（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 理 新人教A版

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1、第6講　函數(shù)的奇偶性與周期性 1.函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 定義 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x 都有　　　　　　,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)? 都有　　　　　　,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)? 圖像特征 關(guān)于　　　　對稱? 關(guān)于　　　　對稱? 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù) 對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有　　　　　　　,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.? (2)最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)　　　　,那么這個(gè)　　　　就叫作f(x)的最小正周期

2、.? 常用結(jié)論 1.奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式: (1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù); (2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù). 2.設(shè)f(x)的最小正周期為T,對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|; (2)若f(x+a)=1f(x),則T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b),則T=|a-b|. 3.對稱性與周期性之間的常用結(jié)論: (1)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函數(shù)

3、f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=4|b-a|. 4.關(guān)于函數(shù)圖像的對稱中心或?qū)ΨQ軸的常用結(jié)論: (1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱; (2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b2對稱; (3)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=-f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2,0對稱; (4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)+f

4、(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2,c2對稱. 題組一　常識題 1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=1x+|x|中,偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是　　　　.? 2.[教材改編] 若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù),則它在[-b,-a]上是　　　　函數(shù);若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則它在[-b,-a]上是　　　　函數(shù).? 3.[教材改編] 已知f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-1,則f(-2)=　　　　.? 4.[教材改編] 已知函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),當(dāng)x∈[0,

5、1]時(shí),f(x)=log4(x2+4),則f(2019)=　　　　.? 題組二　常錯(cuò)題 ◆索引:判定奇偶性時(shí),不化簡解析式導(dǎo)致出錯(cuò);奇偶性不能有效變化;找不到周期函數(shù)的周期從而求不出結(jié)果;利用奇偶性求解析式時(shí)忽略定義域. 5.函數(shù)f(x)=lg(1-x2)|x+3|-3是　　　　函數(shù).(填“奇”“偶”“非奇非偶”)? 6.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線　　　　對稱;若函數(shù)y=g(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)　　　　成中心對稱.? 7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-fx+32,且f(2)=2,則f(2018)=　　　　

6、.? 8.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-3,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=　　　　　　　　　　　.? 探究點(diǎn)一　函數(shù)奇偶性及其延伸 微點(diǎn)1　函數(shù)奇偶性的判斷 例1 (1)[2018·杭州模擬] 設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-1+b(a>0且a≠1),則函數(shù)f(x)的奇偶性 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.與a無關(guān),且與b無關(guān) B.與a有關(guān),且與b有關(guān) C.與a有關(guān),但與b無關(guān) D.與a無關(guān),但與b有關(guān) (2)下列函數(shù)中奇函數(shù)、偶函數(shù)的個(gè)數(shù)分別是 (　　) ①f(x)=1-x1+x;②f(x)=log3(x2+1

7、+x); ③f(x)=x2-1,x<0,-x2+1,x>0;④f(x)=x2+cos x. A.1,1 B.2,2 C.3,1 D.2,1 ? ? ? [總結(jié)反思] 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條件: (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域. (2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立. 微點(diǎn)2　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 例2 (1)[2018·北京東城區(qū)模擬] 若函數(shù)f(x)=3·e|x-1|-

8、sin(x-1)e|x-1|在區(qū)間[-3,5]上的最大值、最小值分別為p,q,則p+q的值為 (　　) A.2 B.1 C.6 D.3 (2)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x+m,則f(-3)=　　　　.? ? ? ? [總結(jié)反思] 利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題: (1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解. (2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出. (3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.

9、(4)畫函數(shù)圖像:利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖像. (5)求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值. 微點(diǎn)3　奇偶性延伸到其他對稱性問題(從平移角度說說其他對稱性問題) 例3 (1)[2018·廣東七校聯(lián)考] 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在[2,+∞)上為增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則下列結(jié)論不成立的是 (　　) A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2) C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3) (2)設(shè)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),f(3)=0,且g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),則不等式g(2-2x)<0的解

10、集為　　　　.? ? ? ? [總結(jié)反思] 由奇偶性延伸所得對稱性問題的常見形式有: (1)若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x+a)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-a,0)對稱(關(guān)于直線x=-a對稱); (2)若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱(關(guān)于直線x=a對稱). 應(yīng)用演練 1.【微點(diǎn)1】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 (　　) A.f(x)=x2sin x B.f(x)=2-x C.f(x)=sinxx D.f(x)=|log0.5x| 2.【微點(diǎn)1】已知a>0且a≠1,對任意的實(shí)數(shù)λ,函數(shù)f(x)=ax+λa-x不可

11、能 (　　) A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 3.【微點(diǎn)3】[2018·呂梁模擬] 函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱,若f(-2)=1,則滿足f(x-2)≤1的x的取值范圍是 (　　) A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[0,4] 4.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2-6,則當(dāng)x>0時(shí),f(x)=　　　　　　.? 5.【微點(diǎn)2】若函數(shù)f(x)=kx+log3(1+9x)為偶函數(shù)

12、,則k=　　　　.? 探究點(diǎn)二　函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 例4 (1)已知函數(shù)f(x)對任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),當(dāng)x∈(0,π)時(shí),f(x)=2sinx2,則f19π3=(　　) A.12 B.32 C.1 D.3 (2)[2018·山西45校聯(lián)考] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),若在區(qū)間[-1,1]上f(x)=ax+2,-1≤x≤0,(a-2x)ex,0

13、)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的解析式(或函數(shù)值)得到整個(gè)定義域內(nèi)的解析式(或相應(yīng)的函數(shù)值). (3)在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用. 變式題 [2018·淮南二模] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=1f(x),當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=x+ex,則f(2018)=　　　　.? 探究點(diǎn)三　以函數(shù)性質(zhì)的綜合為背景的問題 微點(diǎn)1　奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合 例5 (1)[2017·全國卷Ⅰ] 函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是

14、(　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] (2)[2018·湖北師大附中5月質(zhì)檢] 定義在R上的函數(shù)f(x)=12|x-m|-1為偶函數(shù),記a=f(log0.52),b=f(log21.5),c=f(m),則 (　　) A.cf(x2)的形式,再結(jié)合單調(diào)性脫去法則“f”變成常

15、規(guī)不等式,如x1x2)求解. 微點(diǎn)2　奇偶性與周期性的結(jié)合 例6 (1)[2018·全國卷Ⅱ] 已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 (2)[2018·南昌二模] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意實(shí)數(shù)x,都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且x∈[-3,0]時(shí),f(x)=log12(6+x),則f(2018)的值為 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 ? ? ? [總結(jié)反

16、思] 周期性與奇偶性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值. 微點(diǎn)3　奇偶性、周期性與單調(diào)性的結(jié)合 例7 (1)[2018·泉州5月質(zhì)檢] 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=-f(x),且在[0,2]上單調(diào)遞減,則 (　　) A.f(8)

17、.增函數(shù),且f(x)>0 B.減函數(shù),且f(x)<0 C.增函數(shù),且f(x)<0 D.減函數(shù),且f(x)>0 ? ? ? ? [總結(jié)反思] 解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. 應(yīng)用演練 1.【微點(diǎn)1】[2018·衡水中學(xué)月考] 下列函數(shù)中,與函數(shù)y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上的單調(diào)性也相同的是 (　　) A.y=1-x2 B.y=log2|x| C.y=-1x D.y=x3-1 2.【微點(diǎn)2】已知f(x)為定義在R上且周期為2的奇函數(shù),當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=x(ax+1

18、),若f52=-1,則a=(　　) A.6 B.4 C.-1425 D.-6 3.【微點(diǎn)1】[2019·長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測] 已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(1)=2,則不等式f(log2x)>2的解集為 (　　) A.(2,+∞) B.0,12∪(2,+∞) C.0,22∪(2,+∞) D.(2,+∞) 4.【微點(diǎn)3】[2018·天津9校聯(lián)考] 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-1.設(shè)a=ln1π,b=e-ln 25,c=13-0.1,則 (　　) A.f(a)

19、B.f(b)

20、的正數(shù)　最小正數(shù) 對點(diǎn)演練 1.2　[解析] f(x)=x2-1和f(x)=x2+cos x為偶函數(shù). 2.減　減　[解析] 根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對稱性可得. 3.1-2　[解析] f(-2)=-f(2)=-(2-1)=1-2. 4.1　[解析] 因?yàn)閒(x+3)=f(x),所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù),所以f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1. 5.奇　[解析] 由1-x2>0,|x+3|-3≠0,得-1

21、-x)=lg(1-x2)-x=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù). 6.x=a　(b,0)　[解析] 因?yàn)閥=f(x+a)是偶函數(shù),所以其圖像關(guān)于y軸對稱,將y=f(x+a)的圖像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=f(x)的圖像,則y=f(x+a)圖像的對稱軸平移至直線x=a處,即函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.同理,函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)成中心對稱. 7.2　[解析] ∵f(x)=-fx+32,∴f(x+3)=fx+32+32=-fx+32=f(x),∴f(2018)=f(3×672+2)=f(2)=2. 8.x-3,x>0,0,x=

22、0,x+3,x<0　[解析] 設(shè)x<0,則-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x<0).由奇函數(shù)的定義可知f(0)=0, 所以f(x)=x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0. 【課堂考點(diǎn)探究】 例1　[思路點(diǎn)撥] (1)考慮f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立時(shí),a,b的取值情況;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷. (1)D　(2)D　[解析] (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}.由f(x)=2ax-1+b=b·ax+2-bax-1, 得f(-x)=2a-x-1+b=(b-2)ax-bax-1.若f(x)=f(-x)成立,則b

23、=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,則b-2=-b,解得b=1,此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù);若b≠1,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).所以函數(shù)f(x)的奇偶性與b有關(guān),與a無關(guān). (2)對于①,定義域?yàn)?-1,1],所以函數(shù)不具有奇偶性;對于②,定義域?yàn)镽,且f(-x)=log3(x2+1-x)=log31x2+1+x=-log3(x2+1+x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對于③,當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對于④,定義域?yàn)镽,f(-x)=(-x)

24、2+cos(-x)=f(x),函數(shù)為偶函數(shù).所以選D. 例2　[思路點(diǎn)撥] (1)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu),可整理成一個(gè)奇函數(shù)及一個(gè)常數(shù)的和的形式,根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值的和為0求解;(2)奇函數(shù)的定義域中若有0,則f(0)=0,求出m,再根據(jù)奇函數(shù)的定義求值. (1)C　(2)-7　[解析] (1)令x-1=t,則f(t)=3e|t|-sinte|t|=3-sinte|t|,t∈[-4,4], ∴y=f(t)-3是奇函數(shù), 則f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6, ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,5]上的最大值、最小值之和為6, 即p+q=6,故

25、選C. (2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),則f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x-1, 所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7. 例3　[思路點(diǎn)撥] (1)由函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù)可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,再結(jié)合單調(diào)性比較大小;(2)根據(jù)函數(shù)圖像的平移關(guān)系得到函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得到結(jié)論. (1)D　(2)(0,2)　[解析] (1)函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),將函數(shù)y=f(x+2)的圖像向右平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)的圖像,所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,則函

26、數(shù)f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)>f(1),f(0)>f(2),f(1)>f(2)都成立,f(1)>f(3)不成立.故選D. (2)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù), 將f(x)的圖像向左平移1個(gè)單位長度得到f(x+1)的圖像,則f(x+1)在[0,+∞)上為增函數(shù), 即g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù), 且g(2)=f(2+1)=f(3)=0. 不等式g(2-2x)<0等價(jià)為g(2-2x)

27、對于A,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sin x,是奇函數(shù); 對于B,是非奇非偶函數(shù); 對于C,f(-x)=sin(-x)-x=sinxx,是偶函數(shù); 對于D,是非奇非偶函數(shù).故選C. 2.C　[解析] f(x)=ax+λa-x,f(-x)=a-x+λax. 當(dāng)λ=1時(shí),f(x)=f(-x),f(x)為偶函數(shù); 當(dāng)λ=-1時(shí),f(x)=-f(-x),f(x)為奇函數(shù); 當(dāng)λ≠1且λ≠-1時(shí),f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù). 故選C. 3.D　[解析] 函數(shù)f(x+2)的圖像是由f(x)的圖像向左平移2個(gè)單位長度后得到的,而f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對

28、稱,故f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,即f(x)為偶函數(shù),所以f(x-2)≤1即為f(x-2)≤f(-2)=f(2),又函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以|x-2|≤2,得-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4. 4.-x2+6　[解析] 當(dāng)x>0時(shí),-x<0,∴f(-x)=(-x)2-6,∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴-f(x)=f(-x)=x2-6,故f(x)=-x2+6,x>0. 5.-1　[解析] 由偶函數(shù)的定義得到kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即2kx=log31+9-x1+9x=-2x,即(2k+2)x=0恒成立,所以k=-1. 例4　[思

29、路點(diǎn)撥] (1)由題知函數(shù)f(x)的周期為2π,利用周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知定義區(qū)間求解;(2)由條件可得出函數(shù)的周期為2,利用f(-1)=f(1)求出a,再求f(2017)+f(2018)的值. (1)C　(2)C　[解析] (1)由f(x+2π)=f(x)可知函數(shù)f(x)的周期為2π,所以f19π3=f6π+π3=fπ3,又當(dāng)x∈(0,π)時(shí),f(x)=2sinx2,所以fπ3=2sinπ6=1,故選C. (2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期為2的函數(shù),故f(-1)=f(1),代入解析式,得-a+2=(a-2)e,解得a=2,從而f(x)=2x+2,-1≤x≤0,(

30、2-2x)ex,0

31、,然后比較自變量的值,再根據(jù)f(x)的單調(diào)性即可比較出a,b,c的大小. (1)D　(2)C　[解析] (1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因?yàn)閒(x)單調(diào)遞減,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范圍為[1,3]. (2)∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x), ∴12|-x-m|-1=12|x-m|-1,∴|-x-m|=|x-m|,即(-x-m)2=(x-m)2,∴mx=0,∴m=0,∴f(x)=12|x|-1,∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.又a=f(log0.52)=f(|log0

32、.52|)=f(log22)=f(1),b=f(log21.5),c=f(0), 且0

33、),所以函數(shù)f(x)的周期為4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2. (2)對任意實(shí)數(shù)x都有f(x+3)=f(x-3),可得到函數(shù)的周期是6,又f(-x)=f(x),即函數(shù)為偶函數(shù),則f(2018)=f(2)=f(-2)=log12(6-2)=-2. 例7　[思路點(diǎn)撥] (1)根據(jù)奇偶性與周期性將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再借助函數(shù)的單調(diào)性,

34、由自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即可得到結(jié)論. (1)B　(2)C　[解析] (1)根據(jù)題中所給的條件f(x+4)=-f(x),可知函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù). 因?yàn)閒(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以奇函數(shù)f(x)在[-2,2]上是減函數(shù), 又f(15)=f(-1),f(8)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1), 且滿足-1<0<1,所以f(-1)>f(0)>f(1), 所以f(11)

35、018)上的單調(diào)性和在(-1,0)上的單調(diào)性相同. ∵當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=2x為增函數(shù),且函數(shù)f(x)為奇函數(shù), ∴當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)為增函數(shù), 又當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=2x>0, ∴當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)<0, ∴f(x)在(2017,2018)上滿足f(x)<0, 故f(x)在(2017,2018)上是增函數(shù),且f(x)<0,故選C. 應(yīng)用演練 1.A　[解析] 函數(shù)y=-3|x|為偶函數(shù),且在(-∞,0)上為增函數(shù). 對于選項(xiàng)A,函數(shù)y=1-x2為偶函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),符合題意; 對于選項(xiàng)B,函數(shù)y=log2|x|是偶

36、函數(shù),在(-∞,0)上為減函數(shù),不符合題意; 對于選項(xiàng)C,函數(shù)y=-1x為奇函數(shù),不符合題意; 對于選項(xiàng)D,函數(shù)y=x3-1為非奇非偶函數(shù),不符合題意. 故選A. 2.A　[解析] 因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù),所以f52=f12=-f-12=--12×-12a+1=-1,解得a=6,故選A. 3.B　[解析] f(x)是R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是減函數(shù),所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以f(log2x)>2,即f(|log2x|)>f(1),即|log2x|>1,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0

37、(0,2]時(shí)f(x)=2x-1>0,則f(a)=fln1π=-fln π<0, f(b)=fe-ln 25=f52=-f12<0, f(c)=f13-0.1=f(30.1)=-f(30.1-2)=f(2-30.1)>0, 又2>ln π>lne=12,且f(x)=2x-1在[0,2]上單調(diào)遞增, ∴f(ln π)>f12,∴f(a)

38、函數(shù)奇偶性的判斷;例2主要考查函數(shù)值比較大小,結(jié)合條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵;例3考查函數(shù)周期性的不同形式,有利于對常見周期函數(shù)形式的掌握與應(yīng)用;例4為函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性及函數(shù)的零點(diǎn)等綜合性問題,涉及性質(zhì)多,難度大,需要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合求解. 例1　[配合例1使用] [2019·邯鄲九校聯(lián)考] 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 (　　) A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) [解析] C　因

39、為f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù); 因?yàn)閨f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù); 因?yàn)閒(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù); 因?yàn)閨f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù). 故選C. 例2　[配合例3使用] 已知函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=-x3+ln(1-x),設(shè)a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),則a,b,c的大小關(guān)系為 (　　) A.a

40、>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c [解析] A　函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,將y=f(x+1)的圖像向右平移1個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=f(x)的圖像,則f(x)的圖像關(guān)于直線x=0,即y軸對稱,則函數(shù)f(x)是偶函數(shù). 當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=-x3+ln(1-x),為減函數(shù), ∴當(dāng)x≥0時(shí),f(x)為增函數(shù).易知log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52, ∵log32=1log23,log42=1log24,log52=1log25, 且01lo

41、g24>1log25>0, 即log32>log42>log52>0, 則1+log32>1+log42>1+log52>1, 即log36>log48>log510>1, ∴f(log36)>f(log48)>f(log510), 即a>b>c. 例3　[配合例4使用] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=2-3,且對任意的x都有f(x+2)=1-f(x),則f(2018)= (　　) A.-2-3 B.-2+3 C.2-3 D.2+3 [解析] A　由f(x+2)=1-f(x),得f(x+4)=1-f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(2018

42、)=f(2),又f(2+2)=1-f(2),所以f(2)=-1f(4)=-12-3=-2-3,即f(2018)=-2-3. 例4　[配合例7使用] [2018·河南林州一中調(diào)研] 已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),滿足f(x+2)=f(x-2)+f(2),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-4.令函數(shù)g(x)=f(x)-m,若g(x)在區(qū)間[-10,2]上有6個(gè)零點(diǎn),分別記為x1,x2,x3,x4,x5,x6,則x1+x2+x3+x4+x5+x6=　　　　.? [答案] -24 [解析] 不妨設(shè)x1>x2>x3>x4>x5>x6.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-2)=f

43、(2).因?yàn)閒(x+2)=f(x-2)+f(2),所以令x=0,可得f(2)=0,因此f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(4-x)=f(-x)=f(x),所以直線x=2是函數(shù)f(x)圖像的對稱軸,周期T=4,又函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱,因此直線x=4也是其圖像的對稱軸.因?yàn)楫?dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以g(x)=f(x)-m在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈[0,2]時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn)x1,同理在區(qū)間[-2,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)x2,則x1+x2=0.同理x3+x4=-8,x5+x6=-16,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=-24,故答案為-24. 16