2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質 3.2.2.1 函數(shù)奇偶性的概念學案 新人教A版必修第一冊

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1、第1課時　函數(shù)奇偶性的概念 1．理解函數(shù)奇偶性的定義． 2．掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法． 3．會應用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題． 函數(shù)的奇偶性 溫馨提示：(1)奇偶性是函數(shù)的整體性質，所以判斷函數(shù)的奇偶性應先明確它的定義域(對照函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質，以加深理解)． (2)奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，反之，若定義域不關于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性． 1．函數(shù)f(x)＝x2－1，f(x)＝－，f(x)＝2x的圖象分別如圖所示： (1)各個圖象有怎樣的對稱性？ (2)對于以上三個函數(shù)，分別計算f(－x)，觀察對定義域內的每一個

2、x，f(－x)與f(x)有怎樣的關系？ [答案]　(1)y＝x2－1的圖象關于y軸對稱；y＝－和y＝2x的圖象關于原點對稱 (2)對于f(x)＝x2－1，f(－x)＝x2－1＝f(x)； 對于f(x)＝－，f(－x)＝－＝－f(x)； 對于f(x)＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x) 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交．(　　) (2)奇函數(shù)的圖象一定經過原點．(　　) (3)函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函數(shù)．(　　) (4)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0.(　　) [答案]　(1)×　

3、(2)×　(3)×　(4)√ 題型一函數(shù)奇偶性的判斷 【典例1】　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ [思路導引]　借助奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義判斷． [解]　(1)∵函數(shù)f(x)的定義域為R，關于原點對稱， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)． (2)∵函數(shù)f(x)的定義域為{－1,1}，關于原點對稱，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (3)∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}，不

4、關于原點對稱， ∴f(x)是非奇非偶函數(shù)． (4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． 當x>0時，－x<0， f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)； 當x<0時，－x>0， f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)． 綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)． 判斷函數(shù)奇偶性的2種方法 (1)定義法 (2)圖象法 [針對訓練] 1．判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝； (4)f(

5、x)＝ [解]　(1)∵x∈R，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)． (2)∵x∈R，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)． (3)f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)． ∴f(x)為奇函數(shù)． (4)顯然函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱． 當x>0時，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 當x<0時，

6、－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 題型二奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象 【典例2】　已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示． (1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象． (2)寫出使f(x)<0的x的取值集合． [思路導引]　根據(jù)奇函數(shù)圖象特征作出函數(shù)圖象，再求解． [解]　(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于原點對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示． (2)由圖象知，使f(x)<

7、0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)． [變式]　若將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，試畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象． [解]　因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于y軸對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示． 巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題 (1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關于y軸對稱． (2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題． [針對訓練] 2．定義在[－3，－1]∪[1,3]上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示．

8、 (1)請在坐標系中補全函數(shù)f(x)的圖象； (2)比較f(1)與f(3)的大?。? [解]　(1)由于f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關于原點對稱，其圖象如圖所示． (2)觀察圖象，知f(3)

9、數(shù)， ∴a－1＋2a＝0，得a＝. 又f(－x)＝f(x)，即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b 對x∈均成立， ∴b＝0. (2)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－. 顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a， 故a＋1＝0，得a＝－1. [答案]　(1)　0　(2)－1 利用奇偶性求參數(shù)的2種類型 (1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，根據(jù)定義域關于原點對稱，利用a＋b＝0求參數(shù)． (2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解． [針對訓

10、練] 3．若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由f(－x)＝f(x)，得(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，所以m＝2. [答案]　B 4．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝________. [解析]　∵f(x)為奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝x2＋， ∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2. [答案]?。? 課堂歸納小結 1．一個條件：定義域關于原點對稱是函數(shù)f(

11、x)是奇(偶)函數(shù)的一個必要不充分條件． 2．兩個性質：函數(shù)為奇函數(shù)?它的圖象關于原點對稱；函數(shù)為偶函數(shù)?它的圖象關于y軸對稱． 3．證明一個函數(shù)是奇函數(shù)，必須對f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)．而證明一個函數(shù)不是奇函數(shù)，只要能舉出一個反例就可以了． 4．熟悉常見函數(shù)的奇偶性：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，當b＝0時是奇函數(shù)；當b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．y＝(k≠0)為奇函數(shù)．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當b＝0時是偶函數(shù)，當b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 1．函數(shù)y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數(shù)，則a等于(　

12、　) A．－1 B．0 C．1 D．無法確定 [解析]　由－1＋a＝0，得a＝1.選C. [答案]　C 2．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1] [解析]　A項中的函數(shù)為奇函數(shù)；C、D選項中的函數(shù)定義域不關于原點對稱，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；B項中的函數(shù)為偶函數(shù)．故選B. [答案]　B 3．函數(shù)f(x)＝－x的圖象(　　) A．關于y軸對稱 B．關于直線y＝x對稱 C．關于坐標原點對稱 D．關于直線y＝－x對稱 [解析]　函數(shù)f(x)＝－x的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，且f(－x

13、)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱． [答案]　C 4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. [解析]　由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)為偶函數(shù)，則a－4＝0，即a＝4. [答案]　4 5．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝g(x)是奇函數(shù)，它們的定義域都是[－3,3]，且它們在[0,3]上的圖象如圖所示，求不等式<0的解集． [解]　由題知，y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝g(x)是奇函數(shù)． 根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性畫出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3， 0]上的

14、圖象如圖所示．由圖可知f(x)>0?00?1

15、稱，不具有奇偶性，故排除；選項B中的圖象關于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù)．故選B. [答案]　B 3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) [解析]　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)． 又x∈(－a，a)關于原點對稱， ∴F(x)是偶函數(shù)． [答案]　B 4．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下面四個結論： ①若f(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)； ②若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)； ③若f(－2)≠f(2)，則函數(shù)

16、f(x)不是偶函數(shù)； ④若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)． 其中正確的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]?、僬_；②錯誤，僅兩個特殊的函數(shù)值相等不足以確定函數(shù)的奇偶性，需要滿足“任意”；③正確；④錯誤，反例：f(x)＝0滿足條件，該函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)． [答案]　B 5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) [解析]　∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)，得b＝0. ∴g(x)＝

17、ax3＋cx. ∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)， ∴g(x)為奇函數(shù)． [答案]　A 二、填空題 6．奇函數(shù)f(x)的定義域是(t,2t＋3)，則t＝________. [解析]　由奇函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1. [答案]?。? 7．函數(shù)f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，則f(－1)的值為________． [解析]　∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． ∴f(－1)＝－f(1)＝－3. [答案]?。? 8．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2＋1，

18、則f(－2)＋f(0)＝________. [解析]　由題意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5. [答案]?。? 三、解答題 9．判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1. [解]　(1)由x＋1≠0，得f(x)的定義域為{x|x≠－1}，不關于原點對稱，所以函數(shù)f(x)＝不具有奇偶性． (2)∴－1≤x≤1且x≠0， ∴定義域為{x|－1≤x≤1，且x≠0}． ∴f(x)＝， ∴f(－x)＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (3)f(x)的定義

19、域為R， f(－x)＝x2＋|x－a|＋1. 又f(x)＝x2＋|x＋a|＋1， 當a＝0時，f(－x)＝f(x)，此時f(x)為偶函數(shù)； 當a≠0時，|x－a|≠|x＋a|，此時f(x)不具有奇偶性． 10．(1)如圖①，給出奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側的圖象并求出f(3)的值． (2)如圖②，給出偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側的圖象并比較f(1)與f(3)的大小． [解]　(1)奇函數(shù)y＝f(x)在y軸左側圖象上任一點P(－x，－f(－x))關于原點的對稱點為P′(x，f(x))，圖③為圖①補充后的圖象，易知f(3)＝－2. 　　 (2)

20、偶函數(shù)y＝f(x)在y軸左側圖象上任一點P(－x，f(－x))關于y軸的對稱點為P′(x，f(x))，圖④為圖②補充后的圖象，易知f(1)>f(3)． 綜合運用 11．設函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結論恒成立的是(　　) A．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù) B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù) C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù) D．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù) [解析]　∵函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 對于選項A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(

21、x)|－g(x))，故其不具有奇偶性； 對于選項B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函數(shù)為偶函數(shù)； 對于選項C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性； 對于選項D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函數(shù)為偶函數(shù)． 綜上，選D. [答案]　D 12．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [解析]　由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(

22、－1)＝f(1)＋g(1)＝4.兩式相加，解得g(1)＝3. [答案]　B 13．若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a等于________． [解析]　函數(shù)f(x)的定義域為{x. 又f(x)為奇函數(shù)，定義域應關于原點對稱，∴a＝. [答案]　 14．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，則a的值為________． [解析]　因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5. [答案]　5 15．已知函數(shù)f(x)對一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求證：f(x)是奇函數(shù)； (2)若f(－3)＝a，試用a表示f(12)． [解]　(1)證明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 故f(x)是奇函數(shù)． (2)因為f(x)為奇函數(shù)． 所以f(－3)＝－f(3)＝a， 所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， 所以f(12)＝－4a. 13