河北省衡水市2022年高考數(shù)學 各類考試分項匯編 專題03 導數(shù)與應用 理

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1、河北省衡水市2022年高考數(shù)學 各類考試分項匯編 專題03 導數(shù)與應用 理 一、選擇題 1. 【河北省衡水中學2018屆高三上學期七調(diào)考試數(shù)學（理)試題】已知為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2. 【河北省衡水中學2018屆高三十六?！恳阎瘮?shù)，若對任意的,總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得對任意的恒成立，所以，令，得，當時， ；當時， ；所以當時，，從而，因為，所以當時，；當時，；因此當時，

2、，選C. 4. 【河北省衡水中學2018年高考押題(三)】已知是方程的實根，則下列關(guān)于實數(shù)的判斷正確有______. ① ② ③ ④ 【答案】③. 5. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】曲線在處的切線傾斜角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】對函數(shù)求導則，則，則傾斜角為．故本題答案選． 6. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 7. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】已知函數(shù)，，若對任意的，

3、，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 令，則， 所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 所以， 則, 2. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】已知且對任意的恒成立，則的最小值為_____． 【答案】1 【解析】設(shè)，則由得： ，當當時， ，當時， ，所以當時， 有唯一極值，也是最小值，所以由對任意的恒成立，得，可得，因為 ，故成立， 令（），，當時， ，當時， ，所以當時，，所以，故填． 三、解答題 1. 【河北省衡水中學2018屆高三畢業(yè)班模擬演練一】已知函數(shù). （1）若函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

4、（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個不等實根，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）. 【答案】(1) (2)見解析 ③當時，令，得， 在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增； 在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減， 故當時，取得極大值， 且極大值為，無極小值. 若恰有一個零點，則，解得， 綜上所述，實數(shù)的取值范圍為. 設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為， 設(shè)，， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴，∴， 即，即. 3. 【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學（理)試題】已知函數(shù)． (1)若，證明：當； (2)設(shè)，若函數(shù)上有2個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2） （2）法

5、一： （i）當時，沒有零； （ii）當時，， 當時，；當時，. 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 故是在上的最小值 ①若，即時，在上沒有零點； ②若，即時，在上只有1個零點； ③若，即時，由于，所以在（0，2）上有1個零點， 由（1）知，當時，， 4. 【河北省衡水中學2018屆高三第十次模擬考試數(shù)學（理)試題】已知函數(shù). （1）當，求函數(shù)的圖象在處的切線方程； （2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； （3）已知， ， 均為正實數(shù)，且，求證. 【答案】(1) (2) (3)見解析 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立， 即在上恒成立. 設(shè)，

6、∵，∴，則在上單調(diào)遞增， ∴在上的值域為. 6. 【河北省衡水中學2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學（理)試題】已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當時，函數(shù)的圖象恒不在軸的上方，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）當時，增區(qū)間為，當時，遞增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）. （2）由題意得， ∵當時，函數(shù)的圖象恒不在軸的上方， ∴在上恒成立． 設(shè)， 則. 令， 則， ①若，則，故在上單調(diào)遞增， ∴， ∴在上單調(diào)遞增， ∴， 8. 【河北省衡水中學2018屆高三十六?！恳阎瘮?shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸垂直． （1）求的單調(diào)區(qū)

7、間； （2）設(shè)，對任意，證明：． 【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析. 【解析】 （1）因為，由已知得，∴． 所以， 設(shè)，則，在上恒成立，即在上是減函數(shù)， 由知，當時，從而，當時，從而． 綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是． 綜上所述，對任意．① 令，則恒成立，所以在上遞增， 恒成立，即，即．② 當時，有；當時，由①②式，， 綜上所述，時，成立，故原不等式成立 9. 【河北省衡水中學2018年高考押題(二)】設(shè)函數(shù). （1）試討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）設(shè)，記，當時，若方程有兩個不相等的實根，，證明. 【答案】（1）見解析；

8、（2）見解析. （2）證明：由題可知 ， 所以. 所以當時，；當時，；當時，. 欲證，只需證，又，即單調(diào)遞增，故只需證明. 設(shè)，是方程的兩個不相等的實根，不妨設(shè)為， 則 兩式相減并整理得， 從而， 故只需證明， 即. 因為， 所以（*）式可化為， 即. 因為，所以， 不妨令，所以得到，. 記，，所以，當且僅當時，等號成立，因此在單調(diào)遞增. （2）因為g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0， 所以所求問題等價于函數(shù)g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上沒有零點. 因為.所以由 lnx+1-a<00ea-1,

9、 所以g（x）在（0，ea-1）上單調(diào)遞減，在（ea-1，）上單調(diào)遞增. ①當ea-1≤1，即a≤1時，g（x）在（1,e]上單調(diào)遞增，所以g（x）>g(1)=0. 此時函數(shù)g（x）在（1,e]上沒有零點， ②當1

10、（x）在（1,e]上沒有零點， ③當e≤ea-1即a≥2時，g（x）在[1,e]上單調(diào)遞減，所以g（x）在[1,e]上滿足g（x）

11、小值點，也是最小值點， 即. 令， 則， 當時，； 當時，； 當時，， 所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)， 從而是函數(shù)的極大值點.也是最大值點，所以， 即（當且僅當時取等號） 當，即時，函數(shù)只有一個零點 當，即，且時，分和兩種情況討論： （i）當時，，因為，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點；又，因此有兩個零點. （ii）當時，； 由（1），得.即，亦即. 令.則得，即， 12. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期三調(diào)考試】設(shè)函數(shù). (1)當時，求函數(shù)的最大值； (2)令，其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍； (3)當，，方程有唯一

12、實數(shù)解，求正數(shù)的值. 【答案】（1）（2） （3） 【解析】 (1)依題意，知的定義域為， 當時，， ， 令，解得.(∵) 因為 有唯一解，所以，當時，，此時單調(diào)遞增； 當時，，此時單調(diào)遞減， 所以的極大值為，此即為最大值. (2)，，則有，在上恒成立， 所以，. 當時，取得最大值，所以. (3)因為方程有唯一實數(shù)解， 所以有唯一實數(shù)解， 設(shè)， 則，令，， 因為，，所以 (舍去)，， 當時，，在上單調(diào)遞減； 此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點,所以至多有個零點. 當且,即時, 因為, , 所以分別在區(qū)間,和上恰有1個零點. 由于在區(qū)間和上單調(diào),

13、 所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點. 綜上可知,當過點存在條直線與曲線相切時,的取值范圍是. 14. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】已知函數(shù)，. （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對任意，，，有. 【答案】(1)見解析. (2)證明明見解析. （2）考慮函數(shù)， 則 由于，故，即在單調(diào)增加，從而當時有，即，故， 當時，有. 15. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】已知函數(shù)（）．　 （1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； （2）若，且有兩個極值點， （），求取值范圍． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （2）由（1）知，當時有

14、兩個極值點，此時， ，∴， 因為，解得， 由于，于是 . 令，則， ∴在上單調(diào)遞減， . 即. 故的取值范圍為. 16. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】設(shè)函數(shù)，其中. （1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由； （2）若成立，求的取值范圍. 【答案】（1）見解析（2） 【解析】 （Ⅰ），設(shè)，則， 當時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點. 當時，， 若時， ，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點. 若時，設(shè)的兩個不相等的正實數(shù)根，，且， 則 所以當，，單調(diào)遞增；當，單調(diào)遞減； 當， ，單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)有兩個極值點； 同理當時的兩個不相等的實數(shù)根，，且， 當

15、，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增； 所以函數(shù)只有一個極值點. 綜上可知當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，的有兩個極值點. （Ⅱ）對于， 由（Ⅰ）知當時函數(shù)在上為增函數(shù)，由，所以成立. 若，設(shè)的兩個不相等的正實數(shù)根，， 且，，∴.則若，成立，則要求， 即解得.此時在為增函數(shù)，，成立 若當時 令，顯然不恒成立. 綜上所述，的取值范圍是. 17. 【衡水中學2019屆高三開學二調(diào)考試】已知函數(shù)，其中a∈R. （1）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值； （2）在（1）的結(jié)論下，若關(guān)于x的不等式，當x≥1時恒成立， 求t的值. 【答案】(1) ； (2). 18. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期六調(diào)考試】請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 設(shè)函數(shù)，. （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當時，討論函數(shù)與圖象的交點個數(shù). 【答案】（1）當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）1個. （2）令，，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù)， 當時，，，有唯一零點； 當時，， 當時，，函數(shù)為減函數(shù)，注意到，，所以有唯一零點； 當時，由得或，由得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到， ， 所以有唯一零點； 當時，由得，或， 由得，