2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷2含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷2） 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。 2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1． A． B． C． D． 2．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函數(shù)的圖像大致為 4．已知向量，滿足，，則 A．4 B．3 C．2 D

2、．0 5．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A． B． C． D． 6．在中，，，，則 A． B． C． D． 7．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入 A． B． C． D． 8．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 9．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D．

3、 10．若在是減函數(shù)，則的最大值是 A． B． C． D． 11．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則 A． B．0 C．2 D．50 12．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率 為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________． 14．若滿足約束條件 則的最大值為__________． 15．已知，，則__________． 16．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與

4、圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分） 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值

5、依次為）建立模型①：；根據(jù)2020年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； （2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由． 19．（12分） 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，． （1）求的方程； （2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 20．（12分） 如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 21．（12分） 已知函數(shù)． （1）若，證明：當(dāng)時(shí)，； （2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．

6、 （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）． （1）求和的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率． 23．[選修4－5：不等式選講]（10分） 設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 參考答案 一、選擇題 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C

7、 12.D 二、填空題 13. 14.9 15. 16. 三、解答題 17. (12分) 解：（1）設(shè)的公差為d，由題意得. 由得d=2. 所以的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）得. 所以當(dāng)n=4時(shí),取得最小值,最小值為?16. 18.(12分) 解：（1）利用模型①,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 (億元). 利用模型②,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 (億元). （2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 理由如下： （?。恼劬€圖可以看出,2000年至2020年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下.這說明利用2000年至20

8、20年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2020年相對(duì)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. （ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 以上給出了

9、2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. 19.(12分) 解：（1）由題意得，l的方程為. 設(shè)， 由得. ，故. 所以. 由題設(shè)知，解得（舍去），. 因此l的方程為. （2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線方程為，即. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則 解得或 因此所求圓的方程為或. 20.(12分) 解：（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且. 連結(jié).因?yàn)?，所以為等腰直角三角形? 且，. 由知. 由知平面. （2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知得取平面的法向量. 設(shè)，則. 設(shè)平面的法向量為.

10、 由得，可取， 所以.由已知得. 所以.解得（舍去），. 所以.又，所以. 所以與平面所成角的正弦值為. 21．（12分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于． 設(shè)函數(shù)，則． 當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減． 而，故當(dāng)時(shí)，，即． （2）設(shè)函數(shù)． 在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)． （i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)； （ii）當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，即，在沒有零點(diǎn)； ②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)； ③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)， 由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以． 故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，． 22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 23．[選修4-5：不等式選講]（10分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)， 可得的解集為． （2）等價(jià)于． 而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故等價(jià)于． 由可得或，所以的取值范圍是．