2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，了解角的概念的推廣及其實(shí)際意義.2.掌握象限角的概念(重點(diǎn)).3.掌握終邊相同的角的表示(重、難點(diǎn))． 知識(shí)點(diǎn)1　任意角的概念 1．角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． 2．角的表示 頂點(diǎn)：用O表示； 始邊：用OA表示，用語(yǔ)言可表示為起始位置． 終邊：用OB表示，用語(yǔ)言可表示為終止位置． 3．角的分類(lèi) 類(lèi)型 定義 圖示 正角 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

2、零角 一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，稱(chēng)它形成了一個(gè)零角 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】　(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30°.(　　) (2)終邊與始邊重合的角是零角．(　　) (3)小于90°的角是銳角．(　　) 提示　(1)×，因?yàn)槭琼槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)－30°． (2)×，終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z)． (3)×，銳角是指大于0°且小于90°的角． 知識(shí)點(diǎn)2　象限角 如果角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)

3、象限． 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 思考　銳角屬于第幾象限角？鈍角又屬于第幾象限角？ 提示　銳角屬于第一象限角，鈍角屬于第二象限角． 知識(shí)點(diǎn)3　終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和． 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 與－457°角的終邊相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 解析　由于－457°＝－

4、1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故與－457°角的終邊相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}． 答案　C 題型一　與任意角有關(guān)的概念辨析 【例1】　(1)下列說(shuō)法中，正確的是________(填序號(hào))． ①終邊落在第一象限的角為銳角； ②銳角是第一象限的角； ③第二象限的角為鈍角； ④小于90°的角一定為銳角； ⑤角α與－α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)． 解析　終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故①的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故③的說(shuō)法也是

5、錯(cuò)誤的；小于90°的角不一定為銳角，比如負(fù)角，故④的說(shuō)法是錯(cuò)誤的． 答案?、冖? (2)如圖，射線(xiàn)OA先繞端點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到OB處，再按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)820°至OC處，則β＝________． 解析　∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°， β＝－(760°－720°)＝－40°． 答案?。?0° 規(guī)律方法　判斷角的概念問(wèn)題的關(guān)鍵與技巧 (1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念． (2)技巧：判斷一種說(shuō)法正確需要證明，而判斷一種說(shuō)法錯(cuò)誤只要舉出反例即可． 【訓(xùn)練1】　寫(xiě)出圖(1)，(2)中的角α，β，γ的度數(shù)． 解　題干圖(1)中

6、，α＝360°－30°＝330°； 題干圖(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°， γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°． 題型二　終邊相同的角的表示及應(yīng)用 【例2】　寫(xiě)出終邊落在直線(xiàn)y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫(xiě)出來(lái)． 解　直線(xiàn)y＝x與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線(xiàn)y＝x上的角有兩個(gè)：45°，225°.因此，終邊在直線(xiàn)y＝x上的角的集合： S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋2k·180°，

7、k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}． ∴S中適合－360°≤β<720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°． 規(guī)律方法　解答本題關(guān)鍵是找到0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在直線(xiàn)y＝x的角：45°，225°，再利用終邊相同的角的關(guān)系寫(xiě)出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡(jiǎn)的還要化成最簡(jiǎn)． 【訓(xùn)練2】　寫(xiě)出終邊落在x軸上的角的集合S． 解　S＝{α

8、|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝n·180°，n∈Z}. 典例 遷移 　題型三　象限角和區(qū)域角的表示 【例3】　(1)－2 017°是第________象限角． 解析?。? 017°＝－6×360°＋143°，143°是第二象限角，所以－2017°為第二象限角． 答案　二 (2)已知，如圖所示． ①分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合． ②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合． 解?、俳K邊落在OA位置上的角的集合為{

9、α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之間的與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 【遷移1】　若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？ 解　在0°～360°范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是： 150°≤α≤225°，則滿(mǎn)足條件的角α為 {α|k·3

10、60°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}． 【遷移2】　若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？ 解　由題干圖可知滿(mǎn)足題意的角的集合為 {β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z} ＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z} 即所求的集合為{β|n·180

11、°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}． 規(guī)律方法　表示區(qū)域角的三個(gè)步驟 第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界． 第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α

12、不是第二象限角； B錯(cuò)，鈍角在90°到180°之間，是第二象限角； C錯(cuò)，終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍； D正確，鐘表的時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故是負(fù)角． 答案　D 2．－378°是第________象限角(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 解析?。?78°＝－360°－18°，因?yàn)椋?8°是第四象限角，所以－378°是第四象限角． 答案　D 3．把－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為_(kāi)_______． 解析?。?36°＝－3×360°＋144°，故－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為144°＋

13、(－3)×360°． 答案　144°＋(－3)×360° 4．終邊在直線(xiàn)y＝－x上的角的集合S＝________． 解析　由于直線(xiàn)y＝－x是第二、四象限的角平分線(xiàn)，在0°～360°間所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別是135°和315°， 從而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}． 答案　{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z} 5．已知，如圖所示， (1)寫(xiě)出終邊落在射線(xiàn)OA，OB上的角的集合

14、； (2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合． 解　(1)終邊落在射線(xiàn)OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 終邊落在射線(xiàn)OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． (2)終邊落在陰影部分(含邊界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 課堂小結(jié) 1．象限角的概念是以“角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸正半軸重合”為前提的，否則不能從終邊位置來(lái)判斷某角是第幾象限角． 2．“銳角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”這幾個(gè)概念注意區(qū)分：銳角是0°<α<90°；0°～

15、90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角為α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}． 3．關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識(shí) 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和． 注意：(1)α為任意角;(2)k·360°與α之間是“＋”號(hào)，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α); (3)相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍;(4)k∈Z這一條件不能少． 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1．下列

16、說(shuō)法中，正確的是(　　) A．第二象限的角都是鈍角 B．第二象限角大于第一象限的角 C．若角α與角β不相等，則α與β的終邊不可能重合 D．若角α與角β的終邊在一條直線(xiàn)上，則α－β＝k·180°(k∈Z) 解析　A錯(cuò)，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是鈍角； B錯(cuò)，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β； C錯(cuò)，α＝360°，β＝720°，則α≠β，但二者終邊重合； D正確，α與β的終邊在一條直線(xiàn)上，則二者的終邊重合或相差180°的整數(shù)倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)． 答案　D 2．在①160°；②480°；③－960°；

17、④1 530°這四個(gè)角中，屬于第二象限角的是(　　) A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 解析?、?80°＝120°＋360°是第二象限的角； ③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限的角； ④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限的角，故選C． 答案　C 3．若α是第四象限角，則180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角． 答案　C 4．角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，若α＝30°，則β＝________．

18、 解析　∵30°與150°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， ∴β的終邊與150°角的終邊相同． ∴β＝150°＋k·360°，k∈Z． 答案　150°＋k·360°，k∈Z 5．12點(diǎn)過(guò)小時(shí)的時(shí)候，時(shí)鐘分針與時(shí)針的夾角是________． 解析　時(shí)鐘上每個(gè)大刻度為30°，12點(diǎn)過(guò)小時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)－90°，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)－7.5°，故時(shí)針與分針的夾角為82.5°． 答案　82.5° 6．如圖所示，寫(xiě)出終邊落在直線(xiàn)y＝x上的角的集合(用0°到360°間的角表示)． 解　終邊落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{

19、α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}， 于是終邊在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 7．已知角α＝2 010°． (1)把α改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角； (2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°． 解　(1)由2 010°除以360°，得商為5，余數(shù)為210°． ∴取k＝5，β＝210°，

20、 α＝5×360°＋210°． 又β＝210°是第三象限角， ∴α為第三象限角． (2)與2 010°終邊相同的角為 k·360°＋2 010°(k∈Z)． 令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)， 解得－6≤k<－3(k∈Z)． 所以k＝－6，－5，－4． 將k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值為－150°，210°，570°． 能力提升 8．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，則下列關(guān)系中正確的是(　　) A．A＝B＝C B．A＝B∩C C．A∪B＝

21、C D．A?B?C 解析　由題意知集合A是終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合，集合B是終邊在x軸上的角的集合，集合C是終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合，故A?B?C． 答案　D 9．角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α與β的關(guān)系為(　　) A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z 解析　方法一　(特值法)：令α＝30°，β＝150°，則α＋β＝180°． 方法二　(直接法)：因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°

22、＋180°，k∈Z． 答案　B 10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，則A∩B＝________________． 解析　當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝－126°； 當(dāng)k＝0時(shí)，α＝－36°； 當(dāng)k＝1時(shí)，α＝54°； 當(dāng)k＝2時(shí)，α＝144°． ∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}． 答案　{－126°，－36°，54°，144°} 11．若角θ的終邊與60°角的終邊相同，則在0°～360°內(nèi)終邊與角的終邊相同的角為_(kāi)_______． 解析　由題意設(shè)θ＝60°＋k·360°(k∈Z)， 則＝20°＋k·120°(

23、k∈Z)， 則當(dāng)k＝0,1,2時(shí)，＝20°，140°，260°． 答案　20°，140°，260° 12．寫(xiě)出如圖所示陰影部分的角α的范圍． 解　(1)因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫(xiě)成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與－180°＋30°＝－150°角終邊相同 的角可寫(xiě)成－150°＋k·360°，k∈Z的形式．所以圖(1)陰影部分的角α的范圍可表示為{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}． (2)同理可表示圖(2)中角α的范圍為{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}． 13．(選做題)如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1,0)出發(fā)，以逆時(shí)針?lè)较虻人傺貑挝粓A周旋轉(zhuǎn)，已知P點(diǎn)在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ (0°<θ<180°)，經(jīng)過(guò)2 s達(dá)到第三象限，經(jīng)過(guò)14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，求θ． 解　∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ