360105，kZk360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2

8、k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ即所求的集合為|n18060n180105，nZ規(guī)律方法表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的360360范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間x|x，其中360第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角，再加上360的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合課堂達標1下列說法正確的是()A三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B鈍角不一定是第二象限角C終邊相同的角之間相差180的整數(shù)倍D鐘表的時針旋轉(zhuǎn)而成的角是負角解析A錯，如90既不是第一象限角，也不是第二象限角；B錯，鈍角在90到180之間，是第二象限角；

9、C錯，終邊相同的角之間相差360的整數(shù)倍；D正確，鐘表的時針是順時針旋轉(zhuǎn)，故是負角答案D2378是第_象限角()A一 B二 C三 D四解析37836018，因為18是第四象限角，所以378是第四象限角答案D3把936化為k360(0360，kZ)的形式為_解析9363360144，故936化為k360(0360，kZ)的形式為144(3)360答案144(3)3604終邊在直線yx上的角的集合S_解析由于直線yx是第二、四象限的角平分線，在0360間所對應(yīng)的兩個角分別是135和315，從而S|k360135，kZ|k360315，kZ|2k180135，kZ|(2k1)180135，kZ|n1

10、80135，nZ答案|n180135，nZ5已知，如圖所示，(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解(1)終邊落在射線OA上的角的集合是|k360210，kZ終邊落在射線OB上的角的集合是|k360300，kZ(2)終邊落在陰影部分(含邊界)角的集合是|k360210k360300，kZ課堂小結(jié)1象限角的概念是以“角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合”為前提的，否則不能從終邊位置來判斷某角是第幾象限角2“銳角”，“090的角”，“小于90的角”，“第一象限角”這幾個概念注意區(qū)分：銳角是090；090的角是090；小于90的角為

11、90；第一象限的角是|k36090k360，kZ3關(guān)于終邊相同角的認識一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k360，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和注意：(1)為任意角;(2)k360與之間是“”號，k360可理解為k360();(3)相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360的整數(shù)倍;(4)kZ這一條件不能少基礎(chǔ)過關(guān)1下列說法中，正確的是()A第二象限的角都是鈍角B第二象限角大于第一象限的角C若角與角不相等，則與的終邊不可能重合D若角與角的終邊在一條直線上，則k180(kZ)解析A錯，495135

12、360是第二象限的角，但不是鈍角；B錯，135是第二象限角，36045是第一象限的角，但；C錯，360，720，則，但二者終邊重合；D正確，與的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差180的整數(shù)倍，故k180(kZ)答案D2在160；480；960；1 530這四個角中，屬于第二象限角的是()A B C D解析480120360是第二象限的角；9603360120是第二象限的角；1 530436090不是第二象限的角，故選C答案C3若是第四象限角，則180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析可以給賦一特殊值60，則180240，故180是第三象限角答案C4角，的終邊

13、關(guān)于y軸對稱，若30，則_解析30與150的終邊關(guān)于y軸對稱，的終邊與150角的終邊相同150k360，kZ答案150k360，kZ512點過小時的時候，時鐘分針與時針的夾角是_解析時鐘上每個大刻度為30，12點過小時，分針轉(zhuǎn)過90，時針轉(zhuǎn)過7.5，故時針與分針的夾角為82.5答案82.56如圖所示，寫出終邊落在直線yx上的角的集合(用0到360間的角表示)解終邊落在yx(x0)上的角的集合是S1|60k360，kZ，終邊落在yx(x0)上的角的集合是S|240k360，kZ，于是終邊在yx上角的集合是S|60k360，kZ|240k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，k

14、Z|60n180，nZ7已知角2 010(1)把改寫成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求，使與終邊相同，且360720解(1)由2 010除以360，得商為5，余數(shù)為210取k5，210，5360210又210是第三象限角，為第三象限角(2)與2 010終邊相同的角為k3602 010(kZ)令360k3602 010720(kZ)，解得6k3(kZ)所以k6，5，4將k的值代入k3602 010中，得角的值為150，210，570能力提升8若A|k360，kZ，B|k180，kZ，C|k90，kZ，則下列關(guān)系中正確的是()AABC BABC CABC DABC解

15、析由題意知集合A是終邊在x軸的非負半軸上的角的集合，集合B是終邊在x軸上的角的集合，集合C是終邊在坐標軸上的角的集合，故ABC答案D9角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則與的關(guān)系為()Ak360，kZBk360180，kZCk360180，kZDk360，kZ解析方法一(特值法)：令30，150，則180方法二(直接法)：因為角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，所以180k360，kZ，即k360180，kZ答案B10集合A|k9036，kZ，B|180180，則AB_解析當k1時，126；當k0時，36；當k1時，54；當k2時，144AB126，36，54，144答案126，36，54，14411若角的終邊

16、與60角的終邊相同，則在0360內(nèi)終邊與角的終邊相同的角為_解析由題意設(shè)60k360(kZ)，則20k120(kZ)，則當k0,1,2時，20，140，260答案20，140，26012寫出如圖所示陰影部分的角的范圍解(1)因為與45角終邊相同的角可寫成45k360，kZ的形式，與18030150角終邊相同的角可寫成150k360，kZ的形式所以圖(1)陰影部分的角的范圍可表示為|150k36045k360，kZ(2)同理可表示圖(2)中角的范圍為|45k360300k360，kZ13(選做題)如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標原點，點P從點A(1,0)出發(fā)，以逆時針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知P點在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為 (0180)，經(jīng)過2 s達到第三象限，經(jīng)過14 s后又回到了出發(fā)點A處，求解0180，且k3601802k360270，kZ，則一定有k0，于是90135又14n360(nZ)，從而90135，n，n4或5當n4時，；當n5時，