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1、中檔題保分練(二)
1．(2018·臨沂模擬)在△ABC中，已知B＝，AC＝，cos C＝.
(1)求BC；
(2)設(shè)D是AB邊中點(diǎn)，求CD.
解析：(1)∵cos C＝且0＜C＜π，∴sin C＝.
∵A＋B＋C＝π，B＝，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
在△ABC中，由正弦定理得： ＝，
∴BC＝＝3.
(2)∵D為AB邊中點(diǎn)，∴＝(＋)，
∴||2＝(＋)2＝13，即CD＝.
2．(2018·惠州模擬)如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1
2、.
(1)證明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值．
解析：(1)證明：取AB的中點(diǎn)E，連接DE，SE，
則四邊形BCDE為矩形，
所以DE＝CB＝2，
所以AD＝＝，
因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形，AB＝2，
所以SA＝SB＝AB＝2，且SE＝，
又因?yàn)镾D＝1，
所以SA2＋SD2＝AD2，SE2＋SD2＝ED2，
所以SD⊥SA，SD⊥SE.
又SA∩SE＝S，
所以SD⊥平面SAB.
(2)過點(diǎn)S作SG⊥DE于點(diǎn)G，
因?yàn)锳B⊥SE，AB⊥DE，SE∩DE＝E，
所以AB⊥平面SDE.
又AB?平面ABCD，
由平面與平面
3、垂直的性質(zhì)，
知SG⊥平面ABCD，
在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG，
得1×＝2SG，
所以SG＝.
過點(diǎn)A作AH⊥平面SBC于H，連接BH，
則∠ABH即為AB與平面SBC所成的角，
因?yàn)镃D∥AB，AB⊥平面SDE，
所以CD⊥平面SDE，
又SD?平面SDE，
所以CD⊥SD.
在Rt△CDS中，由CD＝SD＝1，
求得SC＝.
在△SBC中，SB＝BC＝2，SC＝，
所以S△SBC＝×× ＝，
由VA-SBC＝VS-ABC，
得S△SBC·AH＝S△ABC·SG，
即××AH＝××2×2×，
解得AH＝，
所以sin∠ABH＝＝，
4、故AB與平面SBC所成角的正弦值為.
3．下圖是某市11月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇11月1日至11月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天．
(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；
(2)設(shè)ζ是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求ζ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
解析：設(shè)Ai表示事件“此人于11月i日到達(dá)該市”(i＝1,2，…，12)．依題意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，
所以P
5、(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.
即此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率為.
(2)由題意可知，ζ的所有可能取值為0,1,2,3，
P(ζ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，
P(ζ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，
P(ζ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，
P(ζ＝1)＝1－P(ζ＝0)－P(ζ＝2)－P(ζ＝3)＝1－－－＝，
(或P(ζ＝1)＝P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)＝P(A3)＋P(A5)＋P(A6)＋P(
6、A7)＋P(A10)＝)
所以ζ的分布列為
ζ
0
1
2
3
P
故ζ的期望E(ζ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4．請(qǐng)?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答
(選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2asin θ，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．
(1)若a＝2，M為直線l與x軸的交點(diǎn)，N是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值；
(2)若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求a的值．
解析：(1)由ρ2＝4ρsin θ得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，
將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得y＝－
7、(x－2)，
令y＝0，得x＝2，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)．
又圓C的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r＝2，則|MC|＝2，
所以|MN|的最大值為|MC|＋r＝2＋2.
(2)因?yàn)閳AC：x2＋(y－a)2＝a2，直線l：4x＋3y－4a＝0，
所以圓心C到直線l的距離d＝＝，
所以2 ＝2，即|a|＝2，
解得a＝±.
(選修4－5：不等式選講)設(shè)a、b、c均為正數(shù)并滿足a＋b＋c＝3.
(1)證明：ab＋bc＋ca≤3；
(2)求＋＋的最大值．
解析：(1)證明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
相加可得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
又9＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)，
所以ab＋bc＋ac≤3.
(2) 由柯西不等式得
[12＋()2＋()2][()2＋()2＋()2]≥(＋＋)2，
即(＋＋)2≤(1＋2＋3)(a＋b＋1＋c＋1)＝30，
所以＋＋≤，
當(dāng)a∶1＝(b＋1)∶2＝(c＋1)∶3時(shí)等號(hào)成立，解得：a＝，b＝，c＝，
所以＋＋的最大值為.
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2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項(xiàng)練 中檔題保分練（二）理
