（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1.2 1.2.1 中心投影與平行投影 1.2.2 空間幾何體的三視圖學(xué)案 新人教A版必修2

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1、 1.2.1　中心投影與平行投影 1.2.2　空間幾何體的三視圖 目標(biāo)定位　1.了解中心投影和平行投影的意義.2.理解三視圖畫法的規(guī)則，能畫簡單幾何體的三視圖.3.能識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體. 自 主 預(yù) 習(xí) 1.投影 (1)投影的定義 由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影.其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面. (2)投影的分類 (3)當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投影線時(shí)，平行投影都具有下述性質(zhì)： ①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投影面的線段，

2、它的投影與這條線段平行且等長；④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比. 2.三視圖 (1)定義：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的正視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的俯視圖.幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖，三視圖是正投影. (2)基本特征：一個(gè)幾何體的側(cè)視圖和正視圖高度一樣，俯視圖與正視圖長度一樣，側(cè)視圖與俯視圖寬度一樣. 即 時(shí) 自 測 1.

3、判斷題 (1)正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度.(√) (2)一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖高度一樣，正視圖和側(cè)視圖長度一樣，側(cè)視圖和俯視圖寬度一樣.(×) 提示　(2)一個(gè)幾何體的側(cè)視圖和正視圖高度一樣，俯視圖與正視圖長度一樣，側(cè)視圖與俯視圖寬度一樣. 2.一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是(　　) A.球 B.三棱錐 C.正方體 D.圓柱 解析　不論圓柱如何放置，其三視圖的形狀都不會(huì)完全相同，故選D. 答案　D 3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(　　) A.①② B.①

4、③ C.①④ D.②④ 解析?、俚娜齻€(gè)視圖都是相同的，都是正方形；②的正視圖與側(cè)視圖相同，都是等腰三角形，俯視圖不同；③的三個(gè)視圖各不相同；④的正視圖與側(cè)視圖相同，都是等腰三角形，俯視圖不同.故選D. 答案　D 4.一圖形的投影是一條線段，這個(gè)圖形不可能是________(填序號(hào)). ①線段；②直線；③圓；④梯形；⑤長方體. 解析　線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內(nèi)，投影都可能為線段；長方體是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點(diǎn). 答案?、冖? 類型一　中心投影與平行投影 【例1】 下列說法中：①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影

5、線相交于一點(diǎn)；②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但平行線可能變成了相交的直線；③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線.其中正確說法的個(gè)數(shù)為(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由平行投影和中心投影的定義可知①正確；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線可能變成直線，也可能變成一個(gè)點(diǎn)，如當(dāng)投影中心在直線上時(shí)，投影為點(diǎn)；平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最后相交于一點(diǎn)，②不正確；兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線；③不正確. 答案　B 規(guī)律方法　判斷一個(gè)幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再根

6、據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來判斷. 【訓(xùn)練1】 下列命題中，正確的是(　　) A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.兩條相交直線的投影可能平行 D.如果一條線段的平行投影仍是一條線段，那么這條線段中點(diǎn)的投影必是這條線段投影的中點(diǎn) 解析　平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的形狀，因而A，B不正確.兩條相交直線的投影不可能平行，即C錯(cuò).根據(jù)平行投影的性質(zhì)，知D正確.故選D. 答案　D 類型二　畫空間幾何體的三視圖(互動(dòng)探究) 【例2】 畫出圖中正四棱錐和圓臺(tái)的三視圖.(尺寸不作嚴(yán)格要求) [思路探究] 探究點(diǎn)一　畫三視圖時(shí)

7、，三視圖的排列方法如何？ 提示　畫三視圖時(shí)，一般地，以正視圖為準(zhǔn)，側(cè)視圖在正視圖的正右方，俯視圖在正視圖的正下方. 探究點(diǎn)二　三視圖的畫法規(guī)則是什么？ 提示　三視圖的畫法規(guī)則如下： (1)正、俯視圖都反映物體的長度——長對(duì)正； (2)正、側(cè)視圖都反映物體的高度——高平齊； (3)俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度——寬相等. 解　正四棱錐的三視圖如圖所示： 圓臺(tái)的三視圖如圖所示： 規(guī)律方法　畫三視圖應(yīng)遵循的原則和注意事項(xiàng)： (1)務(wù)必做到“長對(duì)正，高平齊，寬相等”. (2)三視圖的排列方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯視圖在正視圖的正下方.

8、 (3)在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法. (4)畫完三視圖草圖后，要再對(duì)照實(shí)物圖來驗(yàn)證其正確性. 【訓(xùn)練2】 如圖是截去一角的長方體，畫出它的三視圖. 解　物體三個(gè)視圖的構(gòu)成都是矩形，長方體截去一角后，截面是一個(gè)三角形，在每個(gè)視圖中反映為不同的三角形，三視圖如圖. 類型三　由三視圖還原空間幾何體 【例3】 根據(jù)下列圖中所給出的幾何體的三視圖，試畫出它們的形狀. 解　圖(1)對(duì)應(yīng)的幾何體是一個(gè)六棱錐，圖(2)對(duì)應(yīng)的幾何體是一個(gè)三棱柱，則所對(duì)應(yīng)的空間幾何體的圖形分別為： 規(guī)律方法　由三視圖還原空間幾何體的步驟： 【訓(xùn)練3】 若將本例3(1)中的三視圖改為如

9、下三視圖，試分析該幾何體結(jié)構(gòu)特征并畫出物體的實(shí)物草圖. 　 解　由三視圖可知該幾何體為四棱錐，對(duì)應(yīng)空間幾何體如右圖： [課堂小結(jié)] 1.理解平行投影和中心投影的概念時(shí)，可以從一束光線去照射一個(gè)物體所形成的影子，研究兩者的不同之處.另外應(yīng)注意平行投影的性質(zhì)，尤其注意圖形中的直線或線段不平行于投影線的情況. 2.空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)，由空間幾何體可畫出它的三視圖，同樣由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間的相互轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)我們的幾何直觀能力和空間想象能力. 1.下列說法正確的是(　　) A.任何物體的三視圖都與物體的擺放位置有關(guān) B

10、.任何物體的三視圖都與物體的擺放位置無關(guān) C.有的物體的三視圖與物體的擺放位置無關(guān) D.正方體的三視圖一定是三個(gè)全等的正方形 解析　對(duì)于A，球的三視圖與物體擺放位置無關(guān)，故A錯(cuò)；對(duì)于B，D，正方體的三視圖與擺放位置有關(guān)，故B，D錯(cuò)；故選C. 答案　C 2.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是(　　) A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱 解析　如圖，幾何體為三棱柱. 答案　B 3.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正視圖是邊長為4的正方形，則此正三棱柱的側(cè)視圖的面積為________. 解析　由

11、正視圖可知三棱柱的高為4，底面邊長為4，所以底面正三角形的高為2，所以側(cè)視圖的面積為4×2＝8. 答案　8 4.畫出如圖所示空間圖形的三視圖(陰影部分為正面). 解　如圖所示. 基 礎(chǔ) 過 關(guān) 1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是(　　) A.棱柱 B.棱臺(tái) C.圓柱 D.圓臺(tái) 解析　先觀察俯視圖，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖還原空間幾何體. 由俯視圖是圓環(huán)可排除A，B，由正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形可排除C，故選D. 答案　D 2.已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的一個(gè)組合體，其三視圖如圖所示，則這個(gè)組合體的上、下兩部分分別是(　　)

12、A.上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱 B.上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)四棱柱 C.上部是一個(gè)三棱錐，下部是一個(gè)四棱柱 D.上部是一個(gè)三棱錐，下部是一個(gè)圓柱 解析　由幾何體的三視圖可知，該組合體的上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱. 答案　A 3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 解析　由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無實(shí)線和虛線，因此俯視圖不可能是D. 答案　D 4.若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的高(兩底面之間的距離)和底面邊長分別是________和________. 解析　三棱柱的高同

13、側(cè)視圖的高，側(cè)視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底邊長為4. 答案　2　4 5.圖①為長方體木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由______塊木塊堆成；圖②中的三視圖表示的實(shí)物為______. 解析　①中下層有3塊木塊，上層有一塊木塊，共4塊木塊. 答案　4　圓錐 6.如圖所示的螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體，試畫出它的三視圖. 解　三視圖如圖所示. 7.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖，試根據(jù)三視圖想象物體的原形，并試著畫出實(shí)物草圖. 解　由三視圖知，該物體下部為長方體、上部為一個(gè)與長方體等高的圓柱，且圓柱的下底面圓相切于長方體的上底面正方形，由此可畫出實(shí)物草圖如

14、圖. 能 力 提 升 8.用□表示1個(gè)立方體，用表示2個(gè)立方體疊加，用表示3個(gè)立方體疊加，那么如圖所示，由7個(gè)立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是圖中的(　　) 答案　B 9.一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為(　　) 解析　正視圖中小長方形在左上方，對(duì)應(yīng)俯視圖應(yīng)該在左側(cè)，排除B、D，側(cè)視圖中小長方形在右上方，排除A，故選C. 答案　C 10.如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示， 其中正視圖中△ABC是邊長為2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的側(cè)視圖的面積為________. 解析　此

15、幾何體為一個(gè)正六棱錐，其頂點(diǎn)在底面上的正投影是底面的中心，由于正視圖中△ABC是邊長為2的正三角形，其高為＝，故側(cè)視圖中三角形的高為.又俯視圖中各三角形均為正三角形，其邊長為BC＝1，故底面中心到邊的距離為.故側(cè)視圖中三角形的底邊長為，故側(cè)視圖的面積S＝××＝. 答案　 11.如圖所示是一些立體圖形的視圖，但觀察的方向不同，試說明其可能是哪一種幾何體的視圖，并畫出立體圖形的草圖. 解　從柱、錐、臺(tái)、球和三視圖各方面綜合考慮. (1)是一個(gè)圓，可能為球的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，也可能是圓柱的俯視圖，其直觀圖如下圖中①所示. (2)是一個(gè)三角形，可能是棱錐、圓錐的正視圖、側(cè)視圖，也可

16、能是三棱柱的俯視圖，其直觀圖如下圖中②所示. (3)是一個(gè)矩形，可能為四棱柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，也可能是圓柱的正視圖、側(cè)視圖，也可能是三棱柱的正視圖、俯視圖，其直觀圖如下圖中③所示. 探 究 創(chuàng) 新 12.一個(gè)物體由幾塊相同的正方體組成，其三視圖如圖所示，試據(jù)圖回答下列問題： (1)該物體有多少層？ (2)該物體的最高部分位于哪里？ (3)該物體一共由幾個(gè)小正方體構(gòu)成？ 解　(1)該物體一共有兩層，從正視圖和側(cè)視圖都可以看出來. (2)該物體最高部分位于左側(cè)第一排和第二排. (3)從側(cè)視圖及俯視圖可以看出，該物體前后一共三排，第一排左側(cè)2個(gè)，右側(cè)1個(gè)；第二排左側(cè)2個(gè)，右側(cè)沒有；第三排左側(cè)1個(gè)，右側(cè)1個(gè).該物體一共由7個(gè)小正方體構(gòu)成. 12