2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八篇 平面解析幾何 第3節(jié) 橢圓課時(shí)作業(yè) 文（含解析）新人教A版

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1、第3節(jié) 橢圓 課時(shí)作業(yè) 基礎(chǔ)對點(diǎn)練(時(shí)間：30分鐘) 1．(改編題)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為2，則橢圓C的方程為(　　) (A)＋y2＝1 (B)x2＋＝1 (C)＋＝1 (D)＋y2＝1或＋＝1 A　解析：由e＝＝得，a2＝2b2，依題意×2a×2b＝2，即ab＝，解方程組得 所以橢圓C的方程為＋y2＝1.故選A. 2．(改編題)點(diǎn)P在橢圓＋＝1(a＞b＞0)上，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率是(　　) (A) (B) (C) (D)

2、 A　解析：設(shè)|PF1|＝m＜|PF2|，則由橢圓的定義可得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－m，而|F1F2|＝2c.因?yàn)椤鱂1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，所以2|PF2|＝|PF1|＋|F1F2|，即m＋2c＝2(2a－m)，解得m＝(4a－2c)，即|PF1＝(4a－2c)，所以|PF2|＝2a－(4a－2c)＝(2a＋2c)．又∠F1PF2＝90°，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，即＋＝(2c)2，整理得5a2－2ac－7c2＝0，解得a＝c或a＝－c(舍去)．故e＝＝.故選A. 3．已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1(x≠0，y≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)

3、，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F1PF2的平分線上的一點(diǎn)，且·＝0，則||的取值范圍是(　　) (A)(0，3) (B)(0，2) (C)[2，3) (D)(0，4] B　解析：延長F1M交PF2或其延長線于點(diǎn)G，∵·＝0， ∴⊥，又MP為∠F1PF2的平分線，∴|PF1|＝|PG|，且M為F1G的中點(diǎn)．∵O為F1F2的中點(diǎn)，∴OM∥F2G，且|OM|＝|F2G|. ∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF2|－|PF1||， ∴|OM|＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||，∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2， ∴||∈(0，2)，故選B. 4．

4、設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為(　　) (A) (B) (C) D. B　解析：由題意知a＝3，b＝.由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝6.在△PF1F2中，因?yàn)镻F1的中點(diǎn)在y軸上，O為F1F2的中點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)可得PF2⊥x軸，所以|PF2|＝＝，所以|PF1|＝6－|PF2|＝，所以＝，故選B. 5．橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線x＋y＝0的對稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為(　　) (A) (B) (C) (D)－1 D　解析：設(shè)A(m，n)，則 解得A(

5、，c)，代入橢圓方程中，有＋＝1， ∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2， ∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)， ∴c4－8a2c2＋4a2＝0， ∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4±2，∴e＝－1.故選D. 6．(2018三明5月)已知中心是坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：橢圓的焦點(diǎn)位于x軸，則設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 橢圓C過點(diǎn)，則：＋＝1，① 它的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，則a2－b2＝4，② ①②聯(lián)立可得：，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 7．若x2＋ky2＝2表

6、示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析：將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得＋＝1，因?yàn)閤2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以＞2，解得0＜k＜1. 答案：(0，1) 8．設(shè)橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A、右焦點(diǎn)為F，B為橢圓E上在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線BO交E于點(diǎn)C，若直線BF平分線段AC，則E的離心率是________． 解析：設(shè)AC的中點(diǎn)為M，連接OM，F(xiàn)M，則OM為△ABC的中位線，B，F(xiàn)，M在一條線上，于是△OFM～△AFB，且＝，即＝，解得e＝＝. 答案： 9．(2018聊城調(diào)研)已知A為橢圓＋＝1上的動(dòng)點(diǎn)，MN為圓(x－1)2＋y2＝1

7、的一條直徑，則·的最大值為________． 解析：記圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1，0)， 設(shè)A(x，y)，x∈[－3，3]，則|AC|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋5－x2＝x2－2x＋6，當(dāng)x＝－3時(shí)，(|AC|2)max＝4＋6＋6＝16. ·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1≤15，故·的最大值為15. 答案：15 10．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x＋y＋1＝0與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切． (1)求橢圓C的方程； (2)過點(diǎn)M(2，0)的直線l與橢圓C相交

8、于不同的兩點(diǎn)S和T，若橢圓C上存在點(diǎn)P滿足＋＝t(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解析：(1)由題意，以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為(x－c)2＋y2＝a2， ∴圓心到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝a，(*) ∵橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，∴b＝c，a＝c，代入(*)式得b＝c＝1，∴a＝b＝， 故所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)，設(shè)P(x0，y0)， 將直線l的方程代入橢圓方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， ∴Δ＝64k4－4(1＋2

9、k2)(8k2－2)＞0，解得k2＜. 設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－. 由＋＝t，得tx0＝x1＋x2，ty0＝y(tǒng)1＋y2， 當(dāng)t＝0時(shí)，直線l為x軸，則橢圓上任意一點(diǎn)P滿足＋＝t，符合題意； 當(dāng)t≠0時(shí)， ∴x0＝·，y0＝·. 將上式代入橢圓方程得＋＝1， 整理得t2＝＝， 由k2＜知，0＜t2＜4，所以t∈(－2，0)∪(0，2)， 綜上可得，實(shí)數(shù)t的取值范圍是(－2，2)． 能力提升練(時(shí)間：15分鐘) 11．(2018昆明二模)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，

10、過原點(diǎn)的直線交E于A，B兩點(diǎn)，·＝0，且＝，則E的離心率為(　　) (A)　　　　(B)　　　　(C)　　　　(D) D　解析：∵·＝0，∴⊥，連接AF1，BF1，由橢圓的對稱性可知，F(xiàn)1AF2B是矩形，設(shè)||＝3t，則||＝4t，可知||＝4t，2a＝3t＋4t，a＝t，由勾股定理可知，2c＝＝5t，c＝t，e＝＝，故選D. 12．(2018煙臺三模)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓＋＝1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)M滿足||＝1 ·＝0，則||的最小值是(　　) (A)4 (B) (C)15 (D)16 B　解析：設(shè)P(x，y)，A(3，0)為焦點(diǎn)，所以||＝，而焦半徑4≤PA≤10

11、，所以||∈[，3]，故選B. 13．已知橢圓＋＝1的焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，若連接F1，F(xiàn)2，P三點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是________． 解析：依題意：F1(0，－3)，F(xiàn)2(0，3)．又因?yàn)?＜4，所以∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°，設(shè)P(x，3)，代入橢圓方程得：x＝±，即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為. 答案： 14．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，若|k1k2|＝，則橢圓的離心率e＝________． 解析：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，N(

12、－x0，－y0)， 則k1＝，k2＝， 由題意有|k1k2|＝|·|＝||＝， 因?yàn)镻，M，N在橢圓上， 所以＋＝1，＋＝1， 兩式相減得＋＝0， 即＝－， 所以＝，即＝，解得e＝＝. 答案： 15．點(diǎn)A，B分別是橢圓＋＝1長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離d的最小值． 解：(1)由題意可知點(diǎn)A(－6，0)，F(xiàn)(4，0)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，且y＞0，由已知得即2x2＋

13、9x－18＝0，解得或(舍)∴點(diǎn)p的坐標(biāo)為. (2)直線AP的方程為x－y＋6＝0，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，0)，由題意可知＝|m－6|.又－6≤m≤6，∴m＝2，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15.∴當(dāng)x＝時(shí)，d取得最小值. 16．(2018衡水中學(xué))已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)． (1)求橢圓的方程； (2)若直線：y＝－x＋m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足＝，求直線的方程． 解析：(1)由題設(shè)知，解得，∴橢圓的方程為＋＝1. (2)由題設(shè)，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1， ∴以圓心(0，0)到直線的距離d＝. 由d＜1，得|m|＜，(*)． ∴|CD|＝2＝2＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－mx＋m2－3＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3， ∴|AB|＝＝. 由＝，得＝1，解得m＝±，滿足(*)． ∴直線的方程為y＝－x＋或y＝－x－. 8