2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓14 導數(shù)的綜合應用 文

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1、專題限時集訓(十四)導數(shù)的綜合應用(建議用時：40分鐘)1(2019唐山模擬)設(shè)f(x)2xln x1.(1)求f(x)的最小值；(2)證明：f(x)x2x2ln x.解(1)f(x)2(ln x1)所以當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當x時，f(x)取得最小值f1.(2)證明：x2x2ln xf(x)x(x1)2(x1)ln x(x1)，令g(x)x2ln x，則g(x)10，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又g(1)0，所以當0x1時，g(x)1時，g(x)0，所以(x1)0，即f(x)x2x2ln x.2已知函數(shù)f(x)x3ax2ln x.(1)當a1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

2、間；(2)若f(x)0在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)x3x2ln x(x0)，f(x)3x21.3x23x20恒成立，當x(1，)時，f(x)0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當x(0,1)時，f(x)0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)f(x)x3ax2ln x0在(0，)上恒成立，當x(0，)時，g(x)x2a0恒成立g(x)2x22，令h(x)x3ln x1，則h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且h(1)0，當x(0,1)時，h(x)0，g(x)0，g(x)0，即g(x)在(1，)上單調(diào)遞增g(x

3、)ming(1)1a0，a1，故實數(shù)a的取值范圍為1，)3(2019開封模擬)已知函數(shù)f(x)ln xmx2，g(x)mx2x，mR，令F(x)f(x)g(x)(1)當m時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)一題多解若關(guān)于x的不等式F(x)mx1恒成立，求整數(shù)m的最小值解(1)由題意得，f(x)ln xx2(x0)，所以f(x)x(x0)令f(x)0，得x1.由f(x)0，得0x1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，由f(x)1，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)所以f(x)極大值f(1)，無極小值(2)法一：令G(x)F(x)(mx1)ln xmx2(1m)x1，所以G(x)mx

4、(1m).當m0時，因為x0，所以G(x)0，所以G(x)在(0，)上是增函數(shù)又G(1)m20，所以關(guān)于x的不等式F(x)mx1不能恒成立當m0時，G(x).令G(x)0，得x，所以當x時，G(x)0；當x時，G(x)0，h(2)ln 20，h(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以當x2時，h(x)0)恒成立令h(x)(x0)，則h(x).令(x)2ln xx，因為ln 40，且(x)為增函數(shù)，所以存在x0，使(x0)0，即2ln x0x00.當0x0，h(x)為增函數(shù)，當xx0時，h(x)0，h(x)為減函數(shù)，所以h(x)maxh(x0).而x0，所以(1,2)，所以整數(shù)m的最小值為2.4(201

5、9全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點；(2)f(x)0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)證明(1)f(x)的定義域為(0，)f(x)ln x1ln x.因為yln x在(0，)上單調(diào)遞增，y在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又當xx0時，f(x)x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根x.由x01得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根綜上，f(x)0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)- 4 -