（江蘇專用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第40講 一元二次不等式學(xué)案

5、)<0 {x|a0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式. 考點(diǎn)一　一元二次不等式及分式不等式的解法 【例1】 解下列關(guān)于x的不等式. (1)－6x2－5x＋1<0; (2)≤3. 解　(1)原不等式轉(zhuǎn)化為6x2＋5x－1>0，方程6x2＋5x－1＝0的解為x1＝，x2＝ －1.根據(jù)y＝6x2＋5x－1的圖象，可得原不等式的解集為. (2)原

6、不等式變形為－3≤0，即≥0， 所以原不等式的解集為. 規(guī)律方法　(1)可通過(guò)解相應(yīng)一元二次方程的根，再畫(huà)出相應(yīng)二次函數(shù)的圖象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有兩種方法：方法一是轉(zhuǎn)化變形為<0(a0(a1時(shí)，x2－(a＋1)

7、x＋a<0的解集為{x|11. 若a<0，原不等式等價(jià)于(x－1)>0， 解得x<或x>1. 若a>0，原不等式等價(jià)于(x－1)<0. ①當(dāng)a＝1時(shí)，＝1，(x－1)<0無(wú)解； ②當(dāng)a>1時(shí)，<1，解(x－1)<0，得1，解(x－1)<0， 得11}； 當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x>1}； 當(dāng)0

8、<1時(shí)，解集為； 當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?； 當(dāng)a>1時(shí)，解集為. 規(guī)律方法　1.利用f′(x)≥0(f′(x)≤0)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，常轉(zhuǎn)化為含參的一元一次不等式或一元二次不等式的求解問(wèn)題． 2.含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論． (1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論； (2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式； (3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集． 【

9、訓(xùn)練1】 (1)求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集. (2)解關(guān)于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R). 解　(1)∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 得x1＝－，x2＝. ①當(dāng)a＞0時(shí)，－＜，解集為； ②當(dāng)a＝0時(shí)，x2＞0，解集為{x|x∈R，且x≠0}； ③當(dāng)a＜0時(shí)，－＞，解集為. 綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為 ； 當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠0}； 當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為. (2)①當(dāng)k＝0時(shí)，不等式的解為x＞0. ②當(dāng)k＞0時(shí)，若

10、Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1時(shí)， 不等式的解為＜x＜； 若Δ≤0，即k≥1時(shí)，不等式無(wú)解. ③當(dāng)k＜0時(shí)，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0時(shí)，不等式的解為x＜或x＞； 若Δ＜0，即k＜－1時(shí)，不等式的解集為R； 若Δ＝0，即k＝－1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠－1}. 綜上所述，k≥1時(shí)，不等式的解集為?； 0＜k＜1時(shí)，不等式的解集為 ； k＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞0}； 當(dāng)－1＜k＜0時(shí)，不等式的解集為 ； k＝－1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠－1}； k＜－1時(shí)，不等式的解集為R. 考點(diǎn)三　三個(gè)二次的關(guān)系 【例3】 已知函數(shù)f(x)＝2x2＋

11、bx＋c(b，c∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)

12、次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)若x1，x2為ax2＋bx＋c＝0(a≠0)兩根，則|x1－x2|＝＝＝＝. 考點(diǎn)四　一元二次不等式的應(yīng)用 【例4】 某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià). (1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫(xiě)出定義域； (2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍. 解　(1)由題意得y＝100·100. 因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以100－80≥0. 即x≤2， 所以y＝f(x)＝40(10－

13、x)(25＋4x)， 定義域?yàn)閇0，2]. (2)由題意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 化簡(jiǎn)得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 所以x的取值范圍是. 規(guī)律方法　求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟 (1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系. (2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. (3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義. (4)回歸實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果. 【訓(xùn)練2】 甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得的

14、利潤(rùn)是100(5x＋1－)元. (1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，求x的取值范圍； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn). 解　(1)根據(jù)題意得 200(5x＋1－)≥3 000， 整理得5x－14－≥0， 即5x2－14x－3≥0， 又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. 即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，x的取值范圍是[3，10]. (2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則 y＝·100 ＝9×104 ＝9×104， 故當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝457 500元. 即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度

15、生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為457 500元. 一、必做題 1.(教材改編)不等式－3x2＋5x－4＞0的解集為_(kāi)_______. 解析　原不等式變形為3x2－5x＋4＜0. 因?yàn)棣ぃ?－5)2－4×3×4＝－23＜0， 所以3x2－5x＋4＝0無(wú)解. 由函數(shù)y＝3x2－5x＋4的圖象可知3x2－5x＋4＜0的解集為?. 答案　? 2.(教材改編)不等式≤0的解集為_(kāi)_______. 解析　原不等式等價(jià)于 即即－

16、析　由題意知a＝0時(shí)，滿足條件. 當(dāng)a≠0時(shí)，由 得00)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________. 解析　由x2－2ax－8a2<0， 得(x＋2a)(x－4a)<0，因?yàn)閍>0

17、， 所以不等式的解集為(－2a，4a)， 即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15， 得4a－(－2a)＝15，解得a＝. 答案　 6.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，則不等式x2－bx－a<0的解集是________. 解析　由題意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根， 所以由根與系數(shù)的關(guān)系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即為x2－5x＋6<0，解集為(2，3). 答案　(2，3) 7.某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3 860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九

18、、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7 000萬(wàn)元，則x的最小值是________. 解析　由題意得， 3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000， 化簡(jiǎn)得(x%)2＋3·x%－0.64≥0， 解得x%≥0.2，若x%≤－3.2(舍去).∴x≥20，即x的最小值為20. 答案　20 8.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則a的值為_(kāi)_______ 解析　若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則x2－2ax＋a＝－1有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝. 答案　

19、 9.已知f(x)＝則不等式f(x2－x＋1)<12的解集是________. 解析　由題意得當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，且f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，且f(x)單調(diào)遞增，因?yàn)?2＋0＝－02＋0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(3)＝12，所以 f(x2－x＋1)<12?f(x2－x＋1)

20、，得<0， 即(ax－2)(x－1)<0. 當(dāng)＝1，即a＝2時(shí)，解集為?； 當(dāng)>1，即02時(shí)，解集為； 當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x>1}； 當(dāng)a<0時(shí)，解集為. 二、選做題 11.解關(guān)于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R). 解　原不等式可化為(ax－1)(x－2)＜0. (1)當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式可以化為a(x－2)＜0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，這個(gè)不等式等價(jià)于(x－2)·＜0.因?yàn)榉匠?x－2)＝0的兩個(gè)根分別是2，，所以當(dāng)0＜a＜時(shí)，2＜，則原不等式的解集是；當(dāng)a＝時(shí)，原不等式的解集是?； 當(dāng)a＞時(shí)，＜2，則原不等式的解集

21、是. (2)當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式為－(x－2)＜0，解得x＞2， 即原不等式的解集是{x|x＞2}. (3)當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式可以化為a(x－2)＜0， 根據(jù)不等式的性質(zhì)，這個(gè)不等式等價(jià)于(x－2)·＞0， 由于＜2，故原不等式的解集是. 綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞2}；當(dāng)0＜a＜時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a＝時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a＞時(shí)，不等式的解集為. 12.(揚(yáng)州市2018屆高三上學(xué)期期中)函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x－8)的定義域?yàn)锳，函數(shù)g(x)＝x2＋(m＋1)x＋m. (1)若m＝－4時(shí)，g(x)≤0的解集為B，求A∩B； (2)若存在x∈使得不等式g(x)≤－1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解　(1)由x2＋2x－8>0，解得x<－4或x>2，則A＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)， 若m＝－4，g(x)＝x2－3x－4，由x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，則B＝[－1，4]，所以A∩B＝(2，4]. (2)存在x∈使得不等式x2＋(m＋1)x＋m≤－1成立，即存在x∈，使得不等式－m≥成立，所以－m≥， 因?yàn)椋絰＋＝x＋1＋－1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝1，即x＝0時(shí)取得等號(hào)，所以－m≥1，解得m≤－1. 即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1]. 11