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1、 課 時 授 課 計 劃 副 頁 年 月 日
教學過程及授課內(nèi)容
附 注
4-3分部積分法
教學過程
一、分部積分法
設函數(shù),具有連續(xù)導數(shù)，根據(jù)乘積微分公式有移項得兩邊積分得 該公式稱為分部積分公式，它可以將求的積分問題轉化為求 的積分，當后面這個積分較容易求時，分部積分公式就起到了化難為易的作用。
例13 求
解 設于是代入公式有
==
==
注：本題若設則有及，代入公式后，得到
= ,
新得到積分反而比原積分更難，說明這樣設是不合適的，由此可見，運用好分部積分關鍵是恰當?shù)剡x擇好和，一般要考慮如下兩點：
（1）要容易求得（
2、可用湊微分法求出）；
（2）要比容易積出。
例14 求.
解 ==
當熟悉分部積分法后，及可心算完成，不必具體寫出．
例15 求.
解 =
例16 求.
解
將再次出現(xiàn)的移至左端，合并后除以2得所求積分為
小結：下述幾種類型積分，均可用分部積分公式求解，且的設法有規(guī)律可循．
(1) ，，，可設；
(2) ，，，
可設，，；
(3) ，，可設，.
說明：（1）常數(shù)也視為冪函數(shù)．
（2）上述情況換成多項式時仍成立．
例17 求.
解 先換元，令,則．
當熟悉分部積分法后，及可心算完成，不必具體寫出．
原式=
=-
3、 -
=-
=
.
例18 求.
解 換元，令，則及．
原式
.
例19 用多種方法求.
解一 分項，湊微分．
=.
解二 令，則
=.
解三 令=,則
=
解四 令
=.
解五 分部積分
==.
二、簡單有理式的積分
有理分式是指兩個多項式之比，即，這里與不可約．當?shù)拇螖?shù)高于的次數(shù)時，是真分式，否則為假分式．利用多項式除法，總可把假分式化為一多項式與真分式之和，例如
多項式部分可以逐項積分，因此以下只討論真分式的積分法。一般真分式的積分方法：（1）將分母分解為一次因式（可能有重因式）和二次質因式
4、的乘積（2）把該真分式按分母的因式，分解成若干簡單分式（稱為部分分式）之和（3）簡單分式的積分。
化真分式為部分分式之和舉例說明： 分母含有單因式時，這時分解式中對應有一項，其中A為待定系數(shù)．
例如 =．
為確定系數(shù),我們用乘等式兩邊，得,因為這是一個恒等式，將任何值帶入都相等.故可令,得,即．類似地，令,得，即=；令,得，即。
于是得到==.(2)當分母含有重因式時，這時部分分式中相應有n個項：
.
例如 .為確定系數(shù)A，B，C，將上式兩邊同乘以得
,
令,得；再令,得；令,得 代入已求得的A，B值，得.
所以 .
（3）當分母中含有質因式，這時部分分式中相應
5、有一項.例如
.
為確定待定系數(shù)，等式兩邊同乘以，得
,
令得即；再令得,即；令,得,即．
所以
（4）當分母含有因式時，這種情況積分過于繁復，略去不討論了。
有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下面三種形式:
前兩種積分，簡單湊微分法即可獲解，下面舉例說明（3）式的積分方法。
例20 求積分.
解 改寫被積分函數(shù)分子為,(注意:括號內(nèi)正好是分母的導數(shù).=)于是
=
=
=-
=-.
例21 求.
解 由前面的情況（2）知，
.
所以 =
=.
例 22 求．
解 被積函數(shù)是真分式，分母中為二次質因式，所以
將等式兩邊同乘以，得
分別令-，得= ；得，即;
,得, 求得 ．
所以 .
于是
=
=
=.
說明： （1）有些不定積分，如
等，雖然這些不定積分都存在，卻不能用初等函數(shù)表達所求的原函數(shù)，這時稱“積不出”.
（2）在工程技術問題中，我們還可以借助查積分表來求一些較復雜的不定積分，也可以利用數(shù)學軟件包在計算機上求原函數(shù)。
三、小結
1. 分部積分法
2. 簡單有理式的積分
第 8 頁
4-3 分部積分法
