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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題突破練24 7.1-7.3 組合練 理
一、選擇題(共9小題,滿分45分)
1.(2018浙江卷,2)雙曲線-y2=1的焦點坐標是( )
A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2)
2.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=( )
A.- B.- C. D.2
3.(2018北京卷,理7)在平面直角坐標系中,記d為點P(cos θ,sin θ)到直線x-my-2=0的距離.當θ,m變化時,d的最大值
2、為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知點P在拋物線x2=4y上,則當點P到點Q(1,2)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為( )
A.(2,1) B.(-2,1)
C. D.
5.(2018河北唐山三模,理5)已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1,l2,若E的一個焦點F關于l1的對稱點F'在l2上,則E的離心率為( )
A. B.2 C. D.
6.(2018百校聯(lián)盟四月聯(lián)考,理6)已知點F1,F2是雙曲線C:=1(a>0)的左、右焦點,點P是以F1,F2為直徑的圓與雙曲線C的一個交點,若△PF1F2的面積為4,則雙
3、曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
7.(2018福建龍巖4月模擬,理9)已知以圓C:(x-1)2+y2=4的圓心為焦點的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點,B點是拋物線C2:x2=8y上任意一點,BM與直線y=-2垂直,垂足為M,則|BM|-|AB|的最大值為( )
A.1 B.2 C.-1 D.8
8.設拋物線y2=4x的焦點為F,過點M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于C點,|BF|=3,則△BCF與△ACF的面積之比=( )
A. B. C. D.
9.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F
4、作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為( )
A.16 B.14 C.12 D.10
二、填空題(共3小題,滿分15分)
10.已知P是拋物線y2=4x上任意一點,Q是圓(x-4)2+y2=1上任意一點,則|PQ|的最小值為 .?
11.(2018遼寧撫順一模,文15)已知焦點在x軸上的雙曲線C的左焦點為F,右頂點為A,若線段FA的垂直平分線與雙曲線C沒有公共點,則雙曲線C的離心率的取值范圍是 .?
12.(2018江蘇卷,12)在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限
5、內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若=0,則點A的橫坐標為 .?
三、解答題(共3個題,分別滿分為13分,13分,14分)
13.
(2018河南鄭州一模,理20)已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以F1F2為直徑的圓與直線ax+2by-ab=0相切.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)如圖,過F1作直線l與橢圓分別交于兩點P,Q,若△PQF2的周長為4,求的最大值.
14.(2018河北石家莊一模,理20)已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,
6、且離心率為,M為橢圓上任意一點,當∠F1MF2=90°時,△F1MF2的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點,延長直線AF1,AF2分別與橢圓交于點B,D,設直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2為定值.
15.(2018安徽江淮十校4月聯(lián)考,理20)已知離心率為的橢圓C焦點在y軸上,且橢圓4個頂點構成的四邊形面積為4,過點M(0,3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設P為橢圓上一點,且=λ(O為坐標原點).求當|AB|<時,實數(shù)λ的取值
7、范圍.
參考答案
專題突破練24 7.1~7.3組合練
1.B 解析 ∵a2=3,b2=1,
∴c2=a2+b2=3+1=4.∴c=2.
又焦點在x軸上,
∴焦點坐標為(-2,0),(2,0).
2.A 解析 由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圓心坐標為(1,4).因為圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,所以=1,解得a=-,故選A.
3.C 解析 設P(x,y),則x2+y2=1.即點P在單位圓上,點P到直線x-my-2=0的距離可轉化為圓心(0,
8、0)到直線x-my-2=0的距離加上(或減去)半徑,所以距離最大為d=1+=1+當m=0時,dmax=3.
4.D 解析 如圖,由幾何性質(zhì)可得,從Q(1,2)向準線作垂線,其與拋物線交點就是所求點,將x=1代入x2=4y,可得y=,點P到點Q(1,2)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為,故選D.
5.B 解析 不妨設右焦點F(c,0)關于l1:y=x的對稱點在l2:y=-x上,設對稱點F'的坐標為m,-m,
則
即
解得b2=3a2,所以c2=4a2,e=2.
6.C 解析 由點P是以F1,F2為直徑的圓與雙曲線C的一個交點,可得PF1⊥PF2,設|PF
9、1|=m,|PF2|=n,則|m-n|=2,m2+n2=4(2a+1),所以△PF1F2的面積為S=mn==a=4,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x=±x,故選C.
7.A 解析 因為C:(x-1)2+y2=4的圓心為(1,0),所以以(1,0)為焦點的拋物線方程為y2=4x,
由解得A(1,2),拋物線C2:x2=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=-2,即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1,
當且僅當A,B,F(A在B,F之間)三點共線,可得最大值1,故選A.
8.D 解析 ∵拋物線的方程為y2=4x,
∴拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.
10、
如圖,設A(x1,y1),B(x2,y2),
過A,B分別向拋物線的準線作垂線,垂足分別為E,N,則|BF|=|BN|=x2+1=3,∴x2=2.
把x2=2代入拋物線y2=4x,得y2=-2,∴直線AB過(,0),(2,-2),kAB==2+2),
則直線方程為y=2+2)(x-).把x=代入直線方程,得+2)y2-2y-4+2)=0,則y1y2=-4,即-2y1=-4,
∴y1=,代入y2=4x,得x1=,故A,∴AE=+1=
9.A 解析 方法一:由題意,易知直線l1,l2斜率不存在時,不合題意.
設直線l1方程為y=k1(x-1),聯(lián)立拋物線方程,得
消去y,
11、得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=同理,直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=
由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,當且僅當k1=-k2=1(或-1)時,取得等號.
方法二:如圖所示,
由題意可得F(1,0),設AB傾斜角為作AK1垂直準線,AK2垂直x軸,結合圖形,根據(jù)拋物線的定義,可得
所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=同理可得|BF|=,
所以|AB|=
又DE與AB垂直,即DE的傾斜角為+θ,則|DE|=,
所以|AB|+|DE|=16,當θ=時取等號,即|AB|+|DE|最小值為1
12、6,故選A.
10.2-1 解析 設P點坐標為m2,m,圓(x-4)2+y2=1的圓心為A(4,0),
|PA|2=m2-42+m2
=(m2-8)2+12≥12,
則|PQ|min=|PA|min-1=2-1.
11.(1,3) 解析 ∵F(-c,0),A(a,0),
∴線段FA的垂直平分線為x=,
∵線段FA的垂直平分線與雙曲線C沒有公共點,∴-a<<0,即c<3a,
∴e=<3,又e>1,∴10),則由圓心C為AB的中點得C,☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.將其與y=2x聯(lián)立解得xD=1,D(1,2).因
13、為=(5-a,-2a),=0,所以(5-a)+(-2a)(2-a)=0,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.因為a>0,所以a=3.
13.解 (1)由題意=c,即3a2b2=c2(a2+4b2)=(a2-b2)(a2+4b2).
所以a2=2b2,∴e=
(2)∵△PQF2的周長為4,
∴4a=4,∴a=
由(1)知b2=1,橢圓方程為+y2=1,且焦點F1(-1,0),F2(1,0),
①若直線l斜率不存在,則可得l⊥x軸,方程為x=-1,P-1,,Q-1,-,=-2,,=-2,-,故=4-
②若直線l斜率存在,設直線l的方程為y=k(x+1),由
消去y得(2k2
14、+1)x2+4k2x+2k2-2=0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=
=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2.
則=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1.
代入韋達定理可得=(k2+1)+(k2-1)-+k2+1=,
由k2>0可得-1,,結合當k不存在時的情況,得-1,,
所以的最大值為
14.解 (1)設|MF1|=r1,|MF2|=r2,由題知
解得a=,c=1,則b2=1,∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)設A(x0,y0)(x0·y0≠0),B(x1,y1),C(x2,y
15、2),當直線AF1的斜率不存在時,設A-1,,則B-1,-,直線AF2的方程為y=-(x-1),代入+y2=1,可得5x2-2x-7=0.∴x2=,y2=-,則D,-.
∴直線BD的斜率為k1=,直線OA的斜率為k2=-,
∴k1·k2=-=-
當直線AF2的斜率不存在時,同理可得k1·k2=-當直線AF1,AF2的斜率存在時,x0≠±1,設直線AF1的方程為y=(x+1),則由消去x可得[(x0+1)2+2]x2+4x+2-2(x0+1)2=0,
又=1,則2=2-,
代入上述方程可得(3+2x0)x2+2(2-)x-3-4x0=0,
∴x1·x0=,
∴x1=,
則y1=+
16、1=-,∴B-,-,
設直線AF2的方程為y=(x-1),同理可得D,
∴直線BD的斜率為k1=,
∵直線OA的斜率為k2=,
∴k1·k2==-
所以,直線BD與OA的斜率之積為定值-,即k1·k2=-
15.解 (1)設橢圓的方程為=1,由題意可知e2=,得,a=2b;
又頂點構成的四邊形是菱形,面積S=2ab=4,∴a=2,b=1,橢圓方程為x2+=1.
(2)設直線AB的方程為x=0或x=0,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),
當AB的方程為x=0時,|AB|=4>,與題意不符.
當AB的方程為y=kx+3時,由題設可得A,B的坐標是方程組的解.
17、
消去y得(4+k2)x2+6kx+5=0,Δ=36k2-20(4+k2)>0,即k2>5,
則x1+x2=,x1·x2=,y1+y2=(kx1+3)+(kx2+3)=,
∵|AB|=
<,
,
解得-