（全國(guó)120套）2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 等腰直角三角形

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1、等腰直角三角形 1、（2013?衢州）將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為（　　） 　 A． 3cm B． 6cm C． cm D． cm 考點(diǎn)： 含30度角的直角三角形；等腰直角三角形． 分析： 過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊． 解答： 解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形

2、ADC中， ∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有45°角的三角板， ∴AB=AC=6， ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72， ∴BC=6， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊． 2、（2013?內(nèi)江）已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D為AB邊上一點(diǎn)．求證：BD=AE． 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 專題： 證明題． 分析： 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=B

3、C，CD=CE，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明． 解答： 證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACD=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 3、（2013?常德壓軸題）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的

4、等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME． （1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF； （2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)； （3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME． 考點(diǎn)： 三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．3718684 分析： （1）證法一：如答圖1a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為△ADF的中位線即可； 證法二：如答圖1b所示，延長(zhǎng)BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線

5、平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可， （2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線； 解法二：先求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可； （3）證法一：

6、如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME； 證法二：如答圖3b所示，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)

7、等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可． 解答： （1）證法一： 如答圖1a，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD， ∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)， 又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)， ∴BM為△ADF的中位線， ∴BM∥CF． 證法二： 如答圖1b，延長(zhǎng)BM交EF于D， ∵∠ABC=∠CEF=90°， ∴AB⊥CE，EF⊥CE， ∴AB∥EF， ∴∠BAM=∠DFM， ∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)， ∴AM=MF， ∵在△ABM和△FDM中， ， ∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB=DF， ∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣

8、DF， ∴BE=DE， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠EBM=45°， ∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°， ∴∠EBM=∠ECF， ∴MB∥CF； （2）解法一： 如答圖2a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a， ∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)， ∴BM=DF． 分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形， ∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a， ∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)， ∴ME=AG． ∵CG=CF=a，CA=CD=a，

9、 ∴AG=DF=a， ∴BM=ME=×a=a． 解法二： ∵CB=a，CE=2a， ∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a， ∵△ABM≌△FDM， ∴BM=DM， 又∵△BED是等腰直角三角形， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BM=ME=BE=a； （3）證法一： 如答圖3a，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD，AC=CD， ∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM=DF． 延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形， ∴CE=EF=EG，CF=CG， ∴點(diǎn)

10、E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME=AG． 在△ACG與△DCF中， ， ∴△ACG≌△DCF（SAS）， ∴DF=AG， ∴BM=ME． 證法二： 如答圖3b，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE， ∵∠BCE=45°， ∴∠ACD=45°×2+45°=135° ∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°， ∴AB∥CF， ∴∠BAM=∠DFM， ∴M是AF的中點(diǎn)， ∴AM=FM， 在△ABM和△FDM中，， ∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB=DF，BM=DM， ∴AB=BC=DF， ∵在△BCE和△DFE中， ， ∴△BCE≌△

11、DFE（SAS）， ∴BE=DE，∠BEC=∠DEF， ∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 又∵BM=DM， ∴BM=ME=BD， 故BM=ME． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 4、（2013?湖州）一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題： 如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點(diǎn)O，點(diǎn)PD分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：

12、△BPO≌△PDE． （1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示： 根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過(guò)程． （2）特殊位置，證明結(jié)論 若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD． （3）知識(shí)遷移，探索新知 若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′，請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過(guò)程） 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)． 分析： （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可； （2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CP

13、D，即可得出答案； （3）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案． 解答： （1）證明：∵PB=PD， ∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠C=45°， ∵BO⊥AC， ∴∠1=45°， ∴∠1=∠C=45°， ∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C， ∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO和△PDE中 ∴△BPO≌△PDE（AAS）； （2）證明：由（1）可得：∠3=∠4， ∵BP平分∠ABO， ∴∠ABP=∠3， ∴∠ABP=∠4， 在△ABP和△CPD中 ∴△ABP≌△CPD（AAS）， ∴AP=CD． （3）解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′． 理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO， 則AP=2x+x=3x， 由（2）知BO=PE， PE=2x，CE=2x﹣x=x， ∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°， ∴DE=x，由勾股定理得：CD=x， 即AP=3x，CD=x， ∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′ 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．