《電類高等數(shù)學(xué)電子教案第三章習(xí)題及解答》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《電類高等數(shù)學(xué)電子教案第三章習(xí)題及解答(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三章 極限與連續(xù)
練習(xí)題3.1
1.觀察下列數(shù)列的變化趨勢.若極限存在,求出該極限.
(1); (2); (3).
解:(1)當(dāng)時,,.
(2)當(dāng)時,沒有極限.
(3)當(dāng)時,,.
2.判斷下列命題是否真命題.如果不真,指出錯誤.
(1)若存在,則有意義;
(2)若和都存在,則極限一定存在;
(3)如果,那么;
(4)如果,那么不存在.
解:(1)假命題。存在與無關(guān);
(2)假命題。若和都存在且相等,則極限存在;
(3)假命題。如果,那么;
(4)真命題。
3.求下列函數(shù)在處的左右極限,并指出當(dāng)時,函數(shù)的極限是否存在.
(1);
2、 (2).
解:(1),,故 .
(2),,故 不存在.
練習(xí)題3.2
1.判斷下列各命題是否為真命題.如果不是,指出錯在哪里.
(1)無窮大必須是正數(shù); (2)是無窮??;
(3)任意多個無窮小的和仍是無窮??; (4)無窮小的倒數(shù)是無窮大.
解:都是假命題
2.利用無窮小的性質(zhì)求下列極限.
(1); ?。?);
(3); (4).
解:(1),因為當(dāng)時,為無窮小量,而,
所以.
(2)因為當(dāng)時,為無窮小量,而,
所以.
(3)因為當(dāng)時,為無窮小量
3、,而,所以 .
(4)因為當(dāng)時,為無窮小量,也為無窮小量,
所以.
3.下列函數(shù)在什么條件下是無窮小?在什么條件下是無窮大?為什么?
(1); ?。?).
解:(1),,
故當(dāng)時,為無窮大量;當(dāng)時,為無窮小量.
(2),,
故當(dāng)時,為無窮大量;當(dāng)時,為無窮小量.
練習(xí)題3.3
求下列函數(shù)的極限:
1.; 2.;
3.; 4.;
5.; 6.;
7.; 8.;
9.;
4、 10.;
11.; 12.;
13.; 14..
解:(1);
(2);
(3);
(4);
(5)
;
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11);
(12);
(13);
(14).
練習(xí)題3.4
計算下列極限:
(1); (2),;
(3); (4);
(5); (6)(為正整數(shù)).
解:(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).(為正整數(shù))
練
5、習(xí)題3.5
1.當(dāng)時,無窮小和(1),2. 是否同階?是否等價?
解:(1),
故當(dāng)時,與是同階無窮小,但不等價;
(2),故當(dāng)時,與是等價無窮小.
2.利用等價無窮小的性質(zhì)求下列極限:
(1); (2);
(3); (4).
解:(1),則
;
(2),
則;
(3),則;
(4),則
.
練習(xí)題3.6
1. 討論函數(shù),在處的連續(xù)性.
解:
,,,故在點連續(xù).
2.求下列函數(shù)的間斷點,并判斷其類型:
(1); (2).
解:(1)的定義域為,在處,,故 是的第二類間斷點;
(2),,故是的跳躍間斷
6、點.
3.設(shè),試問為何值時函數(shù)在處連續(xù)?
解:,,當(dāng)時,,函數(shù)在處連續(xù).
練習(xí)題3.7
1.求下列極限:
(1); (2);
(3); (4).
解:(1);
(2);
(3);
(4)
.
2. 證明:方程至少有一個小于的正根.
解:令,在上連續(xù),且,由根的存在定理,至少存在一點,使,即方程至少有一個小于的正根.
習(xí)題三
1.判斷正誤:
(1)若函數(shù)在處極限存在,則在處連續(xù).
(2)分段函數(shù)必有間斷點.
(3)與是時的等價無窮?。?
(4)無界函數(shù)不一定是無窮大量.
解:(1)錯(2)錯(3)對(4)對
2.設(shè)
7、 求,,.
解:;
,,故;
.
3.求下列極限
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (7);
(9); (10);
(11); (12);
(13); (14) .
解:(1)因為當(dāng)時,為無窮小量,為有界變量,故;
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)因為 ,所以 ;
(7);
8、
(8);
(9);
(10);
(11);
(12);
(13)
;
(14).
4.試證:當(dāng)時,與均為無窮小,并對這兩個無窮小進行比較.
解:因為,,故當(dāng)時,與均為無窮小量.又,
所以當(dāng)時,與是同階無窮小.
5.討論下列函數(shù)的連續(xù)性.如有間斷點,指出其類型.
(1); (2) ;
解:(1)函數(shù) 在上連續(xù),在點無定義,故是函數(shù)的間斷點.因為,所以是函數(shù)的可去間斷點.不存在,所以是函數(shù)的無窮間斷點.
(2)函數(shù)在上連續(xù),在處,因為,并且
,,所以,從而是函數(shù)的可去間斷點.
6.設(shè)
求的間斷點,并說明間斷點所屬類型.
解:因為 ,,故是函數(shù)的第一類間斷點,是跳躍間斷點.又,,
故 是函數(shù)的第二類間斷點.
7.設(shè)
要使在內(nèi)連續(xù),應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)?
解:,,
當(dāng)時,,所以在處連續(xù),從而在內(nèi)連續(xù).
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