《（通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性學案 理 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性學案 理 新人教A版（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性
1.函數(shù)的奇偶性
偶函數(shù)
奇函數(shù)
定義
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x
都有 ,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)?
都有 ,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)?
圖像特征
關(guān)于 對稱?
關(guān)于 對稱?
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有 ,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.?
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個 ,那么這個 就叫作f(x)的最小正周期
2、.?
常用結(jié)論
1.奇(偶)函數(shù)定義的等價形式:
(1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù);
(2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù).
2.設(shè)f(x)的最小正周期為T,對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|;
(2)若f(x+a)=1f(x),則T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),則T=|a-b|.
3.對稱性與周期性之間的常用結(jié)論:
(1)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;
(2)若函數(shù)
3、f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;
(3)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期T=4|b-a|.
4.關(guān)于函數(shù)圖像的對稱中心或?qū)ΨQ軸的常用結(jié)論:
(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱;
(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b2對稱;
(3)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=-f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于點a+b2,0對稱;
(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)+f
4、(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點a+b2,c2對稱.
題組一 常識題
1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=1x+|x|中,偶函數(shù)的個數(shù)是 .?
2.[教材改編] 若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù),則它在[-b,-a]上是 函數(shù);若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則它在[-b,-a]上是 函數(shù).?
3.[教材改編] 已知f(x)為奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x-1,則f(-2)= .?
4.[教材改編] 已知函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),當x∈[0,
5、1]時,f(x)=log4(x2+4),則f(2019)= .?
題組二 常錯題
◆索引:判定奇偶性時,不化簡解析式導(dǎo)致出錯;奇偶性不能有效變化;找不到周期函數(shù)的周期從而求不出結(jié)果;利用奇偶性求解析式時忽略定義域.
5.函數(shù)f(x)=lg(1-x2)|x+3|-3是 函數(shù).(填“奇”“偶”“非奇非偶”)?
6.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線 對稱;若函數(shù)y=g(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點 成中心對稱.?
7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-fx+32,且f(2)=2,則f(2018)=
6、.?
8.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x-3,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)= .?
探究點一 函數(shù)奇偶性及其延伸
微點1 函數(shù)奇偶性的判斷
例1 (1)[2018·杭州模擬] 設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-1+b(a>0且a≠1),則函數(shù)f(x)的奇偶性 ( )
A.與a無關(guān),且與b無關(guān)
B.與a有關(guān),且與b有關(guān)
C.與a有關(guān),但與b無關(guān)
D.與a無關(guān),但與b有關(guān)
(2)下列函數(shù)中奇函數(shù)、偶函數(shù)的個數(shù)分別是 ( )
①f(x)=1-x1+x;②f(x)=log3(x2+1
7、+x);
③f(x)=x2-1,x<0,-x2+1,x>0;④f(x)=x2+cos x.
A.1,1 B.2,2
C.3,1 D.2,1
?
?
?
[總結(jié)反思] 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件:
(1)定義域關(guān)于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域.
(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.
微點2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
例2 (1)[2018·北京東城區(qū)模擬] 若函數(shù)f(x)=3·e|x-1|-
8、sin(x-1)e|x-1|在區(qū)間[-3,5]上的最大值、最小值分別為p,q,則p+q的值為 ( )
A.2 B.1
C.6 D.3
(2)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=2x+m,則f(-3)= .?
?
?
?
[總結(jié)反思] 利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題:
(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.
(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得方程(組),進而得出參數(shù)的值.
9、(4)畫函數(shù)圖像:利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖像.
(5)求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值.
微點3 奇偶性延伸到其他對稱性問題(從平移角度說說其他對稱性問題)
例3 (1)[2018·廣東七校聯(lián)考] 已知定義域為R的函數(shù)f(x)在[2,+∞)上為增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則下列結(jié)論不成立的是 ( )
A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2)
C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3)
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),f(3)=0,且g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),則不等式g(2-2x)<0的解
10、集為 .?
?
?
?
[總結(jié)反思] 由奇偶性延伸所得對稱性問題的常見形式有:
(1)若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x+a)的圖像關(guān)于點(-a,0)對稱(關(guān)于直線x=-a對稱);
(2)若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱(關(guān)于直線x=a對稱).
應(yīng)用演練
1.【微點1】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 ( )
A.f(x)=x2sin x B.f(x)=2-x
C.f(x)=sinxx D.f(x)=|log0.5x|
2.【微點1】已知a>0且a≠1,對任意的實數(shù)λ,函數(shù)f(x)=ax+λa-x不可
11、能 ( )
A.是奇函數(shù)
B.是偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)
3.【微點3】[2018·呂梁模擬] 函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱,若f(-2)=1,則滿足f(x-2)≤1的x的取值范圍是 ( )
A.[-2,2]
B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.[0,4]
4.【微點2】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=x2-6,則當x>0時,f(x)= .?
5.【微點2】若函數(shù)f(x)=kx+log3(1+9x)為偶函數(shù)
12、,則k= .?
探究點二 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用
例4 (1)已知函數(shù)f(x)對任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),當x∈(0,π)時,f(x)=2sinx2,則f19π3=( )
A.12 B.32
C.1 D.3
(2)[2018·山西45校聯(lián)考] 函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),若在區(qū)間[-1,1]上f(x)=ax+2,-1≤x≤0,(a-2x)ex,0
13、)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的解析式(或函數(shù)值)得到整個定義域內(nèi)的解析式(或相應(yīng)的函數(shù)值).
(3)在解決具體問題時,要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.
變式題 [2018·淮南二模] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=1f(x),當x∈[0,2)時,f(x)=x+ex,則f(2018)= .?
探究點三 以函數(shù)性質(zhì)的綜合為背景的問題
微點1 奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合
例5 (1)[2017·全國卷Ⅰ] 函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是
14、( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)[2018·湖北師大附中5月質(zhì)檢] 定義在R上的函數(shù)f(x)=12|x-m|-1為偶函數(shù),記a=f(log0.52),b=f(log21.5),c=f(m),則 ( )
A.cf(x2)的形式,再結(jié)合單調(diào)性脫去法則“f”變成常
15、規(guī)不等式,如x1x2)求解.
微點2 奇偶性與周期性的結(jié)合
例6 (1)[2018·全國卷Ⅱ] 已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )
A.-50 B.0
C.2 D.50
(2)[2018·南昌二模] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意實數(shù)x,都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且x∈[-3,0]時,f(x)=log12(6+x),則f(2018)的值為 ( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
?
?
?
[總結(jié)反
16、思] 周期性與奇偶性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值.
微點3 奇偶性、周期性與單調(diào)性的結(jié)合
例7 (1)[2018·泉州5月質(zhì)檢] 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=-f(x),且在[0,2]上單調(diào)遞減,則 ( )
A.f(8)
17、.增函數(shù),且f(x)>0
B.減函數(shù),且f(x)<0
C.增函數(shù),且f(x)<0
D.減函數(shù),且f(x)>0
?
?
?
?
[總結(jié)反思] 解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.
應(yīng)用演練
1.【微點1】[2018·衡水中學月考] 下列函數(shù)中,與函數(shù)y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上的單調(diào)性也相同的是 ( )
A.y=1-x2 B.y=log2|x|
C.y=-1x D.y=x3-1
2.【微點2】已知f(x)為定義在R上且周期為2的奇函數(shù),當-1≤x<0時,f(x)=x(ax+1
18、),若f52=-1,則a=( )
A.6 B.4
C.-1425 D.-6
3.【微點1】[2019·長春實驗中學檢測] 已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(1)=2,則不等式f(log2x)>2的解集為 ( )
A.(2,+∞) B.0,12∪(2,+∞)
C.0,22∪(2,+∞) D.(2,+∞)
4.【微點3】[2018·天津9校聯(lián)考] 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=2x-1.設(shè)a=ln1π,b=e-ln 25,c=13-0.1,則 ( )
A.f(a)
19、B.f(b)
20、的正數(shù) 最小正數(shù)
對點演練
1.2 [解析] f(x)=x2-1和f(x)=x2+cos x為偶函數(shù).
2.減 減 [解析] 根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對稱性可得.
3.1-2 [解析] f(-2)=-f(2)=-(2-1)=1-2.
4.1 [解析] 因為f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù),所以f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1.
5.奇 [解析] 由1-x2>0,|x+3|-3≠0,得-1
21、-x)=lg(1-x2)-x=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).
6.x=a (b,0) [解析] 因為y=f(x+a)是偶函數(shù),所以其圖像關(guān)于y軸對稱,將y=f(x+a)的圖像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個單位長度,得到函數(shù)y=f(x)的圖像,則y=f(x+a)圖像的對稱軸平移至直線x=a處,即函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.同理,函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(b,0)成中心對稱.
7.2 [解析] ∵f(x)=-fx+32,∴f(x+3)=fx+32+32=-fx+32=f(x),∴f(2018)=f(3×672+2)=f(2)=2.
8.x-3,x>0,0,x=
22、0,x+3,x<0 [解析] 設(shè)x<0,則-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x<0).由奇函數(shù)的定義可知f(0)=0,
所以f(x)=x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0.
【課堂考點探究】
例1 [思路點撥] (1)考慮f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立時,a,b的取值情況;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.
(1)D (2)D [解析] (1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}.由f(x)=2ax-1+b=b·ax+2-bax-1,
得f(-x)=2a-x-1+b=(b-2)ax-bax-1.若f(x)=f(-x)成立,則b
23、=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,則b-2=-b,解得b=1,此時函數(shù)為奇函數(shù);若b≠1,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).所以函數(shù)f(x)的奇偶性與b有關(guān),與a無關(guān).
(2)對于①,定義域為(-1,1],所以函數(shù)不具有奇偶性;對于②,定義域為R,且f(-x)=log3(x2+1-x)=log31x2+1+x=-log3(x2+1+x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對于③,當x>0時,-x<0,則f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理當x<0時,-x>0,則f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對于④,定義域為R,f(-x)=(-x)
24、2+cos(-x)=f(x),函數(shù)為偶函數(shù).所以選D.
例2 [思路點撥] (1)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu),可整理成一個奇函數(shù)及一個常數(shù)的和的形式,根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值的和為0求解;(2)奇函數(shù)的定義域中若有0,則f(0)=0,求出m,再根據(jù)奇函數(shù)的定義求值.
(1)C (2)-7 [解析] (1)令x-1=t,則f(t)=3e|t|-sinte|t|=3-sinte|t|,t∈[-4,4],
∴y=f(t)-3是奇函數(shù),
則f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,5]上的最大值、最小值之和為6,
即p+q=6,故
25、選C.
(2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),則f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,當x≥0時,f(x)=2x-1,
所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.
例3 [思路點撥] (1)由函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù)可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,再結(jié)合單調(diào)性比較大小;(2)根據(jù)函數(shù)圖像的平移關(guān)系得到函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得到結(jié)論.
(1)D (2)(0,2) [解析] (1)函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),將函數(shù)y=f(x+2)的圖像向右平移2個單位長度得到函數(shù)y=f(x)的圖像,所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,則函
26、數(shù)f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)>f(1),f(0)>f(2),f(1)>f(2)都成立,f(1)>f(3)不成立.故選D.
(2)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),
將f(x)的圖像向左平移1個單位長度得到f(x+1)的圖像,則f(x+1)在[0,+∞)上為增函數(shù),
即g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
且g(2)=f(2+1)=f(3)=0.
不等式g(2-2x)<0等價為g(2-2x)
27、對于A,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sin x,是奇函數(shù);
對于B,是非奇非偶函數(shù);
對于C,f(-x)=sin(-x)-x=sinxx,是偶函數(shù);
對于D,是非奇非偶函數(shù).故選C.
2.C [解析] f(x)=ax+λa-x,f(-x)=a-x+λax.
當λ=1時,f(x)=f(-x),f(x)為偶函數(shù);
當λ=-1時,f(x)=-f(-x),f(x)為奇函數(shù);
當λ≠1且λ≠-1時,f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).
故選C.
3.D [解析] 函數(shù)f(x+2)的圖像是由f(x)的圖像向左平移2個單位長度后得到的,而f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對
28、稱,故f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,即f(x)為偶函數(shù),所以f(x-2)≤1即為f(x-2)≤f(-2)=f(2),又函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以|x-2|≤2,得-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4.
4.-x2+6 [解析] 當x>0時,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-6,∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴-f(x)=f(-x)=x2-6,故f(x)=-x2+6,x>0.
5.-1 [解析] 由偶函數(shù)的定義得到kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即2kx=log31+9-x1+9x=-2x,即(2k+2)x=0恒成立,所以k=-1.
例4 [思
29、路點撥] (1)由題知函數(shù)f(x)的周期為2π,利用周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知定義區(qū)間求解;(2)由條件可得出函數(shù)的周期為2,利用f(-1)=f(1)求出a,再求f(2017)+f(2018)的值.
(1)C (2)C [解析] (1)由f(x+2π)=f(x)可知函數(shù)f(x)的周期為2π,所以f19π3=f6π+π3=fπ3,又當x∈(0,π)時,f(x)=2sinx2,所以fπ3=2sinπ6=1,故選C.
(2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期為2的函數(shù),故f(-1)=f(1),代入解析式,得-a+2=(a-2)e,解得a=2,從而f(x)=2x+2,-1≤x≤0,(
30、2-2x)ex,0
31、,然后比較自變量的值,再根據(jù)f(x)的單調(diào)性即可比較出a,b,c的大小.
(1)D (2)C [解析] (1)因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因為f(x)單調(diào)遞減,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范圍為[1,3].
(2)∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),
∴12|-x-m|-1=12|x-m|-1,∴|-x-m|=|x-m|,即(-x-m)2=(x-m)2,∴mx=0,∴m=0,∴f(x)=12|x|-1,∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.又a=f(log0.52)=f(|log0
32、.52|)=f(log22)=f(1),b=f(log21.5),c=f(0),
且0
33、),所以函數(shù)f(x)的周期為4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.
(2)對任意實數(shù)x都有f(x+3)=f(x-3),可得到函數(shù)的周期是6,又f(-x)=f(x),即函數(shù)為偶函數(shù),則f(2018)=f(2)=f(-2)=log12(6-2)=-2.
例7 [思路點撥] (1)根據(jù)奇偶性與周期性將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上,再借助函數(shù)的單調(diào)性,
34、由自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性和周期性進行轉(zhuǎn)化,即可得到結(jié)論.
(1)B (2)C [解析] (1)根據(jù)題中所給的條件f(x+4)=-f(x),可知函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù).
因為f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以奇函數(shù)f(x)在[-2,2]上是減函數(shù),
又f(15)=f(-1),f(8)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),
且滿足-1<0<1,所以f(-1)>f(0)>f(1),
所以f(11)
35、018)上的單調(diào)性和在(-1,0)上的單調(diào)性相同.
∵當x∈(0,1)時,f(x)=2x為增函數(shù),且函數(shù)f(x)為奇函數(shù),
∴當x∈(-1,0)時,f(x)為增函數(shù),
又當x∈(0,1)時,f(x)=2x>0,
∴當x∈(-1,0)時,f(x)<0,
∴f(x)在(2017,2018)上滿足f(x)<0,
故f(x)在(2017,2018)上是增函數(shù),且f(x)<0,故選C.
應(yīng)用演練
1.A [解析] 函數(shù)y=-3|x|為偶函數(shù),且在(-∞,0)上為增函數(shù).
對于選項A,函數(shù)y=1-x2為偶函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),符合題意;
對于選項B,函數(shù)y=log2|x|是偶
36、函數(shù),在(-∞,0)上為減函數(shù),不符合題意;
對于選項C,函數(shù)y=-1x為奇函數(shù),不符合題意;
對于選項D,函數(shù)y=x3-1為非奇非偶函數(shù),不符合題意.
故選A.
2.A [解析] 因為f(x)是周期為2的奇函數(shù),所以f52=f12=-f-12=--12×-12a+1=-1,解得a=6,故選A.
3.B [解析] f(x)是R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是減函數(shù),所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以f(log2x)>2,即f(|log2x|)>f(1),即|log2x|>1,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0
37、(0,2]時f(x)=2x-1>0,則f(a)=fln1π=-fln π<0,
f(b)=fe-ln 25=f52=-f12<0,
f(c)=f13-0.1=f(30.1)=-f(30.1-2)=f(2-30.1)>0,
又2>ln π>lne=12,且f(x)=2x-1在[0,2]上單調(diào)遞增,
∴f(ln π)>f12,∴f(a)
38、函數(shù)奇偶性的判斷;例2主要考查函數(shù)值比較大小,結(jié)合條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵;例3考查函數(shù)周期性的不同形式,有利于對常見周期函數(shù)形式的掌握與應(yīng)用;例4為函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性及函數(shù)的零點等綜合性問題,涉及性質(zhì)多,難度大,需要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合求解.
例1 [配合例1使用] [2019·邯鄲九校聯(lián)考] 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函數(shù)
B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)
D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
[解析] C 因
39、為f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù);
因為|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù);
因為f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù);
因為|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù).
故選C.
例2 [配合例3使用] 已知函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,且當x≤0時,f(x)=-x3+ln(1-x),設(shè)a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),則a,b,c的大小關(guān)系為 ( )
A.a
40、>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
[解析] A 函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,將y=f(x+1)的圖像向右平移1個單位長度,得到y(tǒng)=f(x)的圖像,則f(x)的圖像關(guān)于直線x=0,即y軸對稱,則函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
當x≤0時,f(x)=-x3+ln(1-x),為減函數(shù),
∴當x≥0時,f(x)為增函數(shù).易知log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52,
∵log32=1log23,log42=1log24,log52=1log25,
且01lo
41、g24>1log25>0,
即log32>log42>log52>0,
則1+log32>1+log42>1+log52>1,
即log36>log48>log510>1,
∴f(log36)>f(log48)>f(log510),
即a>b>c.
例3 [配合例4使用] 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=2-3,且對任意的x都有f(x+2)=1-f(x),則f(2018)= ( )
A.-2-3 B.-2+3
C.2-3 D.2+3
[解析] A 由f(x+2)=1-f(x),得f(x+4)=1-f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(2018
42、)=f(2),又f(2+2)=1-f(2),所以f(2)=-1f(4)=-12-3=-2-3,即f(2018)=-2-3.
例4 [配合例7使用] [2018·河南林州一中調(diào)研] 已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),滿足f(x+2)=f(x-2)+f(2),且當x∈[0,2]時,f(x)=2x-4.令函數(shù)g(x)=f(x)-m,若g(x)在區(qū)間[-10,2]上有6個零點,分別記為x1,x2,x3,x4,x5,x6,則x1+x2+x3+x4+x5+x6= .?
[答案] -24
[解析] 不妨設(shè)x1>x2>x3>x4>x5>x6.因為函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-2)=f
43、(2).因為f(x+2)=f(x-2)+f(2),所以令x=0,可得f(2)=0,因此f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(4-x)=f(-x)=f(x),所以直線x=2是函數(shù)f(x)圖像的對稱軸,周期T=4,又函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱,因此直線x=4也是其圖像的對稱軸.因為當x∈[0,2]時,f(x)單調(diào)遞增,所以g(x)=f(x)-m在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,所以當x∈[0,2]時,只有一個零點x1,同理在區(qū)間[-2,0)上只有一個零點x2,則x1+x2=0.同理x3+x4=-8,x5+x6=-16,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=-24,故答案為-24.
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（通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性學案 理 新人教A版
