2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 第7課時(shí) 拋物線課時(shí)闖關(guān)（含解析） 新人教版

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1、2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 第7課時(shí) 拋物線課時(shí)闖關(guān)（含解析） 新人教版 一、選擇題 1．(2011·高考陜西卷)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x　　　　　　 B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析：選B.因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以拋物線的方程是y2＝8x.所以選B. 2．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y－2＝0，則a的值是(　　) A. B．－ C．8 D．－8 解析：選B.將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式x2＝y(tǒng)，其準(zhǔn)線方程是y＝－＝2，得a＝－.故選B.

2、3．(2012·濟(jì)南質(zhì)檢)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，并且滿足OA⊥OB，則y1y2等于(　　) A．－4p2 B．－3p2 C．－2p2 D．－p2 解析：選A.∵OA⊥OB，∴O·O＝0. ∴x1x2＋y1y2＝0.① ∵A、B都在拋物線上，∴∴ 代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2. 4．(2010·高考湖南卷)設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析： 選B.如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線方程為

3、x＝－2，由拋物線的定義知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6. 5．(2010·高考山東卷)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 解析：選B.∵y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)， ∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2p， ∴＝p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.

4、二、填空題 6．(2010·高考重慶卷)已知過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝________. 解析：設(shè)A(x0，y0)，由拋物線定義知x0＋1＝2，∴x0＝1，則直線AB⊥x軸，∴|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 7．已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距離水面2米時(shí)，測(cè)量水面寬為8米，當(dāng)水面上升米后，水面的寬度是________米． 解析：設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，將(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8， 故方程為x2＝－8y，水面上升米，則y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2.

5、故水面寬4米． 答案：4 8．對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上?、诮裹c(diǎn)在x軸上?、蹝佄锞€上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6　④拋物線的通徑的長(zhǎng)為5?、萦稍c(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1) 能滿足此拋物線方程y2＝10x的條件是________(要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào))． 解析：在①②兩個(gè)條件中，應(yīng)選擇②，則由題意，可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)； 對(duì)于③，由焦半徑公式r＝1＋＝6， ∴p＝10，此時(shí)y2＝20x，不符合條件； 對(duì)于④，2p＝5，此時(shí)y2＝5x，不符合題意； 對(duì)于⑤，設(shè)焦點(diǎn)(，0)，則由題意， 滿足·＝－1. 解

6、得p＝5，此時(shí)y2＝10x， 所以②⑤能使拋物線方程為y2＝10x. 答案：②⑤ 三、解答題 9．(2011·高考福建卷) 如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點(diǎn)A. (1)求實(shí)數(shù)b的值； (2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由得x2－4x－4b＝0.(*) 因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即為x2－4x＋4＝0， 解得x＝2.將其代入x2＝4y，得y＝1. 故點(diǎn)A(2,1)． 因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切， 所以圓A的半徑r

7、等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y＝－1的距離， 即r＝|1－(－1)|＝2， 所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 10．已知直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)，求拋物線的方程． 解：由題意得kOD＝， ∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直線AB過(guò)點(diǎn)D(2,1)， ∴直線AB的方程為y＝－2x＋5， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，∴O·O＝0， 即x1x2＋y1y2＝0， 由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝

8、， ∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5) ＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p， ∴＋(－5p)＝0，∴p＝， ∴拋物線方程為y2＝x. 11．(探究選做)設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)A(2,0)，且以直線x＝－2為準(zhǔn)線． (1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程； (2)已知點(diǎn)B(0，－5)，軌跡C上是否存在滿足·＝0的M、N兩點(diǎn)？證明你的結(jié)論． 解：(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)P(x，y)， 則拋物線的焦點(diǎn)F(2x＋2，y)， 由拋物線的定義可得＝4. ∴＋＝1. ∴軌跡C的方程為＋＝1(x≠2)． (2)不存在．證明如下： 過(guò)點(diǎn)B(0，－5)斜率為k的直線方程為y＝kx－5(斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意)， 由得(4＋k2)x2－10kx＋9＝0， 由Δ≥0得k2≥. 假設(shè)在軌跡C上存在兩點(diǎn)M、N，令MB、NB的斜率分別為k1、k2，則|k1|≥，|k2|≥，顯然不可能滿足k1·k2＝－1， ∴軌跡C上不存在滿足·＝0的兩點(diǎn)．