河北省衡水市2022年高考數(shù)學(xué) 各類考試分項(xiàng)匯編 專題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用 理

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1、河北省衡水市2022年高考數(shù)學(xué) 各類考試分項(xiàng)匯編 專題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用 理 一、選擇題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)（理)試題】已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三十六?！恳阎瘮?shù)，若對(duì)任意的,總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得對(duì)任意的恒成立，所以，令，得，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；所以當(dāng)時(shí)，，從而，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此當(dāng)時(shí)，

2、，選C. 4. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(三)】已知是方程的實(shí)根，則下列關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確有______. ① ② ③ ④ 【答案】③. 5. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】曲線在處的切線傾斜角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)則，則，則傾斜角為．故本題答案選． 6. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 7. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，

3、，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 令，則， 所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 所以， 則, 2. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】已知且對(duì)任意的恒成立，則的最小值為_____． 【答案】1 【解析】設(shè)，則由得： ，當(dāng)當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， 有唯一極值，也是最小值，所以由對(duì)任意的恒成立，得，可得，因?yàn)?，故成立， 令（），，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故填． 三、解答題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三畢業(yè)班模擬演練一】已知函數(shù). （1）若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

4、（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. 【答案】(1) (2)見解析 ③當(dāng)時(shí)，令，得， 在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增； 在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減， 故當(dāng)時(shí)，取得極大值， 且極大值為，無(wú)極小值. 若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為， 設(shè)，， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴，∴， 即，即. 3. 【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)（理)試題】已知函數(shù)． (1)若，證明：當(dāng)； (2)設(shè)，若函數(shù)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2） （2）法

5、一： （i）當(dāng)時(shí)，沒有零； （ii）當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 故是在上的最小值 ①若，即時(shí)，在上沒有零點(diǎn)； ②若，即時(shí)，在上只有1個(gè)零點(diǎn)； ③若，即時(shí)，由于，所以在（0，2）上有1個(gè)零點(diǎn)， 由（1）知，當(dāng)時(shí)，， 4. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】已知函數(shù). （1）當(dāng)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程； （2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）已知， ， 均為正實(shí)數(shù)，且，求證. 【答案】(1) (2) (3)見解析 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立， 即在上恒成立. 設(shè)，

6、∵，∴，則在上單調(diào)遞增， ∴在上的值域?yàn)? 6. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒不在軸的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）. （2）由題意得， ∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒不在軸的上方， ∴在上恒成立． 設(shè)， 則. 令， 則， ①若，則，故在上單調(diào)遞增， ∴， ∴在上單調(diào)遞增， ∴， 8. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三十六?！恳阎瘮?shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直． （1）求的單調(diào)區(qū)

7、間； （2）設(shè)，對(duì)任意，證明：． 【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析. 【解析】 （1）因?yàn)?，由已知得，∴? 所以， 設(shè)，則，在上恒成立，即在上是減函數(shù)， 由知，當(dāng)時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，從而． 綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是． 綜上所述，對(duì)任意．① 令，則恒成立，所以在上遞增， 恒成立，即，即．② 當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，由①②式，， 綜上所述，時(shí)，成立，故原不等式成立 9. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(二)】設(shè)函數(shù). （1）試討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，證明. 【答案】（1）見解析；

8、（2）見解析. （2）證明：由題可知 ， 所以. 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 欲證，只需證，又，即單調(diào)遞增，故只需證明. 設(shè)，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為， 則 兩式相減并整理得， 從而， 故只需證明， 即. 因?yàn)椋? 所以（*）式可化為， 即. 因?yàn)?，所以? 不妨令，所以得到，. 記，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此在單調(diào)遞增. （2）因?yàn)間（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0， 所以所求問題等價(jià)于函數(shù)g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上沒有零點(diǎn). 因?yàn)?所以由 lnx+1-a<00ea-1,

9、 所以g（x）在（0，ea-1）上單調(diào)遞減，在（ea-1，）上單調(diào)遞增. ①當(dāng)ea-1≤1，即a≤1時(shí)，g（x）在（1,e]上單調(diào)遞增，所以g（x）>g(1)=0. 此時(shí)函數(shù)g（x）在（1,e]上沒有零點(diǎn)， ②當(dāng)1

10、（x）在（1,e]上沒有零點(diǎn)， ③當(dāng)e≤ea-1即a≥2時(shí)，g（x）在[1,e]上單調(diào)遞減，所以g（x）在[1,e]上滿足g（x）

11、小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)， 即. 令， 則， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)， 從而是函數(shù)的極大值點(diǎn).也是最大值點(diǎn)，所以， 即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)，即，且時(shí)，分和兩種情況討論： （i）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；又，因此有兩個(gè)零點(diǎn). （ii）當(dāng)時(shí)，； 由（1），得.即，亦即. 令.則得，即， 12. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期三調(diào)考試】設(shè)函數(shù). (1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值； (2)令，其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (3)當(dāng)，，方程有唯一

12、實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值. 【答案】（1）（2） （3） 【解析】 (1)依題意，知的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，， ， 令，解得.(∵) 因?yàn)?有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減， 所以的極大值為，此即為最大值. (2)，，則有，在上恒成立， 所以，. 當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以. (3)因?yàn)榉匠逃形ㄒ粚?shí)數(shù)解， 所以有唯一實(shí)數(shù)解， 設(shè)， 則，令，， 因?yàn)椋?，所?(舍去)，， 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減； 此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以至多有個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)且,即時(shí), 因?yàn)? , 所以分別在區(qū)間,和上恰有1個(gè)零點(diǎn). 由于在區(qū)間和上單調(diào),

13、 所以分別在區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn). 綜上可知,當(dāng)過點(diǎn)存在條直線與曲線相切時(shí),的取值范圍是. 14. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】已知函數(shù)，. （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對(duì)任意，，，有. 【答案】(1)見解析. (2)證明明見解析. （2）考慮函數(shù)， 則 由于，故，即在單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故， 當(dāng)時(shí)，有. 15. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】已知函數(shù)（）．　 （1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)， （），求取值范圍． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)有

14、兩個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)， ，∴， 因?yàn)?，解得? 由于，于是 . 令，則， ∴在上單調(diào)遞減， . 即. 故的取值范圍為. 16. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】設(shè)函數(shù)，其中. （1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由； （2）若成立，求的取值范圍. 【答案】（1）見解析（2） 【解析】 （Ⅰ），設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，， 若時(shí)， ，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn). 若時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，且， 則 所以當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減； 當(dāng)， ，單調(diào)遞增.因此此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)； 同理當(dāng)時(shí)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且， 當(dāng)

15、，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增； 所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn). 綜上可知當(dāng)時(shí)的無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的有兩個(gè)極值點(diǎn). （Ⅱ）對(duì)于， 由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，由，所以成立. 若，設(shè)的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，， 且，，∴.則若，成立，則要求， 即解得.此時(shí)在為增函數(shù)，，成立 若當(dāng)時(shí) 令，顯然不恒成立. 綜上所述，的取值范圍是. 17. 【衡水中學(xué)2019屆高三開學(xué)二調(diào)考試】已知函數(shù)，其中a∈R. （1）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值； （2）在（1）的結(jié)論下，若關(guān)于x的不等式，當(dāng)x≥1時(shí)恒成立， 求t的值. 【答案】(1) ； (2). 18. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 設(shè)函數(shù)，. （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）1個(gè). （2）令，，問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，，有唯一零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，注意到，，所以有唯一零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到， ， 所以有唯一零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，由得，或， 由得，