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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第6課時 直接證明與間接證明練習(xí) 理
1.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:0 B.a(chǎn)-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
答案 C
解析 0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
2.要證a2+b2-1-a2b2≤0只要證明(
2、 )
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a(chǎn)2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
答案 D
3.下列不等式不成立的是( )
A.2
C.233<322 D.sin1>cos1
答案 B
4.若實數(shù)a,b滿足a+b<0,則( )
A.a(chǎn),b都小于0 B.a(chǎn),b都大于0
C.a(chǎn),b中至少有一個大于0 D.a(chǎn),b中至少有一個小于0
答案 D
解析 假設(shè)a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設(shè)錯誤,即a,b中至少有一個小于0.
5.若P=+,Q=+(a≥0),則P,Q
3、的大小關(guān)系是( )
A.P>Q B.P=Q
C.P
4、7.若a>0,b>0,a+b=1,則下列不等式不成立的是( )
A.a(chǎn)2+b2≥ B.a(chǎn)b≤
C.+≥4 D.+≤1
答案 D
解析 a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2·()2=,∴A成立;
ab≤()2=,∴B成立;
+==≥=4,∴C成立;
(+)2=a+b+2=1+2>1,∴+>1,故D不成立.
8.(2018·廣東模擬)設(shè)x,y,z∈R+,a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a,b,c三個數(shù)( )
A.至少有一個不大于2 B.都小于2
C.至少有一個不小于2 D.都大于2
答案 C
解析 假設(shè)a,b,c三個數(shù)都小于2.
則6>
5、a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,
即6>6,矛盾.
所以a,b,c三個數(shù)中至少有一個不小于2.
9.設(shè)a>0,b>0,求證:lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)].
答案 略
證明 要證lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)],
只需證1+≤,
即證:(1+)2≤(1+a)(1+b),
即證:2≤a+b,
而2≤a+b成立,
∴l(xiāng)g(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)].
10.(2017·江蘇鹽城一模)已知x1,x2,x3為正實數(shù),若x1+x2+x3=1,求證:++≥1.
答案 略
解析 ∵+x1++x2++x3≥2+2+2=2
6、(x1+x2+x3)=2,∴++≥1.
11.(1)設(shè)x是正實數(shù),求證:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,請給出證明;如果不成立,請舉出一個使它不成立的x的值.
答案 (1)略 (2)成立,證明略
解析 (1)證明:x是正實數(shù),由均值不等式,得
x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥2.
故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立).
(2)解:若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.
由(1)知,當(dāng)x>0時,
7、不等式成立;
當(dāng)x≤0時,8x3≤0,
而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)[(x-)2+]≥0,
此時不等式仍然成立.
12.(2017·湖北武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=5,S8=64.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證:+>(n≥2,n∈N*).
答案 (1)an=2n-1 (2)略
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則解得a1=1,d=2.
故所求的通項公式為an=2n-1.
(2)證明:由(1)可知Sn=n2,
要證原不等式成立,只需證+>,
只
8、需證[(n+1)2+(n-1)2]n2>2(n2-1)2.
只需證(n2+1)n2>(n2-1)2.
只需證3n2>1.
而3n2>1在n≥1時恒成立,
從而不等式+>(n≥2,n∈N*)恒成立.
13.(2015·湖南,理)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.
答案 (1)略 (2)略
解析 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.
(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得0
9、,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.
14.已知函數(shù)f(x)=+,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)證明:當(dāng)x>0,且x≠1時,f(x)>.
答案 (1)a=1,b=1 (2)略
解析 (1)f′(x)=-.
由于直線x+2y-3=0的斜率為-,且過點(1,1),
故即
解得a=1,b=1.
(2)由(1)知f(x)=+,所以
f(x)-=(2lnx-).
考慮函數(shù)h(x)=2lnx-(x>0),則
h′(x)=-=-.
所以當(dāng)x≠1時,h′(x)<0.而h(1)
10、=0,故
當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0,可得h(x)>0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)<0,可得h(x)>0.
從而當(dāng)x>0,且x≠1時,f(x)->0,
即f(x)>.
1.(2017·安徽毛坦廠中學(xué)月考)若a,b,c是不全相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
證明過程如下:
因為a,b,c∈R,
所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
又因為a,b,c不全相等,
所以以上三式至少有一個等號不成立,
所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.
此證
11、法是( )
A.分析法 B.綜合法
C.分析法與綜合法并用 D.反證法
答案 B
解析 由已知條件入手證明結(jié)論成立,滿足綜合法的定義.故選B.
2.已知M=(-1,1),求證:當(dāng)a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.
答案 略
證明 ∵a,b∈M,即-10
即證(1-a2)(1-b2)>0,∵-10,1-b2>0,∴(1-a2)·(1-b2)>0
∴原不等式成立.
3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且-=1.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,記Sn=k,證明:Sn<1.
答案 (1)an=1- (2)略
解析 (1)由題設(shè)-=1,
得{}是公差為1的等差數(shù)列.
又=1,故=n.所以an=1-.
(2)由(1)得
bn===-,