(浙江專版)2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點強化專題 專題2 數(shù)列 突破點5 數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用教學(xué)案

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1、突破點5數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用 (對應(yīng)學(xué)生用書第19頁)核心知識提煉提煉1 an和Sn的關(guān)系若an為數(shù)列an的通項,Sn為其前n項和,則有an在使用這個關(guān)系式時,一定要注意區(qū)分n1,n2兩種情況,求出結(jié)果后,判斷這兩種情況能否整合在一起. 提煉2求數(shù)列通項常用的方法(1)定義法:形如an1anc(c為常數(shù)),直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項不為零,直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法:形如an1anf(n),利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1),求其通項公式(3)疊乘法:形如f(n)0,利用ana1,求其通項公式(4)待定系數(shù)法:形如an1pa

2、nq(其中p,q均為常數(shù),pq(p1)0),先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant),其中t,再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解(5)構(gòu)造法:形如an1panqn(其中p,q均為常數(shù),pq(p1)0),先在原遞推公式兩邊同除以qn1,得,構(gòu)造新數(shù)列bn,得bn1bn,接下來用待定系數(shù)法求解(6)取對數(shù)法:形如an1pa(p0,an0),先在原遞推公式兩邊同時取對數(shù),再利用待定系數(shù)法求解.提煉3數(shù)列求和數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項,數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項法等,而裂項相消法,錯位相減法是常用的兩種方法.提煉4數(shù)列的綜合問題數(shù)列綜合問題的考查方

3、式主要有三種:(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小,或者是借助數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小(2)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題,此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(3)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題,此類問題大多還要借助構(gòu)造函數(shù)去證明,或者是直接利用放縮法證明或直接利用數(shù)學(xué)歸納法高考真題回訪回訪1數(shù)列求和1(2014浙江高考)已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an()bn(nN*)若an為等比數(shù)列,且a12,b36b2.(1)求an與bn;(2)設(shè)cn(nN*)記數(shù)列cn的前n項和為Sn.求Sn;求正整數(shù)k,使得對任意nN*,均有SkSn.解(1)由題意知a1a

4、2a3an()bn,b3b26,知a3()b3b28.又由a12,得公比q2(q2舍去),2分所以數(shù)列an的通項為an2n(nN*),所以,a1a2a3an2()n(n1)故數(shù)列bn的通項為bnn(n1)(nN*).5分(2)由(1)知cn(nN*),所以Sn(nN*).7分因為c10,c20,c30,c40,當(dāng)n5時,cn,9分而0,得1,11分所以,當(dāng)n5時,cn0.綜上,對任意nN*恒有S4Sn,故k4.14分回訪2數(shù)列的綜合問題2(2017浙江高考)已知數(shù)列xn滿足:x11,xnxn1ln(1xn1)(nN*)證明:當(dāng)nN*時,(1)0xn10.當(dāng)n1時,x110.假設(shè)nk時,xk0,

5、那么nk1時,若xk10,則00.3分因此xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1.因此0xn10(x0),函數(shù)f(x)在0,)上單調(diào)遞增,所以f(x)f(0)0,因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0,故2xn1xn(nN*).10分(3)證明:因為xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1,所以xn.由2xn1xn得20,13分所以22n12n2,故xn.綜上,xn(nN*).15分3(2016浙江高考)設(shè)數(shù)列an滿足1,nN*.(1)證明:|an|2n1(|a1|2),nN*;(2)若|an|n,nN*,證明:|an|2,nN*.證明(1)由1,得|an

6、|an1|1,故,nN*,2分所以n,故|an|n,均有|an|2,取正整數(shù)m0log且m0n0,11分則2n0m02n0log|an0|2,與式矛盾綜上,對于任意nN*,均有|an|2.15分 (對應(yīng)學(xué)生用書第21頁)熱點題型1數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系題型分析:以數(shù)列中an與Sn間的遞推關(guān)系為載體,考查數(shù)列通項公式的求法,以及推理論證的能力.【例1】數(shù)列an中,a11,Sn為數(shù)列an的前n項和,且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項公式 【導(dǎo)學(xué)號:68334070】解由已知,當(dāng)n2時,1,所以1,2分即1,所以.4分又S1a11,所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,6分所

7、以1(n1),即Sn.8分所以當(dāng)n2時,anSnSn1.12分因此an15分方法指津給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.提醒:在利用anSnSn1(n2)求通項公式時,務(wù)必驗證n1時的情形 變式訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列an前n項和為Sn,若Sn2an2n ,則Sn_. 【導(dǎo)學(xué)號:68334071】(2)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且2Sn23an(nN*),則an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得當(dāng)n1時

8、,S1a12;當(dāng)n2時,Sn2(SnSn1)2n,即1,所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,則n,Snn2n(n2),當(dāng)n1時,也符合上式,所以Snn2n(nN*)(2)因為2Sn23an,所以2Sn123an1,由,得2Sn12Sn3an13an,所以2an13an13an,即3.當(dāng)n1時,22S13a1,所以a12,所以數(shù)列an是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,所以an23n1(nN*)熱點題型2裂項相消法求和題型分析:裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后,某些項可以相互抵消從而求和的方法,主要適用于(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.【例2】已知等差數(shù)列an的公差d0,它的前

9、n項和為Sn,若S570,且a2,a7,a22成等比數(shù)列,(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列的前n項和為Tn,求證:Tn.解(1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S55a3,a314,1分又a2,a7,a22成等比數(shù)列,即aa2a22.2分由(a16d)2(a1d)(a121d)且d0,解得a1d,a16,d4.4分故數(shù)列an的通項公式為an4n2,nN*.6分(2)證明:由(1)得Sn2n24n,8分Tn1.11分又TnT1,所以Tn.15分方法指津裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1,kN*)的形式,常見的裂項方式有:提醒:在裂項變形時,務(wù)必注意裂項前后系數(shù)的變化.變

10、式訓(xùn)練2(名師押題)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,且a1a49,a2a38.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和,bn,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由題設(shè)知a1a4a2a38,2分又a1a49,可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2,故ana1qn12n1.6分(2)Sn2n1.8分又bn,12分所以Tnb1b2bn1.15分熱點題型3錯位相減法求和題型分析:限于數(shù)列解答題的位置較為靠前,加上錯位相減法的運算量相對較大,故該命題點出現(xiàn)的頻率不高,但其仍是命題的熱點之一,務(wù)必加強訓(xùn)練.【例3】已知數(shù)列an和bn滿足a12,b11,an12an(nN*),b1b2

11、b3bnbn11(nN*)(1)求an與bn;(2)記數(shù)列anbn的前n項和為Tn,求Tn.解(1)由a12,an12an,得an2n(nN*).2分由題意知:當(dāng)n1時,b1b21,故b22.3分當(dāng)n2時,bnbn1bn.4分整理得,所以bnn(nN*).6分(2)由(1)知anbnn2n,因此Tn2222323n2n,2Tn22223324n2n1,10分所以Tn2Tn222232nn2n1.12分故Tn(n1)2n12(nN*).15分方法指津運用錯位相減法求和應(yīng)注意:一是判斷模型,即判斷數(shù)列an,bn中一個為等差數(shù)列,一個為等比數(shù)列;二是錯開位置,一般先乘以公比,再把前n項和退后一個位置

12、來書寫,這樣避免兩式相減時看錯列;三是相減,相減時一定要注意式中最后一項的符號,考生常在此步出錯,一定要細(xì)心提醒:為保證結(jié)果正確,可對得到的和取n1,2進行驗證變式訓(xùn)練3已知在公比大于1的等比數(shù)列an中,a2,a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個零點(1)求數(shù)列an 的通項公式;(2)求數(shù)列2nan的前n項和Sn.解(1)因為a2,a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個零點,且等比數(shù)列an的公比q大于1,所以a22,a48,2分所以q2,所以數(shù)列an的通項公式為an2n1(nN*).6分(2)由(1)知2nann2n ,所以Sn12222n2n,7分2Sn122223(n1)2nn2n1

13、,11分由,得Sn222232nn2n1n2n1,13分所以Sn2(n1)2n1(nN*).15分熱點題型4數(shù)列的綜合問題題型分析:數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題多為解答題.難度偏大,屬中高檔題,常有以下兩個命題角度:(1)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題;(2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題.【例4】(2017紹興市方向性仿真考試)已知數(shù)列an滿足,a11,an.(1)求證:an1;(2)求證:|an1an|;(3)求證:|a2nan|. 【導(dǎo)學(xué)號:68334072】證明(1)由已知得an1,又a11,所以a2,a3,a4,猜想an1.2分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時,命題顯然成立;假設(shè)

14、nk時,有an1成立,則當(dāng)nk1時,ak11,ak1,即當(dāng)nk1時也成立,所以對任意nN*,都有an1.5分(2)當(dāng)n1時,|a2a1|,當(dāng)n2時,11,7分|an1an|anan1|n1|a2a1|n1.綜上所述,|an1an|.10分(3)當(dāng)n1時,|a2a1|;11分當(dāng)n2時,|a2nan|a2na2n1|a2n1a2n2|an1an|n12n13.15分方法指津解決數(shù)列與不等式的綜合問題時,如果是證明題,要靈活的選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法及數(shù)學(xué)歸納法等;如果是解不等式問題,要使用解不等式的各種解法,如列表法、因式分解法、穿根法等,總之解決這類問題把數(shù)

15、列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了.變式訓(xùn)練4(2017臺州市高三年級調(diào)考)已知數(shù)列an滿足:an0,an12(nN*)(1)求證:an2an12(nN*);(2)求證:an1(nN*)證明(1)由an0,an12,得an122.2分因為2an22(由題知an1an2),所以an2an12.4分(2)法一:假設(shè)存在aN1(N1,NN*),由(1)可得當(dāng)nN時,anaN11.6分根據(jù)an1110,而an1,所以1,于是1,1.10分累加可得n1.(*)由假設(shè)可得aNn10,12分而當(dāng)n1時,顯然有n10,因此有n1,這顯然與(*)矛盾所以an1(nN*).15分法二:假設(shè)存在aN1(N1,NN*),由(1)可得當(dāng)nN時,0anaN11.6分根據(jù)an1110,而an1,所以,所以1.于是1an(1an1),1an1(1an2),1aN2(1aN1).10分累乘可得1an(1aN1)nN1,(*)由(1)可得1an1,12分而當(dāng)n N1時,則有(1aN1)nN11,這顯然與(*)矛盾所以an1(nN*).15分11

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