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1、第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理(一)
教學(xué)要求:結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解歸納推理的含義,能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
教學(xué)重點(diǎn):能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.
教學(xué)難點(diǎn):用歸納進(jìn)行推理,作出猜想.
教學(xué)過程:
一、新課引入:
1. 哥德巴赫猜想:觀察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜測(cè):任一偶數(shù)(除去2,它本身是一素?cái)?shù))可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和. 1742年寫信提出,歐拉及
2、以后的數(shù)學(xué)家無人能解,成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想. 1973年,我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn),證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個(gè)素?cái)?shù)與至多兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和,數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”.
2. 費(fèi)馬猜想:法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家之王—費(fèi)馬(1601-1665)在1640年通過對(duì),,,,的觀察,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素?cái)?shù),于是提出猜想:對(duì)所有的自然數(shù),任何形如的數(shù)都是素?cái)?shù). 后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,發(fā)現(xiàn)不是素?cái)?shù),推翻費(fèi)馬猜想.
3. 四色猜想:1852年,畢業(yè)于英國(guó)倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí),發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象:“每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”,四色猜想成了世
3、界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.1976年,美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上,用1200個(gè)小時(shí),作了100億邏輯判斷,完成證明.
二、講授新課:
1. 教學(xué)概念:
① 概念:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理. 簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.
② 歸納練習(xí):(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電,能歸納出什么結(jié)論?
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度,能歸納出什么結(jié)論?
(iii)觀察等式:,能得出怎樣的結(jié)論?
③ 討論:(i)統(tǒng)
4、計(jì)學(xué)中,從總體中抽取樣本,然后用樣本估計(jì)總體,是否屬歸納推理?
(ii)歸納推理有何作用? (發(fā)現(xiàn)新事實(shí),獲得新結(jié)論,是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段)
(iii)歸納推理的結(jié)果是否正確?(不一定)
2. 教學(xué)例題:
① 出示例題:已知數(shù)列的第1項(xiàng),且,試歸納出通項(xiàng)公式.
(分析思路:試值n=1,2,3,4 → 猜想 →如何證明:將遞推公式變形,再構(gòu)造新數(shù)列)
② 思考:證得某命題在n=n時(shí)成立;又假設(shè)在n=k時(shí)命題成立,再證明n=k+1時(shí)命題也成立. 由這兩步,可以歸納出什么結(jié)論? (目的:滲透數(shù)學(xué)歸納法原理,即基礎(chǔ)、遞推關(guān)系)
③ 練習(xí):已知 ,推測(cè)的表達(dá)式.
3. 小結(jié):①歸納推理的藥店:由部分到整體、由個(gè)別到一般;②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納.
三、鞏固練習(xí):
1. 練習(xí):教材P38 1、2題. 2. 作業(yè):教材P44 習(xí)題A組 1、2、3題.