2019年高考數(shù)學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題05 平面解析幾何 理(含解析)

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1、專題05 平面解析幾何1【2019年高考全國卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點為,過F2的直線與C交于A,B兩點若,則C的方程為ABCD【答案】B【解析】法一:如圖,由已知可設,則,由橢圓的定義有在中,由余弦定理推論得在中,由余弦定理得,解得所求橢圓方程為,故選B法二:由已知可設,則,由橢圓的定義有在和中,由余弦定理得,又互補,兩式消去,得,解得所求橢圓方程為,故選B【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)2【2019年高考全國卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p0)的焦點是橢圓的一個焦點,則p=A2 B3 C4 D8【答案】

2、D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,所以,解得,故選D【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì),滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)解答時,利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程,從而解出,或者利用檢驗排除的方法,如時,拋物線焦點為(1,0),橢圓焦點為(2,0),排除A,同樣可排除B,C,從而得到選D3【2019年高考全國卷理數(shù)】設F為雙曲線C:的右焦點,為坐標原點,以為直徑的圓與圓交于P,Q兩點若,則C的離心率為ABC2D【答案】A【解析】設與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,又點在圓上,即,故選A【名師點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半

3、徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾運算繁瑣,準確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強化練習,才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來解答本題時,準確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標,代入圓的方程得到c與a的關(guān)系,可求雙曲線的離心率4【2019年高考全國卷理數(shù)】雙曲線C:=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標原點,若,則PFO的面積為ABCD【答案】A【解析】由,又P在C的一條漸近線上,不妨設為在上,則,故選A【名師點睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法,滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)采取公式法,利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題忽視圓

4、錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導致求解不暢,采取列方程組的方式解出三角形的高,便可求三角形面積5【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓(ab0)的離心率為,則Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率,化簡得,故選B.【名師點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎知識基本運算能力的考查.由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.6【2019年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖)給出下列三個結(jié)論:曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);曲線C上任意一點到原點的距離都不超

5、過;曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3其中,所有正確結(jié)論的序號是ABCD【答案】C【解析】由得,所以可取的整數(shù)有0,1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,1),(1,0),(1,1), (1,0),(1,1),共6個整點,結(jié)論正確.由得,解得,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過. 結(jié)論正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法錯誤.故選C.【名師點睛】本題考查曲線與方程曲線的幾何性質(zhì),基本不等式及其應用,屬于難題,注重基礎知識基本運算能力及分析問題、解決問題的能力考查,滲透“美育思想”.將所給方程進行等價變形確定x的范圍可得整

6、點坐標和個數(shù),結(jié)合均值不等式可得曲線上的點到坐標原點距離的最值和范圍,利用圖形的對稱性和整點的坐標可確定圖形面積的范圍.7【2019年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線的焦點為,準線為,若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點,且(為原點),則雙曲線的離心率為ABCD【答案】D【解析】拋物線的準線的方程為,雙曲線的漸近線方程為,則有,.故選D.【名師點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解,解題關(guān)鍵是求出AB的長度.解答時,只需把用表示出來,即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率.8【2019年高考浙江卷】漸近線方程為xy=0的雙曲線的離心率是AB1CD2【答案】C【解析】因為雙曲線的漸近線方程為

7、,所以,則,所以雙曲線的離心率.故選C.【名師點睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得,進一步可得離心率,屬于容易題,注重了雙曲線基礎知識、基本計算能力的考查.理解概念,準確計算,是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.9【2019年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標是,半徑長是.若直線與圓C相切于點,則=_,=_【答案】,【解析】由題意可知,把代入直線AC的方程得,此時.【名師點睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線的斜率,進一步得到其方程,將代入后求得,計算得解.解答直線與圓的位置關(guān)系問題,往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合,特別是要注意應用圓的幾何性質(zhì).10【2019年

8、高考浙江卷】已知橢圓的左焦點為,點在橢圓上且在軸的上方,若線段的中點在以原點為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是_【答案】【解析】方法1:如圖,設F1為橢圓右焦點.由題意可知,由中位線定理可得,設,可得,與方程聯(lián)立,可解得(舍),又點在橢圓上且在軸的上方,求得,所以.方法2:(焦半徑公式應用)由題意可知,由中位線定理可得,即,從而可求得,所以.【名師點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)的應用,利用數(shù)形結(jié)合思想,是解答解析幾何問題的重要途徑.結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn),利用三角形中位線定理,將線段長度用圓的方程表示,與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.也可利用焦半徑及三角形中位線定理解

9、決,則更為簡潔.11【2019年高考全國卷理數(shù)】設為橢圓C:的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形,則M的坐標為_.【答案】【解析】由已知可得,設點的坐標為,則,又,解得,解得(舍去),的坐標為【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)解答本題時,根據(jù)橢圓的定義分別求出,設出的坐標,結(jié)合三角形面積可求出的坐標.12【2019年高考全國卷理數(shù)】已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點若,則C的離心率為_【答案】2【解析】如圖,由得又得OA是三角形的中位線

10、,即由,得,又OA與OB都是漸近線,得又,又漸近線OB的斜率為,該雙曲線的離心率為【名師點睛】本題結(jié)合平面向量考查雙曲線的漸近線和離心率,滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng),采取幾何法,利用數(shù)形結(jié)合思想解題解答本題時,通過向量關(guān)系得到和,從而可以得到,再結(jié)合雙曲線的漸近線可得進而得到從而由可求離心率.13【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中,若雙曲線經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是 .【答案】【解析】由已知得,解得或,因為,所以.因為,所以雙曲線的漸近線方程為.【名師點睛】雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì),往往以小題的形式考查,其難度一般較小,是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線

11、標準方程中的密切相關(guān),事實上,標準方程中化1為0,即得漸近線方程.14【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中,P是曲線上的一個動點,則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 .【答案】4【解析】當直線x+y=0平移到與曲線相切位置時,切點Q即為點P,此時到直線x+y=0的距離最小.由,得,即切點,則切點Q到直線x+y=0的距離為,故答案為【名師點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離,滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和公式法,利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.15【2019年高考全國卷理數(shù)】已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P

12、(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若,求|AB|【答案】(1);(2).【解析】設直線(1)由題設得,故,由題設可得由,可得,則從而,得所以的方程為(2)由可得由,可得所以從而,故代入的方程得故【名師點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應用問題,涉及平面向量、弦長的求解方法,解題關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等量關(guān)系.16【2019年高考全國卷理數(shù)】已知點A(2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第

13、一象限,PEx軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.(i)證明:是直角三角形;(ii)求面積的最大值.【答案】(1)見解析;(2).【解析】(1)由題設得,化簡得,所以C為中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓,不含左右頂點(2)(i)設直線PQ的斜率為k,則其方程為由得記,則于是直線的斜率為,方程為由得設,則和是方程的解,故,由此得從而直線的斜率為所以,即是直角三角形(ii)由(i)得,所以PQG的面積設t=k+,則由k0得t2,當且僅當k=1時取等號因為在2,+)單調(diào)遞減,所以當t=2,即k=1時,S取得最大值,最大值為因此,PQG面積的最大值為【名師點睛】本題考查了求橢圓的標準方程,以及利

14、用直線與橢圓的位置關(guān)系,判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題,考查了數(shù)學運算能力,考查了求函數(shù)最大值問題.17【2019年高考全國卷理數(shù)】已知曲線C:y=,D為直線y=上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.(1)證明:直線AB過定點:(2)若以E(0,)為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求四邊形ADBE的面積.【答案】(1)見詳解;(2)3或.【解析】(1)設,則.由于,所以切線DA的斜率為,故 .整理得設,同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點.(2)由(1)得直線AB的方程為.由,可得.于是,.設分別為點D,E到直線AB的距離,則.因此,四邊形ADBE

15、的面積.設M為線段AB的中點,則.由于,而,與向量平行,所以.解得t=0或.當=0時,S=3;當時,.因此,四邊形ADBE的面積為3或.【名師點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題,第二問是求面積類型,屬于常規(guī)題型,按部就班地求解就可以,思路較為清晰,但計算量不小.18【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C:x2=2py經(jīng)過點(2,1)(1)求拋物線C的方程及其準線方程;(2)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=1分別交直線OM,ON于點A和點B求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點【答案】(1)拋物線的方程為,準線方程為;(2)見解析.【解析

16、】(1)由拋物線經(jīng)過點,得.所以拋物線的方程為,其準線方程為.(2)拋物線的焦點為.設直線的方程為.由得.設,則.直線的方程為.令,得點A的橫坐標.同理得點B的橫坐標.設點,則,.令,即,則或.綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點和.【名師點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定,直線與拋物線的位置關(guān)系,圓的性質(zhì)及其應用等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19【2019年高考天津卷理數(shù)】設橢圓的左焦點為,上頂點為已知橢圓的短軸長為4,離心率為(1)求橢圓的方程;(2)設點在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點為直線與軸的交點,點在軸的負半軸上若(為原點),且,求直線的斜率【

17、答案】(1);(2)或【解析】(1)設橢圓的半焦距為,依題意,又,可得,所以,橢圓的方程為(2)由題意,設設直線的斜率為,又,則直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立整理得,可得,代入得,進而直線的斜率在中,令,得由題意得,所以直線的斜率為由,得,化簡得,從而所以,直線的斜率為或【名師點睛】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎知識考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力20【2019年高考江蘇卷】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:的焦點為F1(1、0),F(xiàn)2(1,0)過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:交于點A,與橢圓C交于點D.

18、連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B,連結(jié)BF2交橢圓C于點E,連結(jié)DF1已知DF1=(1)求橢圓C的標準方程;(2)求點E的坐標【答案】(1);(2).【解析】(1)設橢圓C的焦距為2c.因為F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因為DF1=,AF2x軸,所以DF2=,因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2.由b2=a2c2,得b2=3.因此,橢圓C的標準方程為.(2)解法一:由(1)知,橢圓C:,a=2,因為AF2x軸,所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x1) 2+y2=16,解得y=4.因為點A在x軸上方,所以A(1,4).又F1(1,0),所以直線AF1

19、:y=2x+2.由,得,解得或.將代入,得,因此.又F2(1,0),所以直線BF2:.由,得,解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以.將代入,得.因此.解法二:由(1)知,橢圓C:.如圖,連結(jié)EF1.因為BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,從而BF1E=B.因為F2A=F2B,所以A=B,所以A=BF1E,從而EF1F2A.因為AF2x軸,所以EF1x軸.因為F1(1,0),由,得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以.因此.【名師點睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎知識,考查推理論證能力、分析問題能力和運

20、算求解能力.21【2019年高考浙江卷】如圖,已知點為拋物線的焦點,過點F的直線交拋物線于A、B兩點,點C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且Q在點F的右側(cè)記的面積分別為(1)求p的值及拋物線的準線方程;(2)求的最小值及此時點G的坐標【答案】(1)p=2,準線方程為x=1;(2)最小值為,此時G(2,0)【解析】(1)由題意得,即p=2.所以,拋物線的準線方程為x=1.(2)設,重心.令,則.由于直線AB過F,故直線AB方程為,代入,得,故,即,所以.又由于及重心G在x軸上,故,得.所以,直線AC方程為,得.由于Q在焦點F的右側(cè),故.從而.令,則m0,.當時,取得最小值

21、,此時G(2,0)【名師點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎知識,同時考查運算求解能力和綜合應用能力.22【遼寧省丹東市2019屆高三總復習質(zhì)量測試理科數(shù)學(二)】經(jīng)過點作圓的切線,則的方程為AB或CD或【答案】C【解析】,所以圓心坐標為,半徑為,當過點的切線存在斜率,切線方程為,圓心到它的距離為,所以有,即切線方程為,當過點的切線不存在斜率時,即,顯然圓心到它的距離為,所以不是圓的切線.因此切線方程為,故本題選C.【名師點睛】本題考查了求圓的切線.本題實際上是過圓上一點求切線,所以只有一條.解答本題時,設直線存在斜率,點斜式設出方程,利用圓心到直線的距離等于半徑求

22、出斜率,再討論直線不存在斜率時,是否能和圓相切,如果能,寫出直線方程,綜合求出切線方程.23【廣東省深圳市深圳外國語學校2019屆高三第二學期第一次熱身考試數(shù)學試題】已知橢圓的離心率為,橢圓上一點到兩焦點距離之和為12,則橢圓短軸長為A8B6C5D4【答案】A【解析】橢圓的離心率:,橢圓上一點到兩焦點距離之和為,即,可得:,則橢圓短軸長為.本題正確選項為A.【名師點睛】本題考查橢圓的定義、簡單幾何性質(zhì)的應用,屬于基礎題解答本題時,利用橢圓的定義以及離心率,求出,然后求解橢圓短軸長即可24【山東省德州市2019屆高三第二次練習數(shù)學試題】已知橢圓(ab0)與雙曲線(a0,b0)的焦點相同,則雙曲線

23、漸近線方程為ABCD【答案】A【解析】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同,可得:,即,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選A【名師點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運算能力,屬于基礎題解答本題時,由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.25【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題】如圖,過拋物線的焦點的直線交拋物線于點,交其準線于點,若,且,則為ABCD【答案】B【解析】設準線與軸交于點,作垂直于準線,垂足為.由,得:,由拋物線定義可知:,設直線的傾斜角為,由拋物線焦半徑公式可得:,解得:,解得:,本題正確選項為B.【名師點睛】本題考查拋物線的

24、定義和幾何性質(zhì)的應用,關(guān)鍵是能夠利用焦半徑公式中的傾斜角構(gòu)造出方程,從而使問題得以解決.26【福建省廈門市廈門外國語學校2019屆高三最后一模數(shù)學試題】雙曲線的焦點是,若雙曲線上存在點,使是有一個內(nèi)角為的等腰三角形,則的離心率是_.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知,等腰三角形的兩個腰應為與或與,不妨設等腰三角形的腰為與,且點在第一象限,故,等腰有一內(nèi)角為,即,由余弦定理可得,由雙曲線的定義可得,即,解得:.【名師點睛】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.解答本題時,根據(jù)雙曲線的對稱性可知,等腰三角形的腰應該為與或與,不妨設等腰三角形的腰

25、為與,故可得到的值,再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為,求出的值,利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.27【重慶西南大學附屬中學校2019屆高三第十次月考數(shù)學試題】已知橢圓的左頂點為,離心率為(1)求橢圓C的方程;(2)過點的直線l交橢圓C于A,B兩點,當取得最大值時,求的面積【答案】(1);(2).【解析】(1)由題意可得:,得,則.所以橢圓.(2)當直線與軸重合時,不妨取,此時;當直線與軸不重合時,設直線的方程為:,聯(lián)立得,顯然,.所以.當時,取最大值.此時直線方程為,不妨取,所以.又,所以的面積.【名師點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),運用了設而不求的思想,將向量和圓錐曲線結(jié)合起來,是典型考題.(1)

26、由左頂點M坐標可得a=2,再由可得c,進而求得橢圓方程.(2)設l的直線方程為,和橢圓方程聯(lián)立,可得,由于,可用t表示出兩個交點的縱坐標和,進而得到關(guān)于t的一元二次方程,得到取最大值時t的值,求出直線方程,而后計算出的面積.28【黑龍江省大慶市第一中學2019屆高三下學期第四次模擬(最后一卷)考試數(shù)學試題】已知拋物線的焦點為,直線與軸的交點為,與拋物線的交點為,且.(1)求的值;(2)已知點為上一點,是上異于點的兩點,且滿足直線和直線的斜率之和為,證明直線恒過定點,并求出定點的坐標【答案】(1)4;(2)證明過程見解析,直線恒過定點.【解析】(1)設,由拋物線定義知,又,所以,解得,將點代入拋物線方程,解得.(2)由(1)知,的方程為,所以點坐標為,設直線的方程為,點,由得,.所以,所以,解得,所以直線的方程為,恒過定點【名師點睛】本題考查拋物線的定義,直線與拋物線相交,直線過定點問題,屬于中檔題.(1)設點坐標,根據(jù)拋物線的定義得到點橫坐標,然后代入拋物線方程,得到的值;(2),直線和曲線聯(lián)立,得到,然后表示出,化簡整理,得到和的關(guān)系,從而得到直線恒過的定點.26

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