（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關系練習（含解析）

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1、第4講　直線與圓、圓與圓的位置關系 一、選擇題 1.(2016·全國Ⅱ卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A.－ B.－ C. D.2 解析　由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圓心坐標為(1，4)，由點到直線的距離公式得d＝＝1，解之得a＝－. 答案　A 2.(2017·長春模擬)過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0 解析　∵過點(3，1)作圓(x

2、－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，∴點(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上， ∵圓心與切點連線的斜率k＝＝， ∴切線的斜率為－2， 則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故選B. 答案　B 3.已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是(　　) A.－2 B.－4 C.－6 D.－8 解析　將圓的方程化為標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圓心為(－1，1)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故選B. 答案　B

3、 4.圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為的點共有(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析　圓的方程化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心(－1，－2)到直線距離d＝＝，半徑是2，結合圖形可知有3個符合條件的點. 答案　C 5.(2017·福州模擬)過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為(　　) A.y＝－ B.y＝－ C.y＝－ D.y＝－ 解析　圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1，0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋

4、(y＋1)2＝1， 將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－. 故選B. 答案　B 二、填空題 6.(2016·全國Ⅲ卷) 已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝________. 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2， ∴A(－3，)，B(0，2). 過A，B作l的垂線方程分別為 y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0， 得xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4. 答案　4 7.(2017·蘭州月考)

5、點P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________. 解析　把圓C1、圓C2的方程都化成標準形式，得 (x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4. 圓C1的圓心坐標是(4，2)，半徑長是3；圓C2的圓心坐標是(－2，－1)，半徑是2. 圓心距d＝＝3. 所以，|PQ|的最小值是3－5. 答案　3－5 8.(2017·貴陽一模)由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________. 解析　設直線上一點為P，切點為Q，圓心為M，則|PQ|

6、即切線長，MQ為圓M的半徑，長度為1，|PQ|＝＝. 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點到圓心M的最小距離. 設圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2.所以|PM|的最小值為2.所以|PQ|＝≥＝. 答案　 三、解答題 9.(2015·全國Ⅰ卷)已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點. (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標原點，求|MN|. 解　(1)易知圓心坐標為(2，3)，半徑r＝1， 由題設，可知直線l的方程為y＝kx＋1， 因為l與C交于兩點，所以<1.

7、 解得

8、一　(1)證明　由 消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因為Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0， 所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點. (2)解　設直線與圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 則直線l被圓C截得的弦長|AB|＝|x1－x2| ＝2＝2 ， 令t＝，則tk2－4k＋(t－3)＝0， 當t＝0時，k＝－，當t≠0時，因為k∈R， 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0， 故t＝的最大值為4，此時|AB|最小為2. 法二　(1)證明　因為不論k為何實數(shù)，直線l總過點P(0，1)，而|PC|＝<2＝R

9、，所以點P(0，1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點P.所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點. (2)解　由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點P(0，1)的弦，只有與PC(C為圓心)垂直時才最短，而此時點P(0，1)為弦AB的中點，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，即直線l被圓C截得的最短弦長為2. 11.(2017·衡水中學月考)兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　) A.1 B.3 C. D. 解析　x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2

10、＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依題意可得，兩圓外切，則兩圓圓心距離等于兩圓的半徑之和， 則＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9， 所以＋＝＝≥＝1，當且僅當＝，即a＝±b時取等號. 答案　A 12.(2015·山東卷)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A.－或－ B.－或－ C.－或－ D.－或－ 解析　由已知，得點(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(2，－3).設反射光線所在直線的斜

11、率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，則有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故選D. 答案　D 13.已知曲線C：x＝－，直線l：x＝6，若對于點A(m，0)，存在C上的點P和l上的點Q使得＋＝0，則m的取值范圍為________. 解析　曲線C：x＝－，是以原點為圓心，2為半徑的半圓，并且xP∈[－2，0]，對于點A(m，0)，存在C上的點P和l上的點Q使得＋＝0， 說明A是PQ的中點，Q的橫坐標x＝6， ∴m＝∈[2，3]. 答案　[2，3] 14.(2017·湖南省東部六校聯(lián)考)已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半

12、徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方. (1)求圓C的方程； (2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由. 解　(1)設圓心C(a，0)，則＝2?a＝0或a＝－5(舍). 所以圓C的方程為x2＋y2＝4. (2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB. 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4，所以當點N為(4，0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立. 6