2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第6課時(shí) 直接證明與間接證明練習(xí) 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第6課時(shí) 直接證明與間接證明練習(xí) 理 1．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：0　　　　　　　 B．a(chǎn)－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 答案　C 解析　0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0. 2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0只要證明(　

2、　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 答案　D 3．下列不等式不成立的是(　　) A.2 C．233<322 D．sin1>cos1 答案　B 4．若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b<0，則(　　) A．a(chǎn)，b都小于0 B．a(chǎn)，b都大于0 C．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)大于0 D．a(chǎn)，b中至少有一個(gè)小于0 答案　D 解析　假設(shè)a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，則a＋b≥0，這與a＋b<0相矛盾，因此假設(shè)錯(cuò)誤，即a，b中至少有一個(gè)小于0. 5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q

3、的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P

4、7．若a>0，b>0，a＋b＝1，則下列不等式不成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2≥ B．a(chǎn)b≤ C.＋≥4 D.＋≤1 答案　D 解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·()2＝，∴A成立； ab≤()2＝，∴B成立； ＋＝＝≥＝4，∴C成立； (＋)2＝a＋b＋2＝1＋2>1，∴＋>1，故D不成立． 8．(2018·廣東模擬)設(shè)x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個(gè)數(shù)(　　) A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2 答案　C 解析　假設(shè)a，b，c三個(gè)數(shù)都小于2. 則6>

5、a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6， 即6>6，矛盾． 所以a，b，c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2. 9．設(shè)a>0，b>0，求證：lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 答案　略 證明　要證lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]， 只需證1＋≤， 即證：(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， 即證：2≤a＋b， 而2≤a＋b成立， ∴l(xiāng)g(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 10．(2017·江蘇鹽城一模)已知x1，x2，x3為正實(shí)數(shù)，若x1＋x2＋x3＝1，求證：＋＋≥1. 答案　略 解析　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2

6、(x1＋x2＋x3)＝2，∴＋＋≥1. 11．(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3. (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值． 答案　(1)略　(2)成立，證明略 解析　(1)證明：x是正實(shí)數(shù)，由均值不等式，得 x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2. 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立)． (2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立． 由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，

7、不等式成立； 當(dāng)x≤0時(shí)，8x3≤0， 而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0， 此時(shí)不等式仍然成立． 12．(2017·湖北武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝5，S8＝64. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：＋>(n≥2，n∈N*)． 答案　(1)an＝2n－1　(2)略 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則解得a1＝1，d＝2. 故所求的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)證明：由(1)可知Sn＝n2， 要證原不等式成立，只需證＋>， 只

8、需證[(n＋1)2＋(n－1)2]n2>2(n2－1)2. 只需證(n2＋1)n2>(n2－1)2. 只需證3n2>1. 而3n2>1在n≥1時(shí)恒成立， 從而不等式＋>(n≥2，n∈N*)恒成立． 13．(2015·湖南，理)設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． 答案　(1)略　(2)略 解析　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0得0

9、，從而ab<1，這與ab＝1矛盾．故a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． 14．已知函數(shù)f(x)＝＋，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)證明：當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f(x)>. 答案　(1)a＝1，b＝1　(2)略 解析　(1)f′(x)＝－. 由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－，且過(guò)點(diǎn)(1，1)， 故即 解得a＝1，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝＋，所以 f(x)－＝(2lnx－)． 考慮函數(shù)h(x)＝2lnx－(x>0)，則 h′(x)＝－＝－. 所以當(dāng)x≠1時(shí)，h′(x)<0.而h(1)

10、＝0，故 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h(x)>0，可得h(x)>0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0，可得h(x)>0. 從而當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f(x)－>0， 即f(x)>. 1．(2017·安徽毛坦廠中學(xué)月考)若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 證明過(guò)程如下： 因?yàn)閍，b，c∈R， 所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 又因?yàn)閍，b，c不全相等， 所以以上三式至少有一個(gè)等號(hào)不成立， 所以將以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 此證

11、法是(　　) A．分析法 B．綜合法 C．分析法與綜合法并用 D．反證法 答案　B 解析　由已知條件入手證明結(jié)論成立，滿足綜合法的定義．故選B. 2．已知M＝(－1，1)，求證：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|<|1＋ab|. 答案　略 證明　∵a，b∈M，即－10 即證(1－a2)(1－b2)>0，∵－10，1－b2>0，∴(1－a2)·(1－b2)>0 ∴原不等式成立． 3．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0且－＝1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，記Sn＝k，證明：Sn<1. 答案　(1)an＝1－　(2)略 解析　(1)由題設(shè)－＝1， 得{}是公差為1的等差數(shù)列． 又＝1，故＝n.所以an＝1－. (2)由(1)得 bn＝＝＝－，