（全國120套）2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 等腰直角三角形

等腰直角三角形1、（2013衢州）將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為（）A3cmB6cmCcmDcm考點：含30度角的直角三角形；等腰直角三角形分析：過另一個頂點C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據(jù)直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊解答：解：過點C作CDAD，CD=3，在直角三角形ADC中，CAD=30°，AC=2CD=2×3=6，又三角板是有45°角的三角板，AB=AC=6，BC2=AB2+AC2=62+62=72，BC=6，故選：D點評：此題考查的知識點是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關(guān)鍵是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊2、（2013內(nèi)江）已知，如圖，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACD=DCE=90°，D為AB邊上一點求證：BD=AE考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形專題：證明題分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，再根據(jù)同角的余角相等求出ACE=BCD，然后利用“邊角邊”證明ACE和BCD全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明解答：證明：ABC和ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACD=DCE=90°，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），BD=AE點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3、（2013常德壓軸題）已知兩個共一個頂點的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MBCF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；（3）如圖2，當(dāng)BCE=45°時，求證：BM=ME考點：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形3718684分析：（1）證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明BM為ADF的中位線即可；證法二：如答圖1b所示，延長BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得ABEF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得BAM=DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明ABM和FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EBM=45°，從而得到EBM=ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MBCF即可，（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EMBD，求出BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明ACGDCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；證法二：如答圖3b所示，延長BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求出ABCF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出BAM=DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明ABM和FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明BCE和DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得BEC=DEF，然后求出BED=CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可解答：（1）證法一：如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知ABC與BCD均為等腰直角三角形，AB=BC=BD，點B為線段AD的中點，又點M為線段AF的中點，BM為ADF的中位線，BMCF證法二：如答圖1b，延長BM交EF于D，ABC=CEF=90°，ABCE，EFCE，ABEF，BAM=DFM，M是AF的中點，AM=MF，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BE=CEBC，DE=EFDF，BE=DE，BDE是等腰直角三角形，EBM=45°，在等腰直角CEF中，ECF=45°，EBM=ECF，MBCF；（2）解法一：如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知BCD與ABC為等腰直角三角形，AB=BC=BD=a，AC=AD=a，點B為AD中點，又點M為AF中點，BM=DF分別延長FE與CA交于點G，則易知CEF與CEG均為等腰直角三角形，CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，點E為FG中點，又點M為AF中點，ME=AGCG=CF=a，CA=CD=a，AG=DF=a，BM=ME=×a=a解法二：CB=a，CE=2a，BE=CECB=2aa=a，ABMFDM，BM=DM，又BED是等腰直角三角形，BEM是等腰直角三角形，BM=ME=BE=a；（3）證法一：如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知ABC與BCD均為等腰直角三角形，AB=BC=BD，AC=CD，點B為AD中點，又點M為AF中點，BM=DF延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知CEF與CEG均為等腰直角三角形，CE=EF=EG，CF=CG，點E為FG中點，又點M為AF中點，ME=AG在ACG與DCF中，ACGDCF（SAS），DF=AG，BM=ME證法二：如答圖3b，延長BM交CF于D，連接BE、DE，BCE=45°，ACD=45°×2+45°=135°BAC+ACF=45°+135°=180°，ABCF，BAM=DFM，M是AF的中點，AM=FM，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BM=DM，AB=BC=DF，在BCE和DFE中，BCEDFE（SAS），BE=DE，BEC=DEF，BED=BEC+CED=DEF+CED=CEF=90°，BDE是等腰直角三角形，又BM=DM，BM=ME=BD，故BM=ME點評：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點4、（2013湖州）一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：如圖，已知在RtABC中，AB=BC，ABC=90°，BOAC，于點O，點PD分別在AO和BC上，PB=PD，DEAC于點E，求證：BPOPDE（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程（2）特殊位置，證明結(jié)論若PB平分ABO，其余條件不變求證：AP=CD（3）知識遷移，探索新知若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D，請直接寫出CD與AP的數(shù)量關(guān)系（不必寫解答過程）考點：全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）求出3=4，BOP=PED=90°，根據(jù)AAS證BPOPDE即可；（2）求出ABP=4，求出ABPCPD，即可得出答案；（3）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案解答：（1）證明：PB=PD，2=PBD，AB=BC，ABC=90°，C=45°，BOAC，1=45°，1=C=45°，3=PBO1，4=2C，3=4，BOAC，DEAC，BOP=PED=90°，在BPO和PDE中BPOPDE（AAS）；（2）證明：由（1）可得：3=4，BP平分ABO，ABP=3，ABP=4，在ABP和CPD中ABPCPD（AAS），AP=CD（3）解：CD與AP的數(shù)量關(guān)系是CD=AP理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，則AP=2x+x=3x，由（2）知BO=PE，PE=2x，CE=2xx=x，E=90°，ECD=ACB=45°，DE=x，由勾股定理得：CD=x，即AP=3x，CD=x，CD與AP的數(shù)量關(guān)系是CD=AP點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力