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1、
（福建專用）2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)闖關(guān)（含解析）
一、選擇題
1．(2020·廈門質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝2，其前4項(xiàng)和S4＝60，則a2等于( )
A．8 B．6
C．－8 D．－6
解析：選A.法一：由S4＝60＝＋a2＋a2q＋a2q2，又q＝2，則a2＝8.
法二：S4＝60＝，所以a1＝4，則a2＝8.
2．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a7＝4a，a2＝2，則a1＝( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：選A.由a3·a7＝a4·a6＝4a，所以＝q2＝4.
2、又等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，所以q＝2，則a1＝1.
3．若數(shù)列{an}滿足an＝qn(q>0，n∈N*)，則以下命題正確的是( )
①{a2n}是等比數(shù)列；②{}是等比數(shù)列；③{lgan}是等差數(shù)列；④{lga}是等差數(shù)列．
A．①③ B．③④
C．①②③④ D．②③④
解析：選C.∵an＝qn(q>0，n∈N*)，∴{an}是等比數(shù)列，因此{(lán)a2n}，{}是等比數(shù)列，{lgan}，{lga}是等差數(shù)列．
4．(2020·古田調(diào)研)在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋k，則實(shí)數(shù)k等于( )
A．0 B．1
C．－1
3、 D．2
解析：選C.∵an＋1＝can，∴{an}是等比數(shù)列，Sn＝3n＋k，所以q≠1，Sn＝Aqn＋B，其中A＋B＝0，故q＝3，k＝－1.
5．設(shè){an}，{bn}均為正項(xiàng)等比數(shù)列，將它們的前n項(xiàng)之積分別記為An，Bn，若＝2n2－n，則的值為( )
A．32 B．64
C．256 D．512
解析：選C.9＝＝29×8，所以＝28.
二、選擇題
6．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1的等比數(shù)列，則能保證4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列的公比q等于________．
解析：∵4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列，
∴2a5＝4a1＋(－2a3).
設(shè)數(shù)列{an}的
4、公比為q，則a5＝a1q4，a3＝a1q2，
∴2a1q4＝4a1－2a1q2.∵a1≠0，∴q4＋q2－2＝0，
∴q2＝1或q2＝－2(舍去)，∴q＝1或q＝－1.
答案：±1
7．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)(，)(n≥2)在直線x－y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.
解析：n≥2時(shí)，∵－＝0，∴an＝2an－1，
∴正項(xiàng)數(shù)列{an}是q＝2的等比數(shù)列．
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
8．在等比數(shù)列{an}中，存在正整數(shù)m，有am＝3，am＋5＝24，則am＋15＝________.
解析：q5＝＝8，am＋15＝am·q
5、15＝3×83＝1536.
答案：1536
三、解答題
9．設(shè)數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q＞1)，
由已知，得，
即，
也即，解得，
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1.
(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2，
又bn＋1－bn＝3ln2，
∴{bn}是以b1＝3ln2為首項(xiàng)，以
6、3ln2為公差的等差數(shù)列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝，
即Tn＝ln2.
10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)證明：b1＝a2－a1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－1，
∴{bn}是以1為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝(－)n－1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋(－)＋…＋(－)n－2
7、
＝1＋＝1＋[1－(－)n－1]
＝－(－)n－1；
當(dāng)n＝1時(shí)，－(－)1－1＝1＝a1，
∴an＝－(－)n－1(n∈N*)．
一、選擇題
1．(2020·高考安徽卷)設(shè){an}是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是( )
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析：選D.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比數(shù)列，即(Y－X)2＝X(Z－Y)，所以Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，所以Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．
8、2．已知數(shù)列{an}共有m項(xiàng)，定義{an}的所有項(xiàng)和為S(1)，第二項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為S(2)，第三項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為S(3)，…，第n項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為S(n)．若S(n)是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)n＜m時(shí)，an等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：選C.∵n＜m，∴m≥n＋1.
又S(n)＝＝4－，
∴S(n＋1)＝4－，
故an＝S(n)－S(n＋1)＝－＝－.
二、填空題
3．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝4且a2020＝3S2011＋2020，a2020＝3S2020＋2020.把數(shù)列{an}的各項(xiàng)同排成如圖的三角形：
9、記A(s，t)表示第s行的第t個(gè)數(shù)，則A(11,12)等于________．
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
解析：a2020－a2020＝(3S2020＋2020)－(3S2020＋2020)＝3a2020，所以q＝4，an＝4n，前10行共有100個(gè)數(shù)，A(11,12)是第112個(gè)數(shù)，即4112.
答案：4112
4．(2020·高考江蘇卷)設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．
解析：由題意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4
10、＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.
故q≥，即q的最小值為.
答案：
三、解答題
5．(2020·高考安徽卷)在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這(n＋2)個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這(n＋2)個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝tanan·tanan＋1求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)設(shè)t1，t2，…，tn＋2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t1＝1，tn＋2＝100，則
Tn＝t1·t2·…·tn＋2，①
Tn＝tn＋1·tn＋2·…·t2·t1，②
①×②并利用titn＋3－i＝
11、t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得
T＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)，
∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.
(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1.
另一方面，利用 tan1＝tan[(k＋1)－k]
＝，
得tan(k＋1)·tank＝－1.
所以Sn＝bk＝an(k＋1)·tank
＝
＝－n.
6．已知數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝bn＋，且b1＝，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)如果對(duì)任意n∈N*，不等式≥2n－7恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)證明：對(duì)任意n∈N*，都有bn＋1＝bn＋，所以bn＋1－＝ .
則成等比數(shù)列，首項(xiàng)為b1－＝3，公比為.
所以bn－＝3×n－1，bn＝3×n－1＋.
(2)因?yàn)閎n＝3×n－1＋，
所以Tn＝3＋＝＋＝6＋.
因?yàn)椴坏仁健?n－7，化簡(jiǎn)得k≥對(duì)任意n∈N*恒成立．
設(shè)cn＝，則cn＋1－cn＝－＝.
當(dāng)n≥5，cn＋1≤cn，{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列；
當(dāng)1≤n＜5，cn＋1＞cn，{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列．
＝c4＜c5＝，所以，n＝5時(shí)，cn取得最大值.
所以，要使k≥對(duì)任意n∈N*恒成立，k≥.
（福建專用）2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)闖關(guān)（含解析）
