《(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:壓軸大題突破練(三)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:壓軸大題突破練(三)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)文(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:壓軸大題突破練(三)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)文
1.(2018·咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)=a(x+1)ln x-x+1(a∈R).
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當a≥時,求證:對任意的x≥1,f(x)≥0恒成立.
(1)解 由f(x)=2(x+1)ln x-x+1,
得f′(x)=2ln x++1,
切點為(1,0),斜率為f′(1)=3,
所求切線方程為y=3(x-1),
即3x-y-3=0.
(2)證明 當a=時,
f(x)=(x+1)ln x-x+1(x≥1),
欲證:f(x)≥
2、0,注意到f(1)=0,
只要f(x)≥f(1)即可,
f′(x)=a-1(x≥1),
令g(x)=ln x++1(x≥1),
則g′(x)=-=≥0(x≥1),
知g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,有g(shù)(x)≥g(1)=2,
所以f′(x)≥2a-1≥0,
可知f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(1)=0,
綜上,當a≥時,對任意的x≥1,f(x)≥0恒成立.
2.(2018·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=ex+x2.
(1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù);
(2)若對?x>0,不等式f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)
3、a的取值范圍.
解 (1)f′(x)=+x+a=(x>0),
令f′(x)=0,即x2+ax+1=0,
Δ=a2-4,
①當a2-4≤0,即-2≤a≤2時,
x2+ax+1≥0恒成立,即f′(x)≥0,
此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值點,
②當a2-4>0,即a<-2或a>2時,
若a<-2,設(shè)方程x2+ax+1=0的兩根為x1,x2,
且x10,x2>0,
此時x∈(0,x1),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
x∈(x1,x2),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
x∈(x2,+∞),f′(x)>0,f(x)
4、單調(diào)遞增,
故x1,x2分別為f(x)的極大值點和極小值點,
因此a<-2時,f(x)有兩個極值點;
若a>2,設(shè)方程x2+ax+1=0的兩根為x1,x2,
且x10恒成立.
設(shè)h(x)=,
h′(x)=
=,
當x∈(0,1)時,ex(x-1)+ln x+
5、x2-1<0,
即h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當x∈(1,+∞)時,ex(x-1)+ln x+x2-1>0,
即h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
因此x=1為h(x)的極小值點,
即h(x)≥h(1)=e+1,故a≤e+1.
3.(2018·亳州模擬)已知函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值.
(1)求a的值,并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當x∈[1,+∞)時,f(x)≥恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解 (1)由題意知f′(x)=,
又f′(1)=1-a=0,即a=1,
∴ f′(x)=(x>0),
令f′(x)>0,得0
6、>1,
∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)依題意知,當x∈[1,+∞)時,f(x)≥恒成立,
即m≤恒成立,
令g(x)=(x≥1),
只需g(x)min≥m即可,
又g′(x)=,
令h(x)=x-ln x,h′(x)=1-≥0(x≥1),
∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ h(x)≥h(1)=1>0,∴ g′(x)>0,
∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)min=g(1)=2,故m≤2.
4.(2018·福建省百校模擬)已知函數(shù)f(x)=x-1+aex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當a=-1時
7、,設(shè)-10且f(x1)+f(x2)=-5,證明:x1-2x2>-4+.
(1)解 f′(x)=1+aex,
當a≥0時,f′(x)>0,
則f(x)在R上單調(diào)遞增.
當a<0時,令f′(x)>0,得xln,
則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)證明 方法一 設(shè)g(x)=f(x)+2x=-ex+3x-1,則g′(x)=-ex+3,
由g′(x)<0得x>ln 3;
由g′(x)>0得x
8、
∵f(x1)+f(x2)=-5,
∴f(x2)+2x2=-5-f(x1)+2x2<0,
即x1-2x2>-4+.
方法二 ∵f(x1)+f(x2)=-5,
∴x1=-x2-3,
∴x1-2x2=-3x2-3,
設(shè)g(x)=ex-3x,則g′(x)=ex-3,
由g′(x)<0得x0得x>ln 3,
故g(x)min=g(ln 3)=3-3ln 3.
∵-10,
∴x1-2x2>e-1+3-3ln 3-3=-3ln 3,
∵3ln 3=ln 27<4,
∴x1-2x2>-4+.
5.(2018·江南十校模擬)已知函數(shù)f(
9、x)=,g(x)=mx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a=0時,f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)當a=1時,求證:當x>1時,(x+1)f(x)>2.
(1)解 f(x)=的定義域為(0,+∞),
且f′(x)==.
由f′(x)>0得1-ln x-a>0,
即ln x<1-a,解得00得0
10、遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減,
∴u(x)max=u()==,∴m≥.
(3)證明 (x+1)f(x)>2,
等價于·>.
令p(x)=,則p′(x)=,
令φ(x)=x-ln x,則φ′(x)=1-=,
∵x>1,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
φ(x)>φ(1)=1>0,p′(x)>0,
∴p(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴p(x)>p(1)=2,
∴>,
令h(x)=,則h′(x)=,
∵x>1,∴1-ex<0,∴h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當x>1時,h(x)>h(x),
即(x+1)f(x)>2,x>1.