2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第四節(jié) 基本不等式學(xué)案 理（含解析）新人教A版

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1、第四節(jié)　基本不等式 2019考綱考題考情 1．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)。 2．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0。 (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立。 (3)其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)。 3．利用基本不等式求最大、最小值問題 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2。(簡(jiǎn)記：“積定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值。(簡(jiǎn)記：“和定積最

2、大”) 4．常用的幾個(gè)重要不等式 (1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)。 (2)ab≤2(a，b∈R)。 (3)2≤(a，b∈R)。 (4)＋≥2(a，b同號(hào))。 以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b。 　 1．應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò)。 2．對(duì)于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它們的作用、使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a＋b的轉(zhuǎn)化關(guān)系。 3．在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式。若必須多次使用，則一定要保證它們等號(hào)成立的條件一致。 一、走進(jìn)教材 1．(必修5P99例1(2)改編)設(shè)

3、x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 解析　因?yàn)閤>0，y>0，所以≥，即xy≤2＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，(xy)max＝81。 答案　C 2．(必修5P100A組T2改編)若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是______m2。 解析　設(shè)矩形的一邊為x m，則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時(shí)，ymax＝25。 答案　25 二、走近高考 3．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最

4、小值為________。 解析　由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當(dāng)且僅當(dāng)23b－6＝，即b＝1時(shí)等號(hào)成立。 答案　 4．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________。 解析　由題意得a2>0，b2>0，ab>0，所以＝≥＝4ab＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2＝時(shí)，等號(hào)成立。 答案　4 三、走出誤區(qū) 微提醒：①基本不等式不會(huì)變形使用；②用錯(cuò)不等式的性質(zhì)以及基本不等式變形錯(cuò)誤。 5．若x<0，則x＋(　　) A．有最小值，且最小值為2 B．有最大值，且最大值為2 C．有最小值，且最小值為－2 D

5、．有最大值，且最大值為－2 解析　因?yàn)閤<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，等號(hào)成立，所以x＋≤－2。故選D。 答案　D 6．若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(　　) A．≤ B．＋≤1 C.≥2 D．a(chǎn)2＋b2≥8 解析　4＝a＋b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)，即≤2，ab≤4，≥，選項(xiàng)A，C不成立；＋＝＝≥1，選項(xiàng)B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，選項(xiàng)D成立。故選D。 答案　D 考點(diǎn)一配湊法求最值 【例1】　(1)(2019·泉州檢測(cè))已知0

6、　　) A． B． C. D. (2)若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 解析　(1)因?yàn)?2，所以x－2>0，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即(x－2)2＝1時(shí)等號(hào)成立，解得x＝1或3。又因?yàn)閤>2，所以x＝3，即a等于3時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝3處取得最小值，故選C。 答案　(1)B　(2)C 通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略 拼湊法的

7、實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題： (1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形； (2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)； (3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提。 【變式訓(xùn)練】　(1)若a>0，則a＋的最小值為________。 (2)已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，則xy的最大值是________。 解析　(1)由題意可知a＋＝a＋＋－≥2－＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＋＝，即a＝時(shí)等號(hào)成立。所以a＋的最小值為。 (2)因?yàn)閤>0，y>0，所以xy＝·x·3y≤2＝，當(dāng)且

8、僅當(dāng)x＝3y＝時(shí)，等號(hào)成立，故xy的最大值是。 答案　(1)　(2) 考點(diǎn)二常數(shù)代換法求最值 【例2】　若直線2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)過點(diǎn)(1，－2)，則＋的最小值為(　　) A．2 B．6 C．12 D．3＋2 解析　因?yàn)橹本€2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)過點(diǎn)(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)“＝，即n＝m”時(shí)取等號(hào)，所以＋的最小值為3＋2。故選D。 答案　D 常數(shù)代換法求最值的步驟 (1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))； (2)把確定的定值(常數(shù))變形為1； (3)把

9、“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式； (4)利用基本不等式求解最值。 【變式訓(xùn)練】　(2019·大慶質(zhì)檢)若θ∈，則y＝＋的取值范圍為(　　) A．[6，＋∞) B．[10，＋∞) C．[12，＋∞) D．[16，＋∞) 解析　因?yàn)棣取?，所以sin2θ，cos2θ∈(0,1)，所以y＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝10＋＋≥10＋2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即θ＝時(shí)等號(hào)成立，所以y＝＋的取值范圍為[16，＋∞)。故選D。 答案　D 考點(diǎn)三消元法求最值 【例3】　若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是(　　) A．　　B．C.　　　

10、D. 解析　因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，所以y＝。由即解得00，所以0

11、，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立，所以＋的最小值是3。 答案　B 考點(diǎn)四基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 【例4】　某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元。為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 解析　若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，倉儲(chǔ)費(fèi)用是元，總的費(fèi)用是＋≥2 ＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝80時(shí)取等號(hào)。故選B。 答案　B 對(duì)實(shí)際問題，在審題和建模時(shí)一定不可忽略對(duì)目標(biāo)函數(shù)定義域的準(zhǔn)確挖掘，一般地

12、，每個(gè)表示實(shí)際意義的代數(shù)式必須為正，由此可得自變量的范圍，然后再利用基本(均值)不等式求最值。 【變式訓(xùn)練】　某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則該公司年平均利潤(rùn)的最大值是________萬元。 解析　每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬元。 答案　8 1．(配合例1使用)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，則的最小值是____

13、____。 解析　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取等號(hào)。所以的最小值是。 答案　 2．(配合例2使用)已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經(jīng)過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是(　　) A．9　　　　B．8 C．4　　　　D．2 解析　圓x2＋y2－2y－5＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝6，所以圓心為C(0,1)。因?yàn)橹本€ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過圓心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1。因此＋＝(b＋c)＝＋＋5，因?yàn)閎，c>0，所以＋≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝2時(shí)等號(hào)成立。由此可得當(dāng)b＝2c，即b＝且

14、c＝時(shí)，＋＝＋＋5的最小值為9。 答案　A 3．(配合例3使用)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，則的最小值等于________。 解析　由函數(shù)f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lga＝－lgb，b＝，a－b＝a－>0，則＝＝a－＋≥2。 答案　2 利用均值定理連續(xù)放縮求最值 【典例】　已知a>b>0，那么a2＋的最小值為________。 【思路點(diǎn)撥】　先將代數(shù)式中第2項(xiàng)的分母利用基本不等式進(jìn)行變換，再根據(jù)結(jié)構(gòu)特征利用基本不等式可求得結(jié)果。 【解析】　因?yàn)閍>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤

15、2＝，所以a2＋≥a2＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a－b且a2＝，即a＝且b＝時(shí)取等號(hào)，所以a2＋的最小值為4。 【答案】　4 利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)一定要注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立，特別是當(dāng)連續(xù)多次使用基本不 等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且注意取等號(hào)的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。 【變式訓(xùn)練】　設(shè)a>b>0，則a2＋＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2＋2＝4。故選D。 答案　D 9