2019高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5

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1、 (1)公式表達(dá)：????a sin??A sin??B sin??C＝2R. 2R 2R 2R ④????? a＋b＋c ＝? a ＝? b ＝? c 2bc?? ，cos???B＝? 2ac 2ab?? . (1)S＝??ah(h?表示邊?a?上的高)； (2)S＝??bcsin??A＝??acsin??B＝??absin??C； (3)S＝??r(a＋b＋c)(r?為三角形的內(nèi)切圓半徑)． 第一課 解三角形 [核心速填] 1．正弦定理 b c ＝ ＝ (2)公式變形： ①a＝2Rsin?A，b＝2Rsin?B

2、，c＝2Rsin?C； a b c ②sin?A＝ ，sin?B＝ ，sin?C＝ ； ③a∶b∶c＝sin?A∶sin?B∶sin?C； sin?A＋sin?B＋sin?C sin?A sin?B sin?C＝2R. 2．余弦定理 (1)公式表達(dá)： a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 (2)推論：cos?A＝ ，cos?C＝ 3．三角形中常用的面積公式 1 2 1 1 1 2 2 2

3、1 2 [體系構(gòu)建] -?1?- (2)若△ABC?的面積?S＝???，求角?A?的大小. (2)由?S＝???，得??absin??C＝???，故有 sin??Bsin??C＝??sin??2B＝sin?Bcos??B， [題型探究] 利用正、余弦定理解三角形 在△ABC?中，內(nèi)角?A，B，C?所對(duì)的邊分別為?

4、a，b，c.已知?b＋c＝2acos?B. (1)證明：A＝2B； a2 4 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432090】 [解] (1)證明：由正弦定理得?sin?B＋sin?C＝2sin?Acos?B，故?2sin?Acos?B＝sin?B＋sin(A ＋B)＝sin?B＋sin?Acos?B＋cos?Asin?B，于是?sin?B＝sin(A－B)． 又?A，B∈(0，π?)，故?0

5、in?B≠0，所以?sin?C＝cos?B， 又?B，C∈(0，π?)，所以?C＝ π 2 ±B. 當(dāng)?B＋C＝ 時(shí)，A＝ ； 當(dāng)?C－B＝ 時(shí)，A＝ . 綜上，A＝ 或?A＝ . π π 2 2 π π 2 4 π π 2 4 -?2?- 1．如圖?11，在△?ABC?中，∠B＝ ，AB＝8，點(diǎn)?D?在?BC?邊上，CD＝2，cos∠ADC＝??. [規(guī)律方法] 解三角形的一般方法：,(1)已知兩角和一邊，如已知?A、B?和?c，由?A＋B＋C＝ π?求?C，由正弦定理求?a、b.

6、 (2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知?a、b?和?C，應(yīng)先用余弦定理求?c，再應(yīng)用正弦定理先 求較短邊所對(duì)的角，然后利用?A＋B＋C＝π?，求另一角. (3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知?a、b?和?A，應(yīng)先用正弦定理求?B，由?A＋B＋C＝π?求 C，再由正弦定理或余弦定理求?c，要注意解可能有多種情況. (4)已知三邊?a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求?A、B、C. [跟蹤訓(xùn)練] π 1 3 7 圖?11 因?yàn)?cos∠ADC＝??， 所以?sin∠ADC＝??? . ＝

7、?4???3 7??? 2 7?? 2??? 14 ABsin∠BAD 14 sin∠ADB??? 4???3 2 (1)求?sin∠BAD； (2)求?BD，AC?的長(zhǎng)． [解] (1)在△ADC?中， 1 7 4?3 7 所以?sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADC?cos?B－cos∠ADC?sin?B 1 1 3 3?3 ×?－?× ＝ . (2)在△ABD?中，由正弦定理，得 3?3 8× BD＝ ＝ ＝3. 7 在△ABC?中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2

8、－2AB×BC×cos?B 1 ＝82＋52－2×8×5×?＝49. -?3?- sin??C＋??cos??C＝1. ＝a?＋c?－2accos??60°，è???2??? ?展開(kāi)整理得???3 ?2???， 所以?AC＝7. 判斷三角形的形狀 在△ABC?中，若?B＝60°，2b＝a＋，試判斷 ABC?的形狀． 思路探究：利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理，由 三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀． [解] 法一：(正弦定理邊化角)由正弦定理， 得?2sin?B＝si

9、n?A＋sin?C. ∵B＝60°，∴A＋C＝120°. ∴2sin?60°＝sin(120°－C)＋sin?C. 1 2 2 ∴sin(C＋30°)＝1. ∵0°

10、 [規(guī)律方法?] 根據(jù)已知條件?(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式?)判斷三角形的形 狀時(shí)，需要靈活地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系?.判斷三角形的形狀是高 考中考查能力的常見(jiàn)題型，此類題目要求準(zhǔn)確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰 三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形. 判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解； 將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識(shí)求解. [跟蹤訓(xùn)練] -?4?- 2 21＋cos??2

11、B 2cos?B cos?B ccos??B c cos??B ∴由余弦定理得???2 2 2a?＋c?－b c 2．在△ABC?中，若bcos??C 1＋cos??2＝ ，試判斷 ABC?的形狀. ?得cos??C???b＝??. ???c sin??C cos??B sin??C ccos?B 1＋cos?2B 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432091】 1＋cos?2C 2cos2C cos2C?bcos?C [解] 由已知 ＝ ＝ ＝ ， cos?B?c 可有以下兩種解法． 法一：(利用正弦定理，將邊化角) b sin?B cos?C s

12、in?B 由正弦定理得?＝ ，∴ ＝ ， 即?sin?Ccos?C＝sin?Bcos?B， 即?sin?2C＝sin?2B. ∵B，C?均為△ABC?的內(nèi)角， ∴2C＝2B?或?2C＋2B＝180°. 即?B＝C?或?B＋C＝90°. ∴△ABC?為等腰三角形或直角三角形． 法二：(利用余弦定理，將角化邊) b cos?C ∵?＝ ， a2＋b2－c2 2ab b ＝?， 2ac 即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)． ∴a2c2－c4＝a2b2－b4， 即?a2b2－a2c2＋c4－b4＝0

13、. ∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0， 即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0. ∴b2＝c2?或?a2－b2－c2＝0， 即?b＝c?或?a2＝b2＋c2. ∴△ABC?為等腰三角形或直角三角形. 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 如圖?12?所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路?a?經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)?A、B、C.景區(qū)管 委會(huì)開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)?D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)?D?位于景點(diǎn)?A?的北偏東?30°方向上?8?km?處，位于景點(diǎn) -?5?- B?的正北方向，還位于景點(diǎn)?C?的北偏西?75°方向上．已知?A

14、B＝5?km. 圖?12 (1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)?D?向景點(diǎn)?B?修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公 路的長(zhǎng)； (2)求景點(diǎn)?C?與景點(diǎn)?D?之間的距離．(結(jié)果精確到?0.1?km) (參考數(shù)據(jù)：?3＝1.73，sin?75°＝0.97，cos?75°＝0.26，tan?75°＝3.73，sin?53°＝ 0.80，cos?53°＝0.60，tan?53°＝1.33，sin?38°＝0.62，cos?38°＝0.79，tan?38°＝0.78) 思路探究：(1)以?BD?為邊的

15、三角形為△ABD?和△BCD，在△ABD?中，一角和另外兩邊易得，所 以可在△ABD?中利用余弦定理求解?DB. (2)以?CD?為邊的兩個(gè)三角形中的其他邊不易全部求得，而角的關(guān)系易得，考慮應(yīng)用正弦定理 求解． [解] (1)設(shè)?BD＝x?，則在 ABD?中，由余弦定理得?52＝82＋x2－2×8xcos?30°，即?x2－ 8?3x＋39＝0，解得?x＝4?3±3.因?yàn)?4?3＋3>8，應(yīng)舍去，所以?x＝4?3－3≈3.9，即這條公路 的長(zhǎng)約為?3.9?km. sin∠ABD??＝?? AB (2)?在?△ABD?中?，?由?正?弦

16、?定?理?得 AD sin∠ADB?，?所?以?sin∠ABD?＝?sin∠CBD?＝ AB??????????? 5 AD 4 ·sin∠ADB＝?＝0.8，所以?cos∠CBD＝0.6.在△CBD?中，sin∠?DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝ sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝?0.79，由正弦定理得 CD＝sin∠DBC× BD sin∠DCB ≈3.9.故景點(diǎn)?C?與景點(diǎn)?D?之間的距離約為?3.9?km. [規(guī)律方法] 正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用?.常用的

17、有測(cè)量距離問(wèn) 題，測(cè)量高度問(wèn)題，測(cè)量角度問(wèn)題等?.解決的基本思路是畫(huà)出正確的示意圖，把已知量和未知量 標(biāo)在示意圖中 目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系?，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，用哪個(gè)定 理求解，并進(jìn)行作答，解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求. [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖?13，?a?是海面上一條南北方向的海防警戒線，在?a?上點(diǎn)?A?處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另 兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)?B，C?分別在?A?的正東方?20?km?和?54?km?處．某時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)?B?收到發(fā)自靜止目標(biāo)?P 的一個(gè)聲波信號(hào)，8?s?后監(jiān)測(cè)點(diǎn)?A,20?s?后監(jiān)測(cè)點(diǎn)?C?相繼收到這一信號(hào)，在當(dāng)時(shí)氣象

18、條件下，聲波 -?6?- 在水中的傳播速度是?1.5?km/s. 圖?13 (1)設(shè)?A?到?P?的距離為?x?km，用?x?表示?B，C?到?P?的距離，并求?x?的值； (2)求靜止目標(biāo)?P?到海防警戒線?a?的距離(精確到?0.01?km). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432092】 [解] (1)由題意得?PA－PB＝1.5×8＝12(km)， PC－PB＝1.5×20＝30(km)． ∴PB＝x－12，PC＝18＋x. 在△PAB?中，AB＝20?km， co

19、s∠PAB＝?????????? ＝ 5x PA2＋AB2－PB2 x2＋202－ x－ 2PA·AB 2x·20 2?3x＋32 ＝?????. 同理?cos∠PAC＝???? . ∴?3x＋32 72－x 5x???? 3x?????????? 7 3x＋32 7 5x??????? 5 72－x 3x ∵cos∠PAB＝cos∠PAC， 132 ＝ ，解得?x＝ . 132 3× ＋32 (2)作?PD⊥a?于?D，在?Rt△PDA?中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x· ＝ ≈17.71(km

20、)． 所以靜止目標(biāo)?P?到海防警戒線?a?的距離為?17.71?km. 1．如圖?14???所示，向量AB與BC的夾角是∠B?嗎？在△ABC?中，兩向量AB·AC的數(shù)量積與余弦 與三角形有關(guān)的綜合問(wèn)題 [探究問(wèn)題] → → → → 定理有怎樣的聯(lián)系？ -?7?- 提示：向量AB與BC的夾角是∠B?的補(bǔ)角，大小為?180°－∠B， 由于AB·AC＝|AB|·|AC|cos??A＝bccos??A. 所以AB·AC＝bccos?A＝??(b2＋c2

21、－a2)，有時(shí)直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角 在△ABC?中，內(nèi)角?A，B，C?的對(duì)邊分別為?a，b，c，且?a>c，已知BA·BC＝2，cos?B ＝??，b＝3.求： [解] (1)由BA·BC＝2?得?cacos?B＝2. 又?cos??B＝??，所以?ac＝6. 又?b＝3，所以?a2＋c2＝9＋2×6×??＝13. 圖?14 → → → → → → → → 1 2 形問(wèn)題． 2．在解三角形的過(guò)程中，求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方 法有什么利弊呢？ 提示：用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)直接

22、判斷是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜．用 正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來(lái)確定角的大小，所以一般選擇用 正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對(duì)的角，避免討論． → → 1 3 (1)a?和?c?的值； (2)cos(B－C)的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432093】 思路探究：(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理，列出關(guān)于?a，c?的方程組即可求解． (2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出?B，C?的正、余弦值，利用差角余弦公式求解． → → 1 3 由余弦定理，得?a2＋c2＝b2＋2accos?B. 1

23、 3 ì?ac＝6， 解í ? ?a2＋c2＝13， ì?a＝2， 得í ? ?c＝3 ì?a＝3， 或í ? ?c＝2. sin??B＝???1－cos2??B＝?????? ?1? è3? 1－??÷?＝ 因?yàn)?a＞c，所以?a＝3，c＝2. (2)在△ABC?中，  2  2?2 3  ， b?????? 3?? 3???? 9 c 2 2?2 4?2 由正弦定理，得?sin?C＝?sin?B＝?× ＝ . 因?yàn)?a

24、＝b＞c，所以?C?為銳角， -?8?- 1－??4???2? è??9????? 9 因此?cos?C＝?1－sin2?C＝ 2 7 ÷?＝?. 3 9??? 3???? 9??? 27 母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將本例中的條件“a>c，BA·BC＝2，cos?B＝??，b＝3”變?yōu)? “已知????ABC＝30?且?cos??A＝? ”求AB·AC的值．13 于是?cos(B－C)＝cos?Bcos?C＋sin?Bsin?C 1 7 2?2 4?2 23 ＝?×?＋ × ＝ . → → 1

25、 3 12 → → 13 [解] 在△ABC?中，cos?A＝ 12  ， ∴A?為銳角且?sin??A＝ ， ∴AB·AC＝|AB|·|AC|cos??A ＝bccos??A＝156× ＝144. [解] 由余弦定理得?a2＝b2＋c2－2bccos?A＝(b－c)2＋2bc(1－cos?A)＝1＋2×156× ＝25， 5 13 1 1 5 ???? ∴?ABC＝2bcsin?A＝2bc·13＝30. ∴bc＝156. → → → → 12 13 2．(變條件，變結(jié)論)在“母題探究?1

26、”中再加上條件“c－b＝1”能否求?a?的值？ 1 13 ∴a＝?25＝5. [規(guī)律方法] 正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角 形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問(wèn)題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通常可以利 用正、余弦定理完成證明、求值等問(wèn)題. (1)解三角形與向量的交匯問(wèn)題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解. (2)解三角形與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、正余弦定理、三角形面積公式 與三角恒等變換，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解. -?9?-