2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考4-5 不等式選講 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練62 不等式選講 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考4-5 不等式選講 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練62 不等式選講 文 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范圍． [解]　(1)f(x)＝ 當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)≥1無解； 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2； 當(dāng)x>2時(shí)，由f(x)≥1解得x>2. 所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|

2、＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤， 且當(dāng)x＝時(shí)，|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤. 故m的取值范圍為. 2．(2017·甘肅蘭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)． (1)當(dāng)a＝4時(shí)，求不等式f(x)≥5的解集； (2)若f(x)≥4對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)a＝4時(shí)，|x－1|＋|x－a|≥5等價(jià)為或或解得x≤0或x≥5. 所以不等式f(x)≥5的解集為{x|x≤0或x≥5}． (2)因?yàn)閒(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|.要使f(x)≥4對(duì)x∈R恒

3、成立，則需|a－1|≥4.所以a≤－3或a≥5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－3或a≥5}． 3．(2017·東北三省四市高三二模)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值為1. (1)證明：2a＋b＝2； (2)若a＋2b≥tab恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值． [解]　(1)因?yàn)椋璦<，所以f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|＝顯然f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f＝a＋，所以a＋＝1，即2a＋b＝2. (2)因?yàn)閍＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立， ＝＋＝(2a＋b)＝≥＝. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取得最小值， 所以t≤，即

4、實(shí)數(shù)t的最大值為. 4．(2017·湖南五市十校高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|x－3|(a<3)． (1)若不等式f(x)≥4的解集為，求a的值； (2)若對(duì)?x∈R，f(x)＋|x－3|≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)解法一：由已知得f(x)＝ 當(dāng)x3時(shí)，2x－a－3≥4，得x≥. 已知f(x)≥4的解集為，則顯然a＝2. 解法二：由已知易得f(x)＝|x－a|＋|x－3|的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱， 又f(x)≥4的解集為，則＋＝a＋3，即a＝2. (2)解法一：不等式f(x)＋|x－3|≥1恒成立，即|x

5、－a|＋2|x－3|≥1恒成立． 當(dāng)x≤a時(shí)，－3x＋a＋5≥0恒成立，得－3a＋a＋5≥0，解得a≤； 當(dāng)a

6、. (1)若a＝1，求不等式的解集； (2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，不等式即為2|x－3|＋|x－4|<2， 若x≥4，則3x－10<2，x<4，∴舍去； 若31，a>，即a的取值范圍為. [能力提升] 6．(2017·廣西桂林市、百色市、崇左市一聯(lián))設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|.

7、 (1)求不等式f(x)<2x的解集； (2)若2f(x)＋|x－a|>8對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)由f(x)<2x得|x＋1|<2x， 則－2x1，∴不等式f(x)<2x的解集為(1，＋∞)． (2)∵f(x)＋|x－a|＝|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－x＋a|＝|a＋1|， 又2f(x)＋|x－a|>8＝23對(duì)任意x∈R恒成立，即f(x)＋|x－a|>3對(duì)任意x∈R恒成立， ∴|a＋1|>3，解得a<－4或a>2， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 7．(2017·安徽安師大附中、馬鞍山二

8、中高三階段性測試)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|. (1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2； (2)若a<0，求證：f(ax)－af(x)≥f(2a)． [解]　(1)由題意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|. 因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2. 當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式等價(jià)于－2x＋3≤2，即≤x≤1； 當(dāng)12時(shí)，原不等式等價(jià)于2x－3≤2，即2

9、－ax|＝|2a－2|＝f(2a)， 所以f(ax)－af(x)≥f(2a)成立． 8．(2017·河北衡水中學(xué)四調(diào))設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M. (1)證明：<； (2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由． [解]　(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 由－2<－2x－1<0，解得－0， 所

10、以|1－4ab|2>4|a－b|2， 故|1－4ab|>2|a－b|. 9．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4. (1)求a＋b＋c的值； (2)求a2＋b2＋c2的最小值． [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 當(dāng)且僅當(dāng)－a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立． 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值為a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值為4， 所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1)≥ 2＝(a＋b＋c)2＝16， 即a2＋b2＋c2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即a＝，b＝，c＝時(shí)等號(hào)成立． 故a2＋b2＋c2的最小值為.