2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項練 中檔題保分練（二）理

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1、中檔題保分練(二) 1．(2018·臨沂模擬)在△ABC中，已知B＝，AC＝，cos C＝. (1)求BC； (2)設(shè)D是AB邊中點，求CD. 解析：(1)∵cos C＝且0＜C＜π，∴sin C＝. ∵A＋B＋C＝π，B＝， ∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝. 在△ABC中，由正弦定理得： ＝， ∴BC＝＝3. (2)∵D為AB邊中點，∴＝(＋)， ∴||2＝(＋)2＝13，即CD＝. 2．(2018·惠州模擬)如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1

2、. (1)證明：SD⊥平面SAB； (2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值． 解析：(1)證明：取AB的中點E，連接DE，SE， 則四邊形BCDE為矩形， 所以DE＝CB＝2， 所以AD＝＝， 因為側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝2， 所以SA＝SB＝AB＝2，且SE＝， 又因為SD＝1， 所以SA2＋SD2＝AD2，SE2＋SD2＝ED2， 所以SD⊥SA，SD⊥SE. 又SA∩SE＝S， 所以SD⊥平面SAB. (2)過點S作SG⊥DE于點G， 因為AB⊥SE，AB⊥DE，SE∩DE＝E， 所以AB⊥平面SDE. 又AB?平面ABCD， 由平面與平面

3、垂直的性質(zhì)， 知SG⊥平面ABCD， 在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG， 得1×＝2SG， 所以SG＝. 過點A作AH⊥平面SBC于H，連接BH， 則∠ABH即為AB與平面SBC所成的角， 因為CD∥AB，AB⊥平面SDE， 所以CD⊥平面SDE， 又SD?平面SDE， 所以CD⊥SD. 在Rt△CDS中，由CD＝SD＝1， 求得SC＝. 在△SBC中，SB＝BC＝2，SC＝， 所以S△SBC＝×× ＝， 由VA-SBC＝VS-ABC， 得S△SBC·AH＝S△ABC·SG， 即××AH＝××2×2×， 解得AH＝， 所以sin∠ABH＝＝，

4、故AB與平面SBC所成角的正弦值為. 3．下圖是某市11月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇11月1日至11月12日中的某一天到達該市，并停留3天． (1)求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率； (2)設(shè)ζ是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求ζ的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解析：設(shè)Ai表示事件“此人于11月i日到達該市”(i＝1,2，…，12)．依題意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)． (1)設(shè)B為事件“此人到達當(dāng)日空氣重度污染”，則B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12， 所以P

5、(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝. 即此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率為. (2)由題意可知，ζ的所有可能取值為0,1,2,3， P(ζ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝， P(ζ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝， P(ζ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝， P(ζ＝1)＝1－P(ζ＝0)－P(ζ＝2)－P(ζ＝3)＝1－－－＝， (或P(ζ＝1)＝P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)＝P(A3)＋P(A5)＋P(A6)＋P(

6、A7)＋P(A10)＝) 所以ζ的分布列為 ζ 0 1 2 3 P 故ζ的期望E(ζ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．請在下面兩題中任選一題作答 (選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2asin θ，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))． (1)若a＝2，M為直線l與x軸的交點，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值； (2)若直線l被圓C截得的弦長為2，求a的值． 解析：(1)由ρ2＝4ρsin θ得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0， 將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得y＝－

7、(x－2)， 令y＝0，得x＝2，即點M的坐標(biāo)為(2,0)． 又圓C的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r＝2，則|MC|＝2， 所以|MN|的最大值為|MC|＋r＝2＋2. (2)因為圓C：x2＋(y－a)2＝a2，直線l：4x＋3y－4a＝0， 所以圓心C到直線l的距離d＝＝， 所以2 ＝2，即|a|＝2， 解得a＝±. (選修4－5：不等式選講)設(shè)a、b、c均為正數(shù)并滿足a＋b＋c＝3. (1)證明：ab＋bc＋ca≤3； (2)求＋＋的最大值． 解析：(1)證明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， 相加可得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 又9＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)， 所以ab＋bc＋ac≤3. (2) 由柯西不等式得 [12＋()2＋()2][()2＋()2＋()2]≥(＋＋)2， 即(＋＋)2≤(1＋2＋3)(a＋b＋1＋c＋1)＝30， 所以＋＋≤， 當(dāng)a∶1＝(b＋1)∶2＝(c＋1)∶3時等號成立，解得：a＝，b＝，c＝， 所以＋＋的最大值為. 5