《2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第十一章選修內容 11-1 坐標系《教案》》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第十一章選修內容 11-1 坐標系《教案》(8頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第十一章選修內容 11-1 坐標系教案1平面直角坐標系設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換:的作用下,點P(x,y)對應到點P(x,y),稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換2極坐標系(1)極坐標與極坐標系的概念在平面上取一個定點O,自點O引一條射線Ox,同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向),這樣就建立了一個極坐標系點O稱為極點,射線Ox稱為極軸平面內任一點M的位置可以由線段OM的長度和從射線Ox到射線OM的角度來刻畫(如圖所示)這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(,)稱為點M的極坐標稱為點M的極徑,稱為點M的
2、極角由極徑的意義可知0.當極角的取值范圍是0,2)時,平面上的點(除去極點)就與極坐標(,) (0)建立一一對應的關系我們設定,極點的極坐標中,極徑0,極角可取任意角(2)極坐標與直角坐標的互化設M為平面內的一點,它的直角坐標為(x,y),極坐標為(,)由圖可知下面關系式成立:或.這就是極坐標與直角坐標的互化公式3常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0),半徑為r的圓2rcos_()圓心為(r,),半徑為r的圓2rsin_(0)過極點,傾斜角為的直線(R) 或(R)過點(a,0),與極軸垂直的直線cos a()過點(a,),與極軸平行的直線sin
3、_a(0)1求在極坐標系中,過點(2,)且與極軸平行的直線方程解點(2,)在直角坐標系下的坐標為(2cos ,2sin ),即(0,2)過點(0,2)且與x軸平行的直線方程為y2.即為sin 2.2在極坐標系中,已知兩點A、B的極坐標分別為(3,)、(4,),求AOB(其中O為極點)的面積解由題意知A、B的極坐標分別為(3,)、(4,),則AOB的面積SAOBOAOBsinAOB34sin 3.3在以O為極點的極坐標系中,圓4sin 和直線sin a相交于A,B兩點當AOB是等邊三角形時,求a的值解由4sin 可得x2y24y,即x2(y2)24.由sin a可得ya.設圓的圓心為O,ya與x
4、2(y2)24的兩交點A,B與O構成等邊三角形,如圖所示由對稱性知OOB30,ODa.在RtDOB中,易求DBa,B點的坐標為(a,a)又B在x2y24y0上,(a)2a24a0,即a24a0,解得a0(舍去)或a3.題型一極坐標與直角坐標的互化例1(1)以直角坐標系的原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,求線段y1x(0x1)的極坐標方程(2)在極坐標系中,曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,求曲線C1和C2交點的直角坐標解(1)y1x化成極坐標方程為cos sin 1,即.0x1,線段在第一象
5、限內(含端點),0.(2)因為xcos ,ysin ,由sin2cos ,得2sin2cos ,所以曲線C1的直角坐標方程為y2x.由sin 1,得曲線C2的直角坐標方程為y1.由得故曲線C1與曲線C2交點的直角坐標為(1,1)思維升華(1)極坐標與直角坐標互化的前提條件:極點與原點重合;極軸與x軸的正半軸重合;取相同的單位長度(2)直角坐標方程化為極坐標方程比較容易,只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可;而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些,解此類問題常通過變形,構造形如cos ,sin ,2的形式,進行整體代換(1)曲線C的直角坐標方程為x2y22x0,以原點為極點,
6、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求曲線C的極坐標方程(2)求在極坐標系中,圓2cos 垂直于極軸的兩條切線方程解(1)將x2y22,xcos 代入x2y22x0,得22cos 0,整理得2cos .(2)由2cos ,得22cos ,化為直角坐標方程為x2y22x0,即(x1)2y21,其垂直于x軸的兩條切線方程為x0和x2,相應的極坐標方程為(R)和cos 2.題型二求曲線的極坐標方程例2將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1)寫出曲線C的方程;(2)設直線l:2xy20與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1
7、P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程解(1)設(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x,y),依題意,得由xy1得x2()21,即曲線C的方程為x21.(2)由解得或不妨設P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點坐標為(,1),所求直線斜率為k,于是所求直線方程為y1(x),化為極坐標方程,并整理得2cos 4sin 3,即.思維升華求曲線的極坐標方程的步驟:(1)建立適當?shù)臉O坐標系,設P(,)是曲線上任意一點;(2)由曲線上的點所適合的條件,列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關系式;(3)將列出的關系式進行整理、化簡,得出曲線的極坐標方程在極坐標系中,已知圓
8、C經過點P(,),圓心為直線sin與極軸的交點,求圓C的極坐標方程解在sin中,令0,得1,所以圓C的圓心坐標為(1,0)如圖所示,因為圓C經過點P,所以圓C的半徑PC 1,于是圓C過極點,所以圓C的極坐標方程為2cos .題型三極坐標方程的應用例3(xx課標全國)在直角坐標系xOy中,直線C1:x2,圓C2:(x1)2(y2)21,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若直線C3的極坐標方程為(R),設C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積解(1)因為xcos ,ysin ,所以C1的極坐標方程為cos 2,C2的極坐標方程為22cos 4
9、sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半徑為1,所以C2MN為等腰直角三角形,所以C2MN的面積為.思維升華(1)已知極坐標系方程討論位置關系時,可以先化為直角坐標方程;(2)在曲線的方程進行互化時,一定要注意變量的范圍,注意轉化的等價性(xx廣州調研)在極坐標系中,求直線sin()2被圓4截得的弦長解由sin()2,得(sin cos )2可化為xy20.圓4可化為x2y216,由圓中的弦長公式得:224.故所求弦長為4.在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題時,將極坐標方程化為直角坐標方程,有助于對方程所表示的曲線的
10、認識,從而達到化陌生為熟悉的目的,這是轉化與化歸思想的應用A組專項能力提升(時間:50分鐘)1(xx廣東)已知直線l的極坐標方程為2sin,點A的極坐標為,求點A到直線l的距離解依題可知直線l:2sin和點A可化為l:xy10和A(2,2),所以點A到直線l的距離為d.2在極坐標系(,)(02)中,求曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點的極坐標解曲線(cos sin )1化為直角坐標方程為xy1,(sin cos )1化為直角坐標方程為yx1.聯(lián)立方程組得則交點為(0,1),對應的極坐標為.3在極坐標系中,已知圓3cos 與直線2cos 4sin a0相切,求實數(shù)a的值解圓
11、3cos 的直角坐標方程為x2y23x,即2y2,直線2cos 4sin a0的直角坐標方程為2x4ya0.因為圓與直線相切,所以,解得a33.4在極坐標系中,求曲線2cos 關于直線對稱的曲線的極坐標方程解以極點為坐標原點,極軸為x軸建立直角坐標系,則曲線2cos 的直角坐標方程為(x1)2y21,且圓心為(1,0)直線的直角坐標方程為yx,因為圓心(1,0)關于yx的對稱點為(0,1),所以圓(x1)2y21關于yx的對稱曲線為x2(y1)21.所以曲線2cos 關于直線對稱的曲線的極坐標方程為2sin .5在極坐標系中,P是曲線C1:12sin 上的動點,Q是曲線C2:12cos()上的
12、動點,求PQ的最大值解對曲線C1的極坐標方程進行轉化:12sin ,212sin ,x2y212y0,即x2(y6)236.對曲線C2的極坐標方程進行轉化:12cos(),212(cos cossin sin),x2y26x6y0,(x3)2(y3)236,PQmax6618.6在極坐標系中,O是極點,設A(4,),B(5,),求AOB的面積解如圖所示,AOB2,OA4,OB5,故SAOB45sin 5.B組專項能力提升(時間:30分鐘)7已知P(5,),O為極點,求使POP為正三角形的點P的坐標解設P點的極坐標為(,)POP為正三角形,如圖所示,POP.或.又5,P點的極坐標為(5,)或(5
13、,)8在極坐標系中,判斷直線cos sin 10與圓2sin 的位置關系解直線cos sin 10可化成xy10,圓2sin 可化為x2y22y,即x2(y1)21.圓心(0,1)到直線xy10的距離d01.故直線與圓相交9在極坐標系中,已知三點M、N(2,0)、P.(1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標;(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上解(1)由公式得M的直角坐標為(1,);N的直角坐標為(2,0);P的直角坐標為(3,)(2)kMN,kNP.kMNkNP,M、N、P三點在一條直線上10在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos()1,M,N分別為C與x軸、y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程,并求M、N的極坐標;(2)設MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程解(1)由cos()1得(cos sin )1.從而C的直角坐標方程為xy1,即xy2.當0時,2,所以M(2,0)當時,所以N(,)(2)M點的直角坐標為(2,0)N點的直角坐標為(0,)所以P點的直角坐標為(1,)則P點的極坐標為(,),所以直線OP的極坐標方程為(R)