4-3 分部積分法

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1、 課 時(shí) 授 課 計(jì) 劃 副 頁(yè) 年 月 日 教學(xué)過(guò)程及授課內(nèi)容 附 注 4-3分部積分法 教學(xué)過(guò)程 一、分部積分法 設(shè)函數(shù),具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積微分公式有移項(xiàng)得兩邊積分得 該公式稱(chēng)為分部積分公式，它可以將求的積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 的積分，當(dāng)后面這個(gè)積分較容易求時(shí)，分部積分公式就起到了化難為易的作用。 例13 求 解 設(shè)于是代入公式有 == == 注：本題若設(shè)則有及，代入公式后，得到 = , 新得到積分反而比原積分更難，說(shuō)明這樣設(shè)是不合適的，由此可見(jiàn)，運(yùn)用好分部積分關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇好和，一般要考慮如下兩點(diǎn)： （1）要容易求得（

2、可用湊微分法求出）； （2）要比容易積出。 例14 求. 解 == 當(dāng)熟悉分部積分法后，及可心算完成，不必具體寫(xiě)出． 例15 求. 解 = 例16 求. 解 將再次出現(xiàn)的移至左端，合并后除以2得所求積分為 小結(jié)：下述幾種類(lèi)型積分，均可用分部積分公式求解，且的設(shè)法有規(guī)律可循． (1) ，，，可設(shè)； (2) ，，， 可設(shè)，，； (3) ，，可設(shè)，. 說(shuō)明：（1）常數(shù)也視為冪函數(shù)． （2）上述情況換成多項(xiàng)式時(shí)仍成立． 例17 求. 解 先換元，令,則． 當(dāng)熟悉分部積分法后，及可心算完成，不必具體寫(xiě)出． 原式= =-

3、 - =- = . 例18 求. 解 換元，令，則及． 原式 　. 例19 用多種方法求. 解一 分項(xiàng)，湊微分． =. 解二 令，則 =. 解三 令=,則 = 解四 令 　 =. 解五 分部積分 ==. 二、簡(jiǎn)單有理式的積分 有理分式是指兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即，這里與不可約．當(dāng)?shù)拇螖?shù)高于的次數(shù)時(shí)，是真分式，否則為假分式．利用多項(xiàng)式除法，總可把假分式化為一多項(xiàng)式與真分式之和，例如 多項(xiàng)式部分可以逐項(xiàng)積分，因此以下只討論真分式的積分法。一般真分式的積分方法：（1）將分母分解為一次因式（可能有重因式）和二次質(zhì)因式

4、的乘積（2）把該真分式按分母的因式，分解成若干簡(jiǎn)單分式（稱(chēng)為部分分式）之和（3）簡(jiǎn)單分式的積分。 化真分式為部分分式之和舉例說(shuō)明： 分母含有單因式時(shí)，這時(shí)分解式中對(duì)應(yīng)有一項(xiàng)，其中A為待定系數(shù)． 例如 =． 為確定系數(shù),我們用乘等式兩邊，得,因?yàn)檫@是一個(gè)恒等式，將任何值帶入都相等.故可令,得,即．類(lèi)似地，令,得，即=；令,得，即。 于是得到==.(2)當(dāng)分母含有重因式時(shí)，這時(shí)部分分式中相應(yīng)有n個(gè)項(xiàng)： . 例如 .為確定系數(shù)A，B，C，將上式兩邊同乘以得 , 令,得；再令,得；令,得 代入已求得的A，B值，得. 所以 . （3）當(dāng)分母中含有質(zhì)因式，這時(shí)部分分式中相應(yīng)

5、有一項(xiàng).例如 . 為確定待定系數(shù)，等式兩邊同乘以，得 , 令得即；再令得,即；令,得,即． 所以 （4）當(dāng)分母含有因式時(shí)，這種情況積分過(guò)于繁復(fù)，略去不討論了。 有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下面三種形式: 前兩種積分，簡(jiǎn)單湊微分法即可獲解，下面舉例說(shuō)明（3）式的積分方法。 例20 求積分. 解 改寫(xiě)被積分函數(shù)分子為,(注意:括號(hào)內(nèi)正好是分母的導(dǎo)數(shù).=)于是 = = =- =-. 例21 求. 解 由前面的情況（2）知， . 所以 = =. 例 22 求． 解 被積函數(shù)是真分式，分母中為二次質(zhì)因式，所以 將等式兩邊同乘以，得 分別令-，得= ；得，即; ,得, 求得 ． 所以 . 于是 = = =. 說(shuō)明： （1）有些不定積分，如 等，雖然這些不定積分都存在，卻不能用初等函數(shù)表達(dá)所求的原函數(shù)，這時(shí)稱(chēng)“積不出”. （2）在工程技術(shù)問(wèn)題中，我們還可以借助查積分表來(lái)求一些較復(fù)雜的不定積分，也可以利用數(shù)學(xué)軟件包在計(jì)算機(jī)上求原函數(shù)。 三、小結(jié) 1. 分部積分法 2. 簡(jiǎn)單有理式的積分 第 8 頁(yè)