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1、選修4-4 第2節(jié)
[知能演練]
一、選擇題
1．與參數方程為(t為參數)等價的普通方程為
( )
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1(0≤x≤1)
C．x2＋＝1(0≤y≤2)
D．x2＋＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)
解析：x2＝t，＝1－t＝1－x2，x2＋＝1，而t≥0,0≤1－t≤1，得0≤y≤2.
答案：D
2．若曲線C的參數方程為(θ為參數)，則曲線C上的點的軌跡是( )
A．直線x＋2y－2＝0
B．以(2,0)為端點的射線
C．圓(x－1)2＋y2＝1
D．以(2,0)和(0,1)為端點的線段
解析：將曲線的參數方程化為普通方程得x＋2y
2、－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)．
答案：D
3．直線(t為參數)被圓(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦長為
( )
A. B．40
C. D.
解析：?
把直線代入(x－3)2＋(y＋1)2＝25得(－5＋t)2＋(2－t)2＝25，t2－7t＋2＝0
|t1－t2|＝＝，
弦長為|t1－t2|＝.
答案：C
二、填空題
4．圓C：(θ為參數)的普通方程為________，設O為坐標原點，點M(x0，y0)在C上運動，點P(x，y)是線段OM的中點，則點P的軌跡方程為________．
答案：∵
∴(x－1)2＋y2＝cos
3、2θ＋sin2θ＝1.
∴普通方程為(x－1)2＋y2＝1.
M點的坐標可以設為M(1＋cosθ，sinθ)，
則P(，)，即
∴(2x－1)2＋(2y)2＝cos2θ＋sin2θ＝1.
∴點P的軌跡方程為(x－)2＋y2＝.
答案：(x－1)2＋y2＝1 (x－)2＋y2＝
5．已知直線l的參數方程是(t為參數)，其中實數α的范圍是(0，)，則直線l的傾斜角是________．
解析：首先要根據α的范圍把直線的參數方程化為標準參數方程，根據標準式結合α的范圍得出直線的傾斜角．直線l的參數方程可以化為(t為參數)，所以根據方程可知直線的傾斜角是－α.
答案：：－α
6．雙曲
4、線(φ為參數)的漸近線方程為________．
解析：雙曲線的普通方程為y2－＝1，雙曲線的中心在(2,0)，焦點在直線x＝2上．
又a＝1，b＝3，
∴漸近線方程為y＝±(x－2)．
答案：y＝±(x－2)
三、解答題
7．將參數方程(θ為參數)化為普通方程，并指出它表示的曲線．
解：y＝4cos2θ＝4－8sin2θ，由x＝3sin2θ，得sin2θ＝.
∴y＝4－x，即8x＋3y－12＝0.
∵x＝3sin2θ∈[0,3]，∴所求普通方程為8x＋3y－12＝0(x∈[0,3])，它表示一條線段．
8．已知圓錐曲線(θ是參數)和定點A(0，)，F(xiàn)1、F2是圓錐曲線的左、
5、右焦點．
(1)求經過點F1垂直于直線AF2的直線l的參數方程；
(2)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AF2的極坐標方程．
解：(1)圓錐曲線化為普通方程是＋＝1，所以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則直線AF2的斜率k＝＝－，于是經過點F1垂直于直線AF2的直線l的斜率k′＝，直線l的傾斜角是30°，所以直線l的參數方程是(t為參數)，
即(t為參數)．
(2)解法一：直線AF2的斜率k＝＝－，傾斜角是120°，設P(ρ，θ)是直線AF2上任一點，
則根據正弦定理得＝，
即ρsin(120°－θ)＝sin60°，
即ρsinθ＋ρcosθ＝.
解
6、法二：直線AF2的直角坐標方程是y＝－(x－1)，
將代入得直線AF2的極坐標方程：
ρsinθ＝－ρcosθ＋，即ρsinθ＋ρcosθ＝.
[高考·模擬·預測]
1．(2020·天津高考)設直線l1的參數方程為(t為參數)，直線l2的方程為y＝3x＋4，則l1與l2間的距離為________．
解析：將直線l1的參數方程化成普通方程為y＝3x－2，又l2：y＝3x＋4，故l1∥l2，在l1上取一點(0，－2)，其到l2：3x－y＋4＝0的距離就是l1與l2的距離，即d＝＝.
答案：
2．(2020·廣東高考)若直線l1：(t為參數)與直線l2：(s為參數)垂直，則k＝____
7、____.
解析：l1：(t為參數)化為普通方程為y－2＝－(x－1)，
l2：(s為參數)化為普通方程為y－1＝－2x，∵l1⊥l2，
∴－·(－2)＝－1，k＝－1.
答案：－1
3．(2020·江蘇高考)已知曲線C的參數方程為
(t為參數，t>0)．
求曲線C的普通方程．
解：因為x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，
故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0.
4．(2020·海南、寧夏高考)坐標系與參數方程已知曲線C1：(θ為參數)，
曲線C2：(t為參數)．
(1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數．
(2)若把C1，C2上各點的縱坐標
8、都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C1′，C2′.寫出C1′，C2′的參數方程．C1′與C2′公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同？說明你的理由．
解：(1)C1是圓，C2是直線．
C1的普通方程為x2＋y2＝1，圓心C1(0,0)，半徑r＝1.
C2的普通方程為x－y＋＝0.
因為圓心C1到直線x－y＋＝0的距離為1，等于半徑r，所以C2與C1只有一個公共點．
(2)壓縮后的參數方程分別為
C1′：(θ為參數)，
C2′：(t為參數)．
化為普通方程為C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋，
聯(lián)立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判別式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點個數相同．
【綠色通道】2020高考數學總復習 4-2參數方程 新人教A版選修4
