2022年高二數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的定義》教案設(shè)計之三

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1、2022年高二數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的定義》教案設(shè)計之三 一。、教學(xué)目標 1．知識目標：（1）讓學(xué)生理解任意角的三角函數(shù)的定義； （2）掌握三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義域; (3) .理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號. 2．能力目標：（1）培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用圖形分析數(shù)學(xué)問題的能力； （2）學(xué)會運用任意三角函數(shù)的定義求相關(guān)角的三角函數(shù)值； （3）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)； （4）判斷.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號. 3．情感目標：（1）通過網(wǎng)絡(luò)載體，利用幾何畫板的直觀演示，培養(yǎng)學(xué)生主動

2、探索、善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神； （2）在學(xué)習(xí)過程中通過相互討論培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作精神； （3）通過三角函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，從中體會三角函數(shù)像一般函數(shù)一樣，具有一般函數(shù)的抽象美。 二、教學(xué)重點 （1） 任意角的正弦、余弦、正切的定義； （2） 三角函數(shù)的定義域； （3） 根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值。 （4） 判斷.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號. 三、教學(xué)難點 任意角的正弦、余弦、正切的定義； 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù) 習(xí) 引 入 角的概念 初中學(xué)過的銳角三角 函數(shù)的定義 教師運用多媒體展示在初中

3、 學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的定義。 師：前面我們學(xué)習(xí)了角的概念的推廣和弧度制，今天我們在這些知識的基礎(chǔ)上一起來學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)。我們在初中已學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，下面先復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識。 共同回顧，點明主題 概 念 形 成 概 念 形 成 概 念 形 成 1．用坐標的形式表示出初中所學(xué)的

4、銳角三角函數(shù)： 設(shè)點P (x,y)是銳角α終邊上的任意一點，,點P到原點O的距離是r（）, 　　則用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分別是： sinα=，cosα=，tanα=。 2．任意角的三角函數(shù) （1）確立任意角α在直角坐標系中的位置； 以坐標原點為角α的頂點，以O(shè)X軸的正方向為角α的始邊； （2）在其終邊上任取一點P(x,y)，設(shè)點P到原點的距離為r，OP =r（r≠0），根據(jù)三角形的相似知識得： 由此得 （3） 三角函數(shù)定義如下： 叫做角α的余弦，記作cosα ,即cosα=； 叫做角α的正弦，記作sinα，即sinα

5、=； 叫做角α的正切，記作tanα，即tanα= 角α的其他三種函數(shù)： 角α的正割：secα== 角α的余割：= 角α的余切： = 1．以坐標原點為角α的頂點，以O(shè)X軸的正方向為角α的始邊，則角α的終邊落在直角坐標系的第一象限內(nèi)，若點P (x,y)是角α終邊上的任意一點，,點P到原點O的距離是r（）,試將角α的三角函數(shù)用x、y、r的式子表示出來。 學(xué)生作圖，教師在此過程中要引導(dǎo)學(xué)生在坐標系中作出符合銳角三角函數(shù)定義要求的直角三角形。該過程中要適時指點學(xué)生，并加強學(xué)生與學(xué)生之間的討論與流。 回答問題：教師通過多媒體將此過程展示給學(xué)生，明確坐標與三角函

6、數(shù)的關(guān)系。 2．教師提出問題： 問題1：根據(jù)剛才我們在直角坐標系中討論的銳角三角函數(shù)，你能給出任意三角的三角函數(shù)定義嗎？ 教師一邊鼓勵學(xué)生大膽說出自己的想法，一邊組織學(xué)生討論，并及時肯定。 回答問題： 通過鼓勵和肯定一些好的想法，讓一位能代表大多數(shù)意見的學(xué)生主動說出自己對任意角三角函數(shù)的定義。 問題2：角α的三角函數(shù)值不受終邊上的點P的位置的影響嗎？ 這是一個較有思考價值的問題，教師要注意正確地引導(dǎo)和必要地提示，銳角三角函數(shù)的大小僅與銳角的大小有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān)。類似地……（留給學(xué)生思考）教師邊引導(dǎo)，邊結(jié)合多媒體演示。 問題3.依據(jù)函數(shù)的定義,這幾個比值可以分別構(gòu)成函

7、數(shù)嗎?若能構(gòu)成,它們的自變量是什么? X還是y? r還是角α? 1、 將初中定義的銳角三角函數(shù)放到坐標系中討論，指明研究函數(shù)問題的工具，完成從三角形到坐標系的轉(zhuǎn)化，為后面在直角坐標系中定義任意角的三角函數(shù)搭建平臺。 2、通過對比，讓學(xué)生對知識進行類比、遷移及聯(lián)想，樹立他們勇于探索的信心。 通過分組討論，加強學(xué)生間的交流與合作，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。 概 念 深 化 概 念 深 化 1． 角是“任意角”，當β=2kπ+α(k∈Z)時，β與α的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值

8、都相等。 2． 定義中只說怎樣的比值叫做α的什么函數(shù)，并沒有說α的終邊在什么位置（終邊在坐標軸上除外），即函數(shù)的定義與α的終邊位置無關(guān)。實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。 3． 三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)。 4． 對于正弦函數(shù)sinα=,因為r>0，所以恒有意義，即α取任意實數(shù)，恒有意義，也就是說sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對于正切函數(shù)tanα, 因為x=0時，無意義，又當且僅當α的終邊落在y軸上時，才有x=0，所以當α的終邊落不在y軸上時，恒有意義，即tanα恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是{α∣α≠kπ+（k∈K）}

9、 從而有y=sinα, α∈R y=cosα, α∈R y=tanα , α≠kπ+（k∈K） 對于第1到第3點教師要點撥,學(xué)生思考.對于第4點教師提出問題：談到函數(shù)，定義域要先行。在此，對三角函數(shù)的定義域要進一步明確，確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)是任意三角函數(shù)的定義。三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，如何去確定這些函數(shù)的定義域（即限定角的變化范圍）？它們的定義域是什么？ 由學(xué)生討論回答。 1、讓學(xué)生明確定義是對任意角而言的，OP是角α的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才

10、能說明角α是任意的。 2、 使學(xué)生明確任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別。任意角的三角函數(shù)包含銳角三角函數(shù)。實質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)定義是一致的，銳角三角函數(shù)定義是任意角三角函數(shù)定義的特例。所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)定義是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的。 3、讓學(xué)生掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。 使學(xué)生進一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識。 應(yīng) 用 舉 例 例1 已知角α的終邊過點 P（2，－3），求α的其他三角函數(shù)值。 例2 求下列各角六個三角函數(shù)值： （1）0

11、； （2）π （3） 學(xué)生板演，教師對學(xué)生在解題思路和規(guī)范方面進行指導(dǎo)。 讓學(xué)生鞏固六種三角函數(shù)的概念，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用。 熟記0到2π范圍內(nèi)的某些特殊角的三角函數(shù)值。 歸 納 小 結(jié) 1． 知識：三角函數(shù)的定義及其定義域。 2． 數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想；類比法。 學(xué)生反思本節(jié)內(nèi)容，對知識進行總結(jié)，教師對思想方法進行提煉。 讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會反思，學(xué)會總結(jié)，重視數(shù)學(xué)思想方法在分析問題和解決問題中的作用。 布 置 作 業(yè) 層次一：教材練習(xí)A，1―3 層次二：教材習(xí)題1―2A，1，2。 層次一的題目要求所有學(xué)生完成，層次二的題目要求中等以上水平以上的學(xué)生完成。 使學(xué)生進一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識。