2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2 1．下列說法正確的是(　　) A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處就沒有切線 B．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在 D．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在，則曲線在該點(diǎn)處就沒有切線 解析：k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只說明曲線在該點(diǎn)的切線斜率不存在，而當(dāng)

2、斜率不存在時(shí)，切線方程也可能存在，其切線方程為x＝x0. 答案：C 2．已知函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則y′|x＝2等于(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．－1 C．3 D．1 解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在點(diǎn)(2,1)處的切線斜率為y′|x＝2，又切線與3x－y－2＝0平行，∴y′|x＝2＝3. 答案：C 3．已知曲線y＝x2－2上一點(diǎn)P(1，－)，則過點(diǎn)P的切線的傾斜角為(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 解析：∵y＝x2－2， ∴y′＝li ＝li ＝li (x＋Δx)＝x. ∴y

3、′|x＝1＝1.∴點(diǎn)P(1，－)處切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45°.故選B. 答案：B 4．設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于(　　) A．1 B. C．－ D．－1 解析：令y＝f(x)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線的斜率為f′(1)，因?yàn)榍芯€與直線2x－y－6＝0平行，所以f′(1)＝2. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2， 所以f′(1)＝li ＝li ＝li ＝li (2a＋a·Δx)＝2a. 又f′(1)＝2，所以a＝1. 答案：A 5．曲線y＝在點(diǎn)處的切線方程為________． 解析：

4、k＝y(tǒng)′|x＝＝li ＝li ＝li ＝－2， ∴切線方程為y－1＝－2， 即2x＋y－2＝0. 答案：2x＋y－2＝0 6．函數(shù)y＝x2＋4x在x＝x0處的切線斜率為2，則x0＝________. 解析：2＝li ＝2x0＋4，∴x0＝－1. 答案：－1 7．曲線y＝在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為________． 解析：f′(－1)＝li ＝li ＝2， 故切線方程為y＋1＝2(x＋1)， 即2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 8．已知曲線y＝f(x)＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線的斜率為16，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)P(x0,2x＋

5、4x0)， 則f′(x0)＝li ＝li ＝4x0＋4. 又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16. ∴x0＝3.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,30)． 答案：(3,30) 9．已知曲線y＝. (1)求曲線過點(diǎn)A(1,0)的切線方程； (2)求滿足斜率為－的曲線的切線方程． 解析：(1)設(shè)過點(diǎn)A(1,0)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(a，)， 因?yàn)閘i ＝－， 所以該切線的斜率為－， 切線方程為y－＝－(x－a)，① 將A(1,0)代入①式，得a＝. 所以所求的切線方程為y＝－4x＋4. (2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，)， 由(1)知，切線的斜率為k＝－， 則－＝－，x0＝±.

6、 那么切點(diǎn)為P(，)或P′(－，－)． 所以所求的切線方程為 y＝－x＋或y＝－x－. 10．已知曲線f(x)＝，g(x)＝. (1)求兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)過兩曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切線，求出切線方程； (3)求過交點(diǎn)的f(x)的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積． 解析：(1)由得 ∴兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． (2)對(duì)曲線f(x)＝， f′(1)＝li ＝li ＝， ∴y＝f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為 y－1＝(x－1)， 即x－2y＋1＝0. 對(duì)g(x)＝，有 g′(1)＝li ＝li ＝－1， ∴g(x)在(1,1)處的切線方程為y－1＝－

7、(x－1)， 即x＋y－2＝0. (3)由(2)知y＝f(x)在(1,1)處的切線方程為x－2y＋1＝0， 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－1， ∴切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積 S＝××1＝. [B組　能力提升] 1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定 解析：f′(xA)和f′(xB)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)A、B處的切線斜率，故f′(xA)＜f′(xB)． 答案：B 2．設(shè)a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲

8、線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P到曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸的距離的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：f′(x)＝li ＝li ＝li ＝2ax＋b. ∵曲線在點(diǎn)P(x0， f(x0))處的切線的傾斜角的取值范圍為，∴0≤2ax0＋b≤1， 又點(diǎn)P到曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸的距離為 ＝. ∴∈. 答案：B 3．已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2，則＝________. 解析：li ＝li (a·Δx＋2a)＝2a＝2， ∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即＝2. 答案：2

9、 4．如圖是函數(shù)f(x)及f(x)在點(diǎn)P處切線的圖象，則f(2)＋f′(2)＝________. 解析：由題意，可得切線的方程為＋＝1，其斜率為k＝－＝－.又點(diǎn)P(2，f(2))為切點(diǎn)， ∴f′(2)＝－，且由＋＝1，解得f(2)＝. ∴f(2)＋f′(2)＝. 答案： 5．若曲線y＝上的點(diǎn)P到直線 4x＋y＋9＝0的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解析：由點(diǎn)P到直線4x＋y＋9＝0的距離最短知，過點(diǎn)P的切線與直線4x＋y＋9＝0平行．設(shè)P(x0，y0)， 則f′(x0)＝li ＝li ＝－. 由，得或. 當(dāng)P為(2,8)時(shí)，P到直線4x＋y＋9＝0的距離 d1＝＝.

10、當(dāng)P為(－2，－8)時(shí)，P到直線4x＋y＋9＝0的距離 d2＝＝. 因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (－2，－8)． 6．已知函數(shù)y＝f(x)＝－1(a＞0)的圖象在x＝1處的切線為l，求l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值． 解析：∵Δy＝－1－＋1 ＝，∴＝. 當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，趨近于，即f′(x)＝. ∴f′(1)＝.又f(1)＝－1， ∴f(x)在x＝1處的切線l的方程是： y－＋1＝(x－1)． ∴l(xiāng)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積 S＝|－－1|·|| ＝(a＋＋2)≥×(2＋2)＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝1時(shí)，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積最小，最小值為1.