（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)達標演練 綜合創(chuàng)新備選）第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版

《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)達標演練 綜合創(chuàng)新備選）第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)達標演練 綜合創(chuàng)新備選）第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2021高考總復(fù)習(xí)江蘇專用〔理科〕：第八篇?第51講 立體幾何中的向量方法(2)——求空間角與距離?〔根底達標演練+綜合創(chuàng)新備選，含解析〕 A級　根底達標演練 (時間：45分鐘　總分值：80分) 一、填空題(每題5分，共35分) 1．如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1上的動點，那么直線NO、AM的位置關(guān)系是________． 解析　建立坐標系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，那么A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1

2、－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，那么直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直． 答案　異面垂直 2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點，那么sin〈，〉的值為________． 解析　設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系(如圖)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，所以sin〈，〉＝. 答案　 3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點，那么異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________． 解析　建立坐標系如

3、圖， 那么A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案　 4．(2021·全國卷改編)直二面角αlβ，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，假設(shè)AB＝2，AC＝BD＝1，那么CD＝________. 解析　如圖，建立直角坐標系D-xyz，由條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝. 答案　 5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中點，G是DD1中點，F(xiàn)是BC上一點且F

4、B＝BC，那么GB與EF所成的角為________． 解析　如圖建立直角坐標系Dxyz， 設(shè)DA＝1，由條件 G，B，E，F(xiàn)，＝， ＝ cos〈，〉＝＝0， 那么⊥. 答案　90° 6．正四棱錐S -ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO＝OD，那么直線BC與平面PAC的夾角的大小為________． 解析　如下圖，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O-xyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 那么A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 那么＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n＝(

5、0,1,1)， 那么cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60°， ∴直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°. 答案　30° 7．(2021·全國卷改編)點E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，那么面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 解析　如圖，建立直角坐標系Dxyz，設(shè)DA＝1由條件A(1,0,0)，E，F(xiàn) ＝，＝ 設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)， 面AEF與面ABC所成的二面角為θ 由 令y＝1，z＝－3，x＝－1，那么n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量

6、為m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 二、解答題(每題15分，共45分) 8．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點． (1)證明：PE⊥BC； (2)假設(shè)∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值． 解　以H為原點，HA、HB、HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖， 那么A(1,0,0)，B(0,1,0)． (1)證明　設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)， 那么D(0，m,0)，E

7、. 可得＝，＝(m，－1,0)． 因為·＝－＋0＝0， 所以PE⊥BC. (2)由條件及(1)可得m＝－，n＝1，那么P(0,0,1)． ＝，＝(－1,0,1)． 由(1)知為面PEH的一個向量． ∴＝＝， 因此直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 9．如下圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC. (1)證明：AD⊥CE； (2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角C-AD-E的大?。? (1)證明　取BC中點O， 連接AO，那么AO⊥BC 由條件AO⊥平面BCDE， 如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，

8、 那么A(0,0，t)，D(1，，0) C(1,0,0)，E(－1，，0)， ＝(1，，－t) ＝(－2，，0) 那么·＝0，因此AD⊥CE. (2)解　作CF⊥AD垂足為F，連接EF， 那么AD⊥平面CEF從而EF⊥AD 那么∠CFE為二面角C-AD-E的平面角． 在Rt△ACD中，CF＝＝， 在等腰△ADE中，EF＝， cos∠CFE＝＝－. ∴二面角C-AD-E的余弦值為－. 10．(2021·揚州調(diào)研)如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝4，點E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點，求二面角A-BE-F的余弦值． 解　如圖

9、，以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系Bxyz，那么B(0,0，0)，A(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0,0，4)，E(0，2，2)，F(xiàn)(2，2，2)． 因為PB⊥平面ABC， 所以PB⊥AC. 又AC⊥CB， 所以AC⊥平面PBC. 所以AC⊥PC. 所以EF⊥PC. 又BE⊥PC， 所以PC⊥平面BEF. 而＝(0,4，－4)， 所以平面BEF的一個法向量n1＝(0,1，－1)． 設(shè)平面ABE的一個法向量n2＝(x，y，z)， 那么 取x＝1，那么平面ABE的一個法向量n2＝(1，－1,1)

10、． 所以cos〈n1，n2〉＝－. 由圖知二面角ABEF的平面角為銳角． 所以二面角A-BE-F的平面角的余弦值為. B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：40分鐘　總分值：90分) 一、填空題(每題5分，共15分) 1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MP＝MC，那么點M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為________． 解析　以D為原點，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖

11、： 設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長為a，那么P，C(0，a,0)，那么MC＝， MP＝. 由MP＝MC得x＝2y，所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y＝x的一局部． 答案?、? 2．正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P在線段BD1上，當∠APC最大時，三棱錐PABC的體積為________． 解析　以B為坐標原點，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標系(如下圖)． 設(shè)B＝λ，可得：P(λ，λ，λ)． 再由cos ∠APC＝可求得 當λ＝時，∠APC最大． 故VPABC＝××1×1×＝. 答案　 3．P是二面角α-AB-β棱上的一點，分別

12、在α、β平面上引射線PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α-AB-β的大小為________． 解析　不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，如圖， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45°， ∴PE＝a，PF＝b， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b ＝－－＋＝0， ∴⊥，∴二面角α-AB-β的大小為90°. 答案　90° 二、解答題(每題15分，共75分) 4．(2021·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BA

13、C＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中點． (1)求證：A1B⊥AM； (2)求二面角B -AM-C的平面角的大?。? (1)證明　以點C為原點，CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Cxyz，如下圖， 那么B(1,0,0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M. 所以＝(1，－，－)，＝. 因為·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM. (2)解　因為ABC -A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC. 因為∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC. 所

14、以是平面AMC的一個法向量，＝(1,0,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BAM的一個法向量， ＝(－1，，0)，＝. 由得令x＝，得y＝，z＝2. 所以n＝(，，2) 因為||＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，因此二面角B -AM-C的大小為45°. 5．(2021·蘇錫常鎮(zhèn)揚五市調(diào)研)如圖，正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點)． (1)如果AE＝C1F，試證明B，E，D1，F(xiàn)四點共面； (2)在(1)的條件下，是否存在一點E，使得直線A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，確定點E的位置；如果不存在，試說明理由．

15、 (1)證明　以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz， 設(shè)AE＝GF＝t. 那么B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(xiàn)(1,1,1－t)，其中0≤t≤1. 那么＝＝(－1,0，t)，所以BE∥FD1. 所以B，E，D1，F(xiàn)四點共面． (2)解?。?－1,0,1)，＝(－1,0，t)，＝(0,1,1－t)， 可求平面BFE的法向量n＝(t，t－1,1)， 假設(shè)直線A1B與平面BFE所成的角等于，那么有sin＝，即＝，解得t＝0，所以點E存在，且坐標為E(0,0,0)，即E

16、在頂點A處． 6．(2021·南通調(diào)研)在正方體ABCD -A1B1C1D1中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO. (1)假設(shè)λ＝1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值； (2)假設(shè)平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值． 解　(1)不妨設(shè)正方體的棱長為1，以，，為單位正交基底建立如下圖的空間直角坐標系D -xyz. 那么A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， (1)由題意知E. 于是＝，＝(0，－1,1)． 由cos〈，〉＝＝. 所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面CD1O的法向量為m＝(x1，y1，z1)，

17、 由m·＝0，m·＝0， 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m＝(1,1,1)． 由D1E＝λEO， 那么E， ＝. 又設(shè)平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 由n·＝0，n·＝0， 得 取x2＝2，得z2＝－λ，即n＝(2,0，－λ)． 因為平面CDE⊥平面CD1O， 所以m·n＝0，得λ＝2. 7．(2021·常州調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，PB⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，異面直線PA和CD所成角等于60°. (1)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小

18、； (2)在棱PA上是否存在一點E，使得二面角ABED的余弦值為？假設(shè)存在，指出點E在棱PA上的位置；假設(shè)不存在，說明理由． 解　如圖，以B為原點，BA，BC，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)BC＝a，BP＝b，那么B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)． ∵P＝(2,2，－b)，C＝(2,2－a,0)，CD⊥PD， ∴C·P＝0.∴4＋4－2a＝0，a＝4. 又P＝(2,0，－b)，C＝(2，－2,0)，異面直線PA和CD所成角等于60°， ∴＝，即＝， 解得b＝2. (1)P＝(0,4，－2)，A＝

19、(0,2,0)，P＝(2,0，－2)． 設(shè)平面PAD的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 那么由得 取n1＝(1,0,1)， ∵sin θ＝＝＝， ∴直線PC和平面PAD所成角的正弦值為. (2)假設(shè)存在，設(shè)P＝λP，且E(x，y，z)，那么(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)． 設(shè)平面DEB的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 那么由得 取n2＝(λ－1,1－λ，λ)，又平面ABE的法向量n3＝(0,1,0)， 由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合題意)． ∴存在這樣的E點，E為棱PA上的靠近A的三等分點． 8．(20

20、21·山東)如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形． (1)求證：平面PCD⊥平面PAC； (2)求直線PB與平面PCD所成角的大?。? (3)求四棱錐P-ACDE的體積． (1)證明　在△ABC中，因為∠ABC＝45°，BC＝4，AB＝2， 所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 45°＝8， 因此AC＝2，故BC2＝AC2＋AB2， 所以∠BAC＝90°. 又PA⊥平面ABCDE，A

21、B∥CD， 所以CD⊥PA，CD⊥AC， 又PA，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC.又CD?平面PCD， 所以平面PCD⊥平面PAC. (2)解　法一　因為△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2， 因此PB＝AB∥CD， 所以點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離， 由于平面PCD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2， 所以PC＝4， 故PC邊上的高為2，此即為點A到平面PCD的距離．所以B到平面PCD的距離為h＝2. 設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ， 那么sin θ＝＝＝. 又θ∈，所以θ＝. 法二　由(1)

22、知AB，AC，AP兩兩相互垂直，分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如下圖的空間直角坐標系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2.又AC＝2， 因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)． 因為AC∥ED，CD⊥AC， 所以四邊形ACDE是直角梯形． 因為AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC， 所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°， 故CD＝AE·sin 45°＝2×＝， 所以D(－，2，0)． 因此＝(0，－2，2)，＝(－，0,0)． 設(shè)m＝(x，y，z)是平面P

23、CD的一個法向量， 那么m·＝0，m·＝0， 解得x＝0，y＝z，取y＝1，得m＝(0,1,1)． 又＝(－2，0,2)， 設(shè)θ表示向量與平面PCD的法向量m所成的角， 那么cos θ＝＝，所以θ＝， 因此直線PB與平面PCD所成的角為. (3)解　因為AC∥ED，CD⊥AC， 所以四邊形ACDE是直角梯形． 因為AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC， 所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°， 故CD＝AE·sin 45°＝2×＝， ED＝AC－AE·cos 45°＝2－2×＝， 所以S四邊形ACDE＝ ×＝3. 又PA⊥平面ABCDE， 所以VP-ACD

24、E＝×3×2＝2. 高效能學(xué)習(xí)的八大學(xué)習(xí)方法 方法一：目 標 激 勵法 成就天才的必備素質(zhì)就是遠大志向，明確目標，勤奮刻苦，持之以恒，百折不撓。作為一名學(xué)生，要想在學(xué)習(xí)的道路上一路高歌，戰(zhàn)勝各科學(xué)習(xí)困難，在考試中脫穎而出，就必須樹立遠大的理想，制定明確的學(xué)習(xí)目標和切實可行的方案，在日常學(xué)習(xí)中勤奮苦學(xué)，孜孜不倦，持之以恒，面對學(xué)習(xí)中上的挫折，百折不撓，勇往直前，并掌握一套正確的學(xué)習(xí)方法，科學(xué)合理地安排好自己的時間，只有這樣，才能到達成功的理想此岸。 方法二：統(tǒng)籌方案學(xué)習(xí)法 正像建造樓房先要有圖紙，打仗先要有部署一樣，成功有效的學(xué)習(xí)也必須制定好一套切實可行的方案。所謂

25、統(tǒng)籌方案學(xué)習(xí)法，就是學(xué)習(xí)者為到達一定的學(xué)習(xí)目標，根據(jù)主客觀條件而制訂學(xué)習(xí)步驟的一種學(xué)習(xí)方法。統(tǒng)籌方案學(xué)習(xí)法包括四個方面：一是學(xué)習(xí)目標，二是學(xué)習(xí)內(nèi)容，三是時間安排，四是保證落實的措施。只有綜合考慮這四個方面，才能訂出切實可行的規(guī)劃。同時方案要因人而異，因事而異，并根據(jù)執(zhí)行情況，適當及時調(diào)整。 方法三：興趣引導(dǎo)法 使學(xué)習(xí)興趣化，是獲取成功的特別重要的法那么。有的同學(xué)雖然很努力地學(xué)習(xí)，但是卻對學(xué)習(xí)沒有興趣。但凡這種情況，學(xué)習(xí)效率都差得很，往往是事倍功半，效率不高。所以，千萬不要只知道積極地去學(xué)，光臨著學(xué)，傻學(xué)，而要想方法培養(yǎng)自己的興趣。只有將學(xué)習(xí)積極性轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)興趣之后，你才有可能實現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的

26、飛躍。 方法四：高效率學(xué)習(xí)法 作為學(xué)生，誰能夠高效地管理時間，科學(xué)地利用時間，抓住時間的脈搏，誰就能創(chuàng)造學(xué)業(yè)的成功，成就人生的輝煌。 愛時間就是愛生命，愛生命的每一局部。誰把握住時間，誰就擁有一切。 時間就是生命。“一個人一生只有三天：昨天、今天和明天。昨天已經(jīng)過去，永不復(fù)返；今天已經(jīng)和你在一起，但很快就會過去；明天就要到來，但也會消失。抓緊時間吧，一生只有三天！〞現(xiàn)在是你們?nèi)松狞S金時期，也是學(xué)習(xí)知識、吸取知識最有效率的時期，你們應(yīng)善于管理時間珍惜時間，不虛度年華，使生命失去原本的燦爛光榮。 方法五：刨根質(zhì)疑學(xué)習(xí)法 學(xué)習(xí)的過程是由一個“無疑—有疑—解疑—無疑〞不斷

27、循環(huán)往復(fù)的過程。學(xué)須善思，思后存疑，疑后問，問后知。所以，我們在日常生活和學(xué)習(xí)過程中，要善于思考，培養(yǎng)“凡事問一個為什么〞的習(xí)慣。 作為一個學(xué)生，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于向權(quán)威挑戰(zhàn)，同時又要虛心求教，不恥下問，不懂的問題多問老師，向同學(xué)請教。積極參加各種有關(guān)學(xué)習(xí)的交談、討論、學(xué)習(xí)興趣小組，創(chuàng)設(shè)一個與別人交流的良好平臺，合作解決問題。 方法六：筆 記 學(xué) 習(xí)法 筆墨學(xué)習(xí)法又稱筆記法，是利用記筆記學(xué)習(xí)的一種方法。在日常的讀書、聽課、復(fù)習(xí)的時候，對有一定價值和意義的材料、知識點、問題迅速及時地標記出來，記下來，然后整理成筆記，這對于穩(wěn)固知識，積累材料，提高學(xué)習(xí)成績都具有十分重要的意義。 方法

28、七：全 面 預(yù) 習(xí)法 打無準備的仗必輸，沒有預(yù)習(xí)的功課一定不會好。要想有一個高效的課堂學(xué)習(xí)，必須牢牢抓住課前預(yù)習(xí)這個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。常言道：“凡事預(yù)那么立，不預(yù)那么廢。〞“預(yù)〞，即準備。預(yù)習(xí)就是在教師講課之前，學(xué)生閱讀教材及相關(guān)的內(nèi)容，為新課學(xué)習(xí)做好必要的知識準備。我們在預(yù)習(xí)的時候，要大體了解書本內(nèi)容，思考重點，發(fā)現(xiàn)難點，注意方法，增強預(yù)習(xí)的主動性、針對性，培養(yǎng)良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣。 方法八：高 效 聽 課法 一個人的學(xué)生時代，大局部的學(xué)習(xí)時間是在課堂中度過的。在短短的十幾年時間里每個學(xué)生幾乎接受和繼承了人類幾千年所積累的知識中最根本、最精華的局部，由此可見課堂學(xué)習(xí)的重要性。一個學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞，成績的上下，關(guān)鍵在于課堂學(xué)習(xí)。充分利用每一節(jié)課的45分鐘，高效學(xué)習(xí)，對提高學(xué)習(xí)質(zhì)量將產(chǎn)生巨大的影響。 專家認為，要想聽好一節(jié)課，課前必須從身心、知識、物質(zhì)上做好充分準備，在上課時力求做到“五到〞，即耳到、眼到、口到、心到、手到；專心致志，勤于思考，思維與老師合拍。同時，上課時勇于發(fā)言，積極參加討論，有時機多動手、多實踐，做好筆記，才能有效地把握課堂，把課堂變成自己學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場。