2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)14 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 文
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2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)14 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 文
專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(建議用時(shí):40分鐘)1(2019·唐山模擬)設(shè)f(x)2xln x1.(1)求f(x)的最小值;(2)證明:f(x)x2x2ln x.解(1)f(x)2(ln x1)所以當(dāng)x時(shí),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x時(shí),f(x)取得最小值f1.(2)證明:x2x2ln xf(x)x(x1)2(x1)ln x(x1),令g(x)x2ln x,則g(x)10,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,又g(1)0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0,所以(x1)0,即f(x)x2x2ln x.2已知函數(shù)f(x)x3ax2ln x.(1)當(dāng)a1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)0在定義域內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí),f(x)x3x2ln x(x>0),f(x)3x21.3x23x2>0恒成立,當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)>0,f(x)在(1,)上單調(diào)遞增;當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)<0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)f(x)x3ax2ln x0在(0,)上恒成立,當(dāng)x(0,)時(shí),g(x)x2a0恒成立g(x)2x2×2×,令h(x)x3ln x1,則h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,且h(1)0,當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)<0,g(x)<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)>0,g(x)>0,即g(x)在(1,)上單調(diào)遞增g(x)ming(1)1a0,a1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,)3(2019·開封模擬)已知函數(shù)f(x)ln xmx2,g(x)mx2x,mR,令F(x)f(x)g(x)(1)當(dāng)m時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;(2)一題多解若關(guān)于x的不等式F(x)mx1恒成立,求整數(shù)m的最小值解(1)由題意得,f(x)ln xx2(x>0),所以f(x)x(x>0)令f(x)0,得x1.由f(x)>0,得0<x<1,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),由f(x)<0,得x>1,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,)所以f(x)極大值f(1),無極小值(2)法一:令G(x)F(x)(mx1)ln xmx2(1m)x1,所以G(x)mx(1m).當(dāng)m0時(shí),因?yàn)閤>0,所以G(x)>0,所以G(x)在(0,)上是增函數(shù)又G(1)m2>0,所以關(guān)于x的不等式F(x)mx1不能恒成立當(dāng)m>0時(shí),G(x).令G(x)0,得x,所以當(dāng)x時(shí),G(x)>0;當(dāng)x時(shí),G(x)<0.因此函數(shù)G(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)故函數(shù)G(x)的最大值為Gln m.令h(x)ln x,因?yàn)閔(1)>0,h(2)ln 2<0,h(x)在(0,)上是減函數(shù),所以當(dāng)x2時(shí),h(x)<0,所以整數(shù)m的最小值為2.法二:由F(x)mx1恒成立,知m(x>0)恒成立令h(x)(x>0),則h(x).令(x)2ln xx,因?yàn)閘n 4<0,(1)1>0,且(x)為增函數(shù),所以存在x0,使(x0)0,即2ln x0x00.當(dāng)0<x<x0時(shí),h(x)>0,h(x)為增函數(shù),當(dāng)x>x0時(shí),h(x)<0,h(x)為減函數(shù),所以h(x)maxh(x0).而x0,所以(1,2),所以整數(shù)m的最小值為2.4(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);(2)f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)證明(1)f(x)的定義域?yàn)?0,)f(x)ln x1ln x.因?yàn)閥ln x在(0,)上單調(diào)遞增,y在(0,)上單調(diào)遞減,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增又f(1)10,f(2)ln 20,故存在唯一x0(1,2),使得f(x0)0.又當(dāng)x<x0時(shí),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>x0時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn)(2)由(1)知f(x0)<f(1)2,又f(e2)e23>0,所以f(x)0在(x0,)內(nèi)存在唯一根x.由>x0>1得1x0.又fln 10,故是f(x)0在(0,x0)的唯一根綜上,f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)- 4 -