二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文.doc

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1、 本科畢業(yè)論文 二階常微分方程的解法及其應(yīng)用 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的本人所呈交的畢業(yè)論畢業(yè)論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）是我在）是我在導(dǎo)師導(dǎo)師的指的指導(dǎo)導(dǎo)下下進(jìn)進(jìn)行的研究行的研究 工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本注明引用的內(nèi)容外，本 論論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）不包含其他個(gè)人已）不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)經(jīng)發(fā)表或撰寫表或撰寫過(guò)過(guò)的研究成果。的研究成果。對(duì)對(duì)本本論論文文 （ （設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）的研究做出重要）的研究做出重要貢貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說(shuō)說(shuō)明明 并表示

2、并表示謝謝意。意。 作者作者簽簽名：名： 日期：日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說(shuō)明畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說(shuō)明 本本論論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）作者完全了解）作者完全了解*學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論畢業(yè)論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)） ） 的的規(guī)規(guī)定，學(xué)校有定，學(xué)校有權(quán)權(quán)保留保留論論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部）并向相關(guān)部門門送交送交論論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）的）的電電 子版和子版和紙質(zhì)紙質(zhì)版。有版。有權(quán)權(quán)將將論論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）用于非）用于非贏贏利目的的少量復(fù)制并允利目的的少量復(fù)制并允許許 論論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)） ）進(jìn)進(jìn)入學(xué)校入學(xué)校圖書(shū)館圖書(shū)館被被查閱查閱。學(xué)?？梢怨?。學(xué)?？梢怨颊撜撐模ㄎ?/p>

3、（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）的全部）的全部 或部分內(nèi)容。保密的或部分內(nèi)容。保密的論論文（文（設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)）在解密后適用本）在解密后適用本規(guī)規(guī)定。定。 作者作者簽簽名：名： 指指導(dǎo)導(dǎo)教教師簽師簽名：名： 日期：日期： 日期：日期： 注 意 事 項(xiàng) 1.設(shè)計(jì)（論文）的內(nèi)容包括： 1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作） 2）原創(chuàng)性聲明 3）中文摘要（300 字左右） 、關(guān)鍵詞 4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁(yè)（附件不統(tǒng)一編入） 6）論文主體部分：引言（或緒論） 、正文、結(jié)論 7）參考文獻(xiàn) 8）致謝 9）附錄（對(duì)論文支持必要時(shí)） 2.論文字?jǐn)?shù)要求：理工類設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于 1 萬(wàn)字（不包括圖紙、程序清單等）

4、， 文科類論文正文字?jǐn)?shù)不少于 1.2 萬(wàn)字。 3.附件包括：任務(wù)書(shū)、開(kāi)題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件） 。 4.文字、圖表要求： 1）文字通順，語(yǔ)言流暢，書(shū)寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無(wú)錯(cuò)別字，不準(zhǔn) 請(qǐng)他人代寫 2）工程設(shè)計(jì)類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計(jì)算機(jī)繪制，所有圖紙應(yīng)符 合國(guó)家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書(shū)寫，不準(zhǔn)用徒 手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁(yè)以上的雙面打印 4）圖表應(yīng)繪制于無(wú)格子的頁(yè)面上 5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔 5.裝訂順序 1）設(shè)計(jì)（論文） 2）附件：按照任務(wù)書(shū)、開(kāi)題報(bào)告、外文譯

5、文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂 3）其它 目 錄 1 引言5 2 二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法.5 2.1 特征方程法5 2.1.1 特征根是兩個(gè)實(shí)根的情形6 2.1.2 特征根有重根的情形.6 2.2 常數(shù)變易法.8 2.3 拉普拉斯變換法9 3 常微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用10 3.1 特征方程法11 3.2 常數(shù)變易法.13 3.3 拉普拉斯變換法14 4 總結(jié)及意義15 參考文獻(xiàn).16 二階常微分方程的解法及其應(yīng)用 摘要摘要：本文主要介紹了二階常系數(shù)微分方程的三種解法：特征方程法、常數(shù) 變異法和拉普拉斯變換法，并著重討論了特征方程根為實(shí)根、復(fù)根及重根的情形。 針對(duì)這三種解法的特點(diǎn)，分別將其應(yīng)

6、用到求解彈簧振子系統(tǒng)的振子的運(yùn)動(dòng)方程。 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：二階常微分方程;特征根法；常數(shù)變異法；拉普拉斯變換 METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for two order differential equation with constant coefficients: the characteristic equation method, the method

7、of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen is the real root, complex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system. Keywords:seco

8、nd order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言引言 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，300年來(lái)數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的首要分支，而微分方 程又是數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是數(shù)學(xué)分析里大部分思想和理論的根源。人所共知， 常微分方程從它產(chǎn)生的那天起，就是研究自然界變化規(guī)律、研究人類社會(huì)結(jié)構(gòu)、 生態(tài)結(jié)構(gòu)和工程技術(shù)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù) 保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實(shí)際問(wèn)題之中。常微 分

9、方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、 彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。 二階常系數(shù)常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術(shù)及力學(xué)和 物理學(xué)中都有十分廣泛的應(yīng)用。關(guān)于它的解結(jié)構(gòu)己有十分完美的結(jié)論，但其求解 方法卻各有不同，因此.二階常系數(shù)線性微分方程的求解方法成為常微分方程研 究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。而本文正是在這一背景下對(duì)于二階常系數(shù)常微分方程的解法 和應(yīng)用做出研究。 2 二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法 通常來(lái)說(shuō)，縱觀二階常系數(shù)常微分方程的解法來(lái)看，其中比較有代表性的是 特征方程法、常數(shù)變

10、易法、拉普拉斯變換法這三種解法，因?yàn)槠蛡€(gè)人能力有 限，本文則選取這三種具備代表性的解法進(jìn)行分析。 2.1 特征方程法 所謂特征方程，實(shí)際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象而引入的一些等式，它因 研究對(duì)象的不同而不同，包括數(shù)列特征方程，矩陣特征方程，微分方程特征方程， 積分方程特征方程等等。 求微分方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的通解. 解 特征方程 0 2 qp 的根 21, , (1)若這是兩個(gè)不等實(shí)根,則該方程有兩個(gè)實(shí)值解 12 , tt ee ,故通解為 12 12 tt xc ec e （ 21,c c 為任意常數(shù)）. (2)若這兩個(gè)根相等,則該方程有二重根,因此方程的通

11、解具有形狀 11 12 tt xc ec te （ 21,c c 為任意常數(shù)）. (3)若這兩個(gè)根為共軛復(fù)根z abi ,則該方程的通解具有形狀 12 (sincos) at xecbtcbt （ 21,c c 為任意常數(shù)）. 數(shù)學(xué)的許多公式與定理都需要證明,下面本文給出上面前兩個(gè)解答的理論依據(jù). 2.1.1 特征根是兩個(gè)實(shí)根的情形 設(shè) 12 , 是上面特征方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根,從而相應(yīng)的方程有如下兩個(gè)解 12 , tt ee , 我們指出這兩個(gè)解在a tb 上線性無(wú)關(guān),從而它們能夠組成方程的基本解組.事 實(shí)上,這時(shí) 12 12 12 () 12 12 11 ( ) tt t tt ee w

12、 te ee , 而最后一個(gè)行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,它等于 21 () .由 于假設(shè) 21 ,故此行列式不等于零,從而 ( )0w t ,于是 12 , tt ee 線性無(wú)關(guān),這就是 所要證明的.而此方程的通解可表示為 12 12 tt xc ec e （其中 12 ,c c 為任意數(shù)）. 如果特征方程有復(fù)根,則因方程的系數(shù)是實(shí)常數(shù),復(fù)根將成對(duì)共軛出現(xiàn).設(shè) 1 i 是一特征根,則 2 i 也是特征根,因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的,方 程有兩個(gè)復(fù)值解 () (cossin) itt eetit , () (cossin) itt eetit . 根據(jù)定理可知,復(fù)值解的

13、實(shí)部和虛部也是方程的解.這樣一來(lái),對(duì)應(yīng)于特征方 程的一對(duì)共軛復(fù)根 i ,我們可求的方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的兩個(gè)實(shí)值解 cos,sin tt et et . 2.1.2 特征根有重根的情形 設(shè)特征方程有k重根 1, 則眾所周知 (1) 111 ()()()0, k FFF ( ) 1 ()0 k F , 先設(shè) 1 0 ,即特征方程有因子 k ,于是 11 0 nnn k aaa , 也就是特征方程的形狀為 1 1 0 nnk n k aa , 而對(duì)應(yīng)的方程 1 11 1 0 nn nn nn d xdx L xaaa x dtdt 變?yōu)?1 1 1 0 nnk n k

14、nnk d ydyd y aa dxdxdx . 易見(jiàn)它有k個(gè)解1, 21 , k t tt ,而且它們是線性無(wú)關(guān)的.這樣一來(lái),特征方程的 k重零根就對(duì)應(yīng)方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)的解1, 21 , k t tt .如果這個(gè)k重根 1 0 ,我 們作變量變換 1t xye ,注意到 11 ()()()(1)2(2) 111 (1) () 2! ttmmmmmm m m xyeeymyyy ， 可得 111 1 11 1 () nn ttt n nn d ydy L yebb y eLy e dtdt , 于是對(duì)應(yīng)方程化為 1 11 1 0 nn n nn d ydy Lybb y dtdt , 其中

15、123 , n b b bb 仍為常數(shù),而相應(yīng)的特征方程為 1 11 ( )0 nn nn Gbbb , 直接計(jì)算易得 1111 ()()() 11 ()( ) ttttt FeL eLeeGe , 因此 1 ()( )FG , 從而 1 ()( ) jj FG ， 1,2,jk , 這樣,問(wèn)題就化為前面討論過(guò)的情形了. 2.2 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法,常應(yīng)用于一階線性微分方 程的求解。在常數(shù)變易法中，通過(guò)將常數(shù) C 放入當(dāng)中就可以得到非齊次線 XU 性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我們所用僅是他的結(jié)論，并無(wú) 過(guò)程。它是連接非齊次線性微分方程與相應(yīng)的

16、齊次線性微分方程的橋梁。 對(duì)于二階常系數(shù)非線性常微分方程的解法,只要先求出其一個(gè)特解,再運(yùn)用特 征方程法求得方程的通解. 求常微分方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的通解. 解 方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 對(duì)應(yīng)齊次方程為 2 2 0 d xdx pqx dtdt , 其特征方程為 0 2 qp . 由于方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解 與其自身的一個(gè)特解之和，而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解我們已經(jīng)研究 過(guò)了,所以此處只需求出其一個(gè)特解. 若為上面方程的實(shí)根,則 t xe

17、是方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的解.由常數(shù)變易 法設(shè) 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的一個(gè)解為 * ( ) t xc t e ,代入原方程并化簡(jiǎn)得 “ ( )(2) ( )( ) t c tp c tef t , 這是關(guān)于 ( ) c t 的一階線性微分方程,其一個(gè)特解為 (2)() ( )( ) p tp t c teef tdt dt , 從而得上面方程的一個(gè)特解為 *(2)() ( ) tp tp t xeeef t dt dt . 若為上面方程的復(fù)根,我們可以設(shè) , ,abi a bR 且 0b ，則 * sin at xebt 是方程 2 2

18、 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的解，根據(jù)常數(shù)變易法可設(shè)其一個(gè)特解 為 * ( )sin at xc t ebt ，與情形 1 的解法類似得方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的一個(gè)特解 為 (2 )(2 ) * 2 ( )sin sin. sin papa t at ef t ebtdt xebtdt bt 由于 * x 是特解,則積分常量可以都取零. 2.3 拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換法是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換法，又名拉氏轉(zhuǎn)換法。拉 氏變換法是一個(gè)線性變換法，可將一個(gè)有因數(shù)實(shí)數(shù)的函數(shù)轉(zhuǎn)換為 )0(tt 一個(gè)因數(shù)為復(fù)數(shù) s 的函數(shù)。有些情形下一個(gè)實(shí)

19、變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算 并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將 運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往在計(jì)算上容易得多。 拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程 化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制 系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的 一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就 為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 過(guò)程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。常系數(shù)線性微分方程可以應(yīng)用

20、拉普拉斯 變換法進(jìn)行求解，這往往比較簡(jiǎn)單。 由積分 ( )( ) 0 st F sef t dt . 所定義的確定于復(fù)平面（Re ）上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù) ( )F s ,稱為函數(shù) ( )f t 的拉普 拉斯變換,我們稱 ( )f t 為原函數(shù),而 ( )F s 稱為像函數(shù). 拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)換成復(fù) 平面s的代數(shù)方程.通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算,一般地再利用拉普拉斯變換表,即可求出微 分方程的解.方法十分簡(jiǎn)單方便,為工程技術(shù)工作者所普遍采用.當(dāng)然,方法本身有 一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)。 求解方程 2 2 2, (1)(1)0 t

21、d xdx xexx dtdt . 解 先使 1t ，將問(wèn)題化為 2 (1) 2 2, (0)(0)0 t d xdx xexx dtdt , 再對(duì)新方程兩邊作拉普拉斯變換,得到 2 11 ( )2( )( ) 1 s X ssX sX s se , 因此 3 11 ( ) (1) X s se , 查拉普拉斯變換表可得 21 1 ( ) 2 xe , 從而 2 1 ( )(1) 2 t x tte , 這就是所要求的解. 當(dāng)然,求解二階或者更高階的常微分方程的方法還有很多,這里我們不能一一 列出.然而我們利用上面的一些結(jié)論就可以解決下面的幾個(gè)物理問(wèn)題了。 3 常微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用常微分方程的

22、簡(jiǎn)單應(yīng)用 為直觀的了解常微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，本文特選取動(dòng)力學(xué)方程當(dāng)中簡(jiǎn)單應(yīng)用 常微分方程。通常來(lái)說(shuō)，對(duì)于物理問(wèn)題進(jìn)行求解主要應(yīng)該分為以下三個(gè)步驟內(nèi)容： 第一步是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析從而做到對(duì)方程的建立并且對(duì)定解條件進(jìn)行明確；第二 步是對(duì)解的性質(zhì)進(jìn)行討論或者求出方程以便滿足初始條件的特解；第三步是定性 分析對(duì)解，對(duì)原來(lái)問(wèn)題反著進(jìn)行解釋，其中最為關(guān)鍵的因素就是要將方程列出， 而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬時(shí)變化法。而在對(duì)阻尼振動(dòng)進(jìn)行研究 的過(guò)程當(dāng)中，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程所進(jìn)行的求解這一問(wèn)題顯得比較復(fù)雜，以下就分別使用 特征值法、常數(shù)變異法以及拉普拉斯變換法來(lái)求動(dòng)力學(xué)方程。 3.1 特征方程法 例如在彈簧振

23、子系統(tǒng)當(dāng)中，測(cè)試出物體的阻尼系數(shù) 1 10.0s ，物體質(zhì)量 1.0mkg ,該彈簧所具備的勁度系數(shù) 1 75kN m ,在此背景下，假設(shè)整個(gè)質(zhì)點(diǎn) 從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始逐步運(yùn)動(dòng)，求解彈簧振子的位移方程。 解：按照牛頓的第二運(yùn)動(dòng)定律的結(jié)果可以得到 kxcvma , （1） 或 2 2 0 d xdx mckx dtdt , （2） 相對(duì)來(lái)說(shuō)振動(dòng)系統(tǒng)這是之前給定的，其中的常量為 , ,m k c，如果可以確定 2 0, 2k mc m ,那么以上的方程式可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋?2 2 0 2 20 dd dtdt , （3） 那么把所得到的數(shù)據(jù)代入公式（3）就可以得到 2 2 20750 d xdx x dtdt

24、 . （4） 通過(guò)對(duì)以上公式的細(xì)致觀察和研究則可以得到對(duì)其進(jìn)行求解能夠使用特征值 法，那么在這里的特征方程可以表述為： 2 20750 ,并且在這一特征方程 當(dāng)中包含有兩個(gè)分別根 12 15,5 ,這樣相對(duì)應(yīng)的則(4)的兩個(gè)根分別為 515 12 , tt ee （5） 那么按照公式（5）進(jìn)行計(jì)算可以得到固有角頻率數(shù)值為 0 5 2k m ， 在這時(shí)候阻尼系數(shù)值為 10 ,也就是說(shuō) 22 0 ,則方程(5)的解可以表述為 515tt AeBe （初始條件覺(jué)得 ,A B數(shù)值）. （6） 在公式（6）當(dāng)中，所保持的屬于一個(gè)非振動(dòng)狀態(tài)，在如此背景之下，所存 在的質(zhì)點(diǎn)也只是在原先的不平衡位置逐步恢復(fù)到

25、平衡狀態(tài)當(dāng)中，質(zhì)點(diǎn)并不具備周 期振動(dòng)的特征。而我們的關(guān)注點(diǎn)是在基于 0 此種情況下,質(zhì)點(diǎn)呈現(xiàn)出逐漸衰減 的振動(dòng)?？墒钦怯捎谑艿阶枘嶙饔玫挠绊?，不能夠長(zhǎng)久的維持這種自由振動(dòng)系 統(tǒng)的振動(dòng)，通常都會(huì)經(jīng)歷著從振動(dòng)的逐漸衰減延續(xù)至振動(dòng)停止，為了保持震蕩持 續(xù)不停的狀態(tài)，就必須不斷的從外界當(dāng)中獲得必要的能量，學(xué)術(shù)界將這種因?yàn)槭?到外部持續(xù)作用而產(chǎn)生的振動(dòng)歸納成為強(qiáng)迫振動(dòng)。 又例如案例：假如在以上的振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)中受到某個(gè)外力 100cos(30 )Ft N 的 作用，在公式當(dāng)中 100 A F 表示為驅(qū)動(dòng)力所具備的幅度值， 30 則表示為驅(qū)動(dòng) 力所擁有的圓頻率， f 也就是驅(qū)動(dòng)力所保持的頻率。 解：在質(zhì)點(diǎn)振

26、動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)中受到驅(qū)動(dòng)力的作用，那么就可以得到關(guān)于系統(tǒng)振動(dòng) 的方程為： 2 2 d xdx mckxF dtdt , (7) 或者還可以將上述公式改成 2 2 0 2 2cos(30 ) d xdx xHt dtdt . (8) 在以上的公式當(dāng)中 A F H m 表示為在單位質(zhì)量上面所受到的外力幅值。 （7）與 （8）這兩個(gè)方程式都屬于質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)方程。從本質(zhì)上來(lái)看，這種強(qiáng)迫振動(dòng)方 程屬于二階的非齊次常微分方程，這個(gè)方程所得到的一般解也就是這個(gè)方程所得 到的某一個(gè)特解和相對(duì)應(yīng)的齊次方程一般解兩者之和。由于在之前的篇幅當(dāng)中已 經(jīng)得到相對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)方程的一般解，這就導(dǎo)致其在的關(guān)鍵問(wèn)題就是對(duì)于 （8）

27、當(dāng)中的一個(gè)特解進(jìn)行尋找，把所得到的數(shù)據(jù)代入到（8）當(dāng)中就可以得到： 2 2 2075100cos(30 ) d xdx xt dtdt , （9） 在這里可以通過(guò)假設(shè)（9）有著 1 sin30cos30 xAtBt 這樣的特解，將這個(gè)特別往 （9）當(dāng)中進(jìn)行替代并且將其進(jìn)行簡(jiǎn)化之后得到 (3324 )sin30(2433 )cos304cos30ABtABtt , 按照比較同類項(xiàng)系數(shù)可以得到 3244 , 555555 AB ,這樣就可以進(jìn)一步得到 1 3244 sin30cos30 555555 xtt ,根據(jù)以上所得到的結(jié)果沒(méi)那么原方程所存的通解就可 以表述為 515 3244 ( )sin

28、30cos30 555555 tt x tAeBett . 在以上的公式當(dāng)中，初始條件決定 ,A B的數(shù)值，而其中的瞬態(tài)解是之前的兩 項(xiàng)，瞬態(tài)項(xiàng)能夠?qū)τ谡麄€(gè)系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)進(jìn)行有效描述，而所能夠起作用的 只是在震動(dòng)的開(kāi)始階段，而當(dāng)經(jīng)歷比較長(zhǎng)的時(shí)間之后，瞬態(tài)解所起到的影響則會(huì) 逐漸的減弱并且在最后階段消失。穩(wěn)態(tài)解則是之后的兩項(xiàng)，穩(wěn)態(tài)解則是對(duì)于系統(tǒng) 受到驅(qū)動(dòng)力的作用之下進(jìn)行強(qiáng)制振動(dòng)的狀態(tài)進(jìn)行描述，這主要是由于立足于恒定 的幅值條件下，從而將這種狀態(tài)稱之為穩(wěn)定振動(dòng)。從以上的公式可以得到，如果 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)系統(tǒng)受到外力作用之后，整個(gè)系統(tǒng)有著比較復(fù)雜的振動(dòng)狀態(tài)，這屬于穩(wěn) 態(tài)振動(dòng)和自由衰減振動(dòng)兩者的有機(jī)合成

29、體，在這樣的振動(dòng)狀態(tài)之下對(duì)于強(qiáng)迫振動(dòng) 當(dāng)中逐步建立穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的過(guò)程進(jìn)行有效描述。如果經(jīng)歷一定時(shí)間之后，就會(huì)消失 瞬態(tài)振動(dòng)，使得整個(gè)系統(tǒng)保持著穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的狀態(tài)。 3.2 常數(shù)變易法 從之前的分析當(dāng)中可以了解到 5t xe 這屬于特征方程 2 20750 的實(shí)根， 那么就可以得到 5t xe 這個(gè)屬于方程（9）當(dāng)中的一個(gè)根，然后通過(guò)常數(shù)變異法 設(shè)置 *5 ( ) t xc t e ，那么在這一過(guò)程當(dāng)中也可以得到方程的一個(gè)解為 * x ，把數(shù)值代 入到（9）當(dāng)中并且進(jìn)行簡(jiǎn)化之后可以得到 “5 ( ) 10 ( )100cos30 t c tc tet . 以上屬于 ( ) c t 的一階線性微分方程,并

30、且在方程當(dāng)中一個(gè)特解為 55 1 84 ( )sin30cos30 33 tt c tetetc , 從而得出（9）的一個(gè)特解為（取 12 0cc ） *555 12 84 ( )( (sin30cos30 ) 33 ttt x teetet dtc 3244 sin30cos30 555555 tt , 從而可得（9）的通解 515 3244 ( )sin30cos30 555555 tt x tAeBett . 由之前可知 2 2 d xdx mckxF dtdt . （10） 將數(shù)據(jù)代入公式中可以得到 2 2 20400cos(2 ) d xdx xt dtdt . （11） 按照自己所

31、做的觀察可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行求解的過(guò)程當(dāng)中使用常數(shù)變異法，首要就 是必須得出公式（11） ，而在之前的研究當(dāng)中可以得到公式（11）齊次線性微分 方程的特征方程為 2 204000 。這樣就可以進(jìn)一步的假設(shè)特征方程的根為 10 10 3i ，那么 10 ( )sin(10 3 ) t x tet 這就是公式（11）的一個(gè)解。由常數(shù) 變易法可設(shè)為 *10 ( )( )sin(10 3 ) t x tc t et . 與情形 1 中的解法類似，將 *( ) x t 代入（12）并化簡(jiǎn)得 * 1099 ( )sin(2 )cos(2 ) 3960439604 x ttt . 由于 * x 是特解,則積分常

32、量可以都取零。 3.3 拉普拉斯變換法 依然使用之前的例子，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可以得到以下的公式 2 2 d xdx mckxF dtdt , 將這一公式代入數(shù)據(jù)之后可以得到 2 2 20400cos(2 ) d xdx xt dtdt , (12) 由于質(zhì)點(diǎn)通過(guò)開(kāi)設(shè)的靜止?fàn)顟B(tài)逐步運(yùn)動(dòng)，那么就可以得到以下的公式 0 0,0 t dx x dt , 對(duì)方程(12)進(jìn)行拉普拉斯變換,得到 2 2 ( )20( )400( ) 4 s s X ssX sX s s , 即 22 1 ( ) 420400 s X s sss , 把上式右端分解為部分分式 22 10299 ( ) 3960443960

33、44 s X s ss 2222 101 310 39910 11881239604(10)(10 3)(10)(10 3) s ss , 由拉普拉斯變換表可得 1099 ( )sin(2 )cos(2 ) 3960439604 x ttt 1010 101 399 sin(10 3 )cos(10 3 ) 11881239604 tt etet 。 4 總結(jié)及意義總結(jié)及意義 總而言之，現(xiàn)在常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、 各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反 應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。現(xiàn)今對(duì)于二階常微分方程解法的研究已經(jīng)取得了不少成 就，尤其

34、在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問(wèn)題方面卓有成效。而冪級(jí)數(shù)解法作 為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過(guò)程還是比較繁瑣的，計(jì)算 量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否收斂等。另外，對(duì)于 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類 型是可以求解的。應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是， 它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理 論更加完善。 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 1 (瑞典)L.戈丁(Lars.Garding)著,胡作玄譯.數(shù)學(xué)概觀M.科學(xué)出版社, 2001：121-147 2 趙慈庚,朱鼎勛主編.大學(xué)數(shù)

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