2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理（全國卷2含答案）(1)

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1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理（全國卷2） 注意事項： 1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1． A． B． C． D． 2．已知集合，則中元素的個數(shù)為 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函數(shù)的圖像大致為 4．已知向量，滿足，，則 A．4 B．3 C．2 D

2、．0 5．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A． B． C． D． 6．在中，，，，則 A． B． C． D． 7．為計算，設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入 A． B． C． D． 8．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 9．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D．

3、 10．若在是減函數(shù)，則的最大值是 A． B． C． D． 11．已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 A． B．0 C．2 D．50 12．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率 為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．曲線在點處的切線方程為__________． 14．若滿足約束條件 則的最大值為__________． 15．已知，，則__________． 16．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與

4、圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________． 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分） 記為等差數(shù)列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預測該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據2000年至2020年的數(shù)據（時間變量的值

5、依次為）建立模型①：；根據2020年至2020年的數(shù)據（時間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 19．（12分） 設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準線相切的圓的方程． 20．（12分） 如圖，在三棱錐中，，，為的中點． （1）證明：平面； （2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 21．（12分） 已知函數(shù)． （1）若，證明：當時，； （2）若在只有一個零點，求．

6、 （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）． （1）求和的直角坐標方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率． 23．[選修4－5：不等式選講]（10分） 設函數(shù)． （1）當時，求不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 參考答案 一、選擇題 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C

7、 12.D 二、填空題 13. 14.9 15. 16. 三、解答題 17. (12分) 解：（1）設的公差為d，由題意得. 由得d=2. 所以的通項公式為. （2）由（1）得. 所以當n=4時,取得最小值,最小值為?16. 18.(12分) 解：（1）利用模型①,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 (億元). 利用模型②,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 (億元). （2）利用模型②得到的預測值更可靠. 理由如下： （?。恼劬€圖可以看出,2000年至2020年的數(shù)據對應的點沒有隨機散布在直線上下.這說明利用2000年至20

8、20年的數(shù)據建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2020年相對2020年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2020年至2020年的數(shù)據建立的線性模型可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠. （ⅱ）從計算結果看,相對于2020年的環(huán)境基礎設施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預測值更可靠. 以上給出了

9、2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. 19.(12分) 解：（1）由題意得，l的方程為. 設， 由得. ，故. 所以. 由題設知，解得（舍去），. 因此l的方程為. （2）由（1）得AB的中點坐標為，所以AB的垂直平分線方程為，即. 設所求圓的圓心坐標為，則 解得或 因此所求圓的方程為或. 20.(12分) 解：（1）因為，為的中點，所以，且. 連結.因為，所以為等腰直角三角形， 且，. 由知. 由知平面. （2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系. 由已知得取平面的法向量. 設，則. 設平面的法向量為.

10、 由得，可取， 所以.由已知得. 所以.解得（舍去），. 所以.又，所以. 所以與平面所成角的正弦值為. 21．（12分） 【解析】（1）當時，等價于． 設函數(shù)，則． 當時，，所以在單調遞減． 而，故當時，，即． （2）設函數(shù)． 在只有一個零點當且僅當在只有一個零點． （i）當時，，沒有零點； （ii）當時，． 當時，；當時，． 所以在單調遞減，在單調遞增． 故是在的最小值． ①若，即，在沒有零點； ②若，即，在只有一個零點； ③若，即，由于，所以在有一個零點， 由（1）知，當時，，所以． 故在有一個零點，因此在有兩個零點． 綜上，在只有一個零點時，． 22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分） 【解析】（1）曲線的直角坐標方程為． 當時，的直角坐標方程為， 當時，的直角坐標方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程 ．① 因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 23．[選修4-5：不等式選講]（10分） 【解析】（1）當時， 可得的解集為． （2）等價于． 而，且當時等號成立．故等價于． 由可得或，所以的取值范圍是．