第3章 電路的一般分析方法

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1、第 3 章 電路的一般分析方法 主要內(nèi)容: 1. 電路圖論初步及電路的獨(dú)立方程數(shù); 2. 電路的支路電流分析法;、; 3. 網(wǎng)孔電流分析法; 4. 節(jié)點(diǎn)電壓分析法。 學(xué)習(xí)要求: 本章內(nèi)容以基爾霍夫定律為基礎(chǔ),介紹支路電流法、回路電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法等電路一般分 析方法。這些方法適用于所有線性電路問題的分析,在后面章節(jié)中都要用到。要求做到: 1. 理解電路圖論的基本概念,掌握電路方程的建立方法以及電路獨(dú)立方程的個數(shù); 2. 深刻理解支路電流法、網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法等基本電路分析方法的基本思想,能靈活運(yùn)用這些 方法進(jìn)行電路分析,求取電路中的未知變量。 本章重點(diǎn): 1. KCL 和 K

2、VL 獨(dú)立方程數(shù)的概念; 2. 結(jié)點(diǎn)電壓法; 3. 回路電流法(網(wǎng)孔電流法)。 本章難點(diǎn): 1. 獨(dú)立回路的確定; 2. 正確理解每一種方法的依據(jù); 3. 含獨(dú)立電流源和受控電流源的電路的回路電流方程的列寫; 4. 含獨(dú)立電壓源和受控電壓源的電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫。 計劃課時:8 3.1電路的圖及其KCL與KVL獨(dú)立方程數(shù) 一、引言 等效變換是一種重要的電路分析方法,但只對具有一定結(jié)構(gòu)形式的簡單電路行之有效。對于 較復(fù)雜的電路,必須有一些更普遍、更一般的分析手段。 電路的一般分析方法基本上基于以下思想: 選擇適當(dāng)?shù)碾娐纷兞坎⒁运鼈冏鳛榍笾恳桓鶕?jù) KCL 、 KVL 以

3、及電路元件的VAR 建立足夠 數(shù)量的電路方程f聯(lián)立求解,得到未知電路變量f根據(jù)要求或分析目的,求取與未知電路變 量相關(guān)的其它電路變量。 可見,進(jìn)行電路的一般分析方法關(guān)鍵在于建立一定數(shù)量的電路方程,并且這些電路方程必須 互不相關(guān),即這些方程中的任意一個都不能由其余電路方程推導(dǎo)得到。為解決獨(dú)立電路方程 的建立問題,本節(jié)首先介紹電路圖論的初步知識,然后再討論一個具有b條支路、n個節(jié)點(diǎn) 電路中包含的KCL和KVL獨(dú)立方程個數(shù)。 二、電路圖論初步 圖論是拓?fù)鋵W(xué)的一個分支,是富有趣味和應(yīng)用極為廣泛的一門學(xué)科。圖論的概念由瑞士數(shù)學(xué) 家歐拉最早提出,歐拉在 1736年發(fā)表的論文《依據(jù)幾何位臵的解題方法》

4、中應(yīng)用圖的方法 討論了各尼斯堡七橋難題;19?20世紀(jì),圖論主要研究一些游戲問題和古老的難題,如哈 密頓圖及四色問題。1847 年,基爾霍夫首先用圖論來分析電網(wǎng)絡(luò),如今在電工領(lǐng)域,圖論 被用于網(wǎng)絡(luò)分析和綜合、通訊網(wǎng)絡(luò)與開關(guān)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計、集成電路布局及故障診斷、計算機(jī)結(jié) 構(gòu)設(shè)計及編譯技術(shù)等等。 1. 電路的圖:用G表示,是用于說明電路的連接特點(diǎn)或拓樸性質(zhì)的圖,是支路(線段)和節(jié)點(diǎn) 電路 電路的無向圖a 電路的無向圖b 電路的有向圖 注意:①支路是實(shí)體,節(jié)點(diǎn)是支路的匯集點(diǎn);②電路的圖中允許有孤立節(jié)點(diǎn)存在;③移去圖 中一條支路并不意味著移去相應(yīng)節(jié)點(diǎn),但移去節(jié)點(diǎn)則意味著移去連于該節(jié)點(diǎn)上的所

5、有支路; ④當(dāng)用不同結(jié)構(gòu)或內(nèi)容(如復(fù)合支路)定義支路時,電路的圖將發(fā)生改變(節(jié)點(diǎn)與支路數(shù)量不 同)。 2. 無向圖與有向圖:指定電路圖圖中各支路電流的參考方向并在圖中予以標(biāo)注,則得到電路 的有向圖;否則為電路的無向圖。 3. 圖G中的路徑、閉合路徑及回路: 從G中某節(jié)點(diǎn)出發(fā),沿著一些支路連續(xù)移動而到達(dá)另一節(jié)點(diǎn),這樣的一系列支路構(gòu)成圖G中 的一條路徑。 起始節(jié)點(diǎn)與終止節(jié)點(diǎn)重合的路徑為閉合路徑。 在一條閉合路徑中,若閉合路徑所歷節(jié)點(diǎn)均相異,則該閉合路徑構(gòu)成圖g的一個回路。 注意:兩個回路組合起來可以構(gòu)成一個新回路。 4. 連通圖、子圖及其樹、樹支、連支: 連通圖g :任意兩個節(jié)點(diǎn)之間

6、至少存在一條支路的圖稱連通圖。(非連通圖至少存在兩個分 離部分。 ) 子圖:若圖⑦中所有支路和結(jié)點(diǎn)都是圖G中的支路和結(jié)點(diǎn),則稱⑦是圖G的子圖。 連通圖G的樹T :包含G的全部節(jié)點(diǎn)但不含有回路的連通子圖。(具備3個條件) 注意:一個連通圖一般具有多個不同的樹。 樹支:既屬于連通圖g又是屬于樹T的支路稱為樹支。 連支:只屬于連通圖G而不屬于樹T的支路稱為連支。 定理1:對于連通圖G,若G具有丄條支路、工個節(jié)點(diǎn),則仝的任意一個樹的樹支數(shù)為(n — 1), 連支數(shù)為b-(n - 1)。 5. 連通圖G的基本回路: 對于連通圖G的某一樹T,在T上每增加一條連支便構(gòu)成一個回路,這樣的回路稱為單

7、連支 回路或基本回路。 (條件: (1)連通; (2)每個節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)2條支路) 定理2:對于連通圖G,若G具有b條支路、n個節(jié)點(diǎn),則G包含的基本回路數(shù)等于連支數(shù), 共l = b - (n - 1)個基本回路,并且各基本回路相互獨(dú)立。 定理3:除所聯(lián)接的節(jié)點(diǎn)外,各支路互不交叉的圖稱為平面圖。平面圖的基本回路數(shù)等于它的全部網(wǎng)孔數(shù)。 結(jié)論:電路中結(jié)點(diǎn)、支路和基本回路關(guān)系為:支路數(shù)=樹枝數(shù)+連支數(shù)=結(jié)點(diǎn)數(shù)- 1 +基本 回路數(shù)。 例:圖示為電路的圖,畫出三種可能的樹及其對應(yīng)的基本回路。 三、電路的獨(dú)立方程數(shù) 一個電路的電路方程可以根據(jù)KCL、KVL以及電路元件的VAR來建立,對每一個回路

8、可建 立一個回路kvl方程,對每一個節(jié)點(diǎn)可建立一個節(jié)點(diǎn)KCL方程。 對于所有回路KVL方程,要使它們相互獨(dú)立,必須保證這些回路是獨(dú)立的。根據(jù)定理1易 知,對于一個具有b條支路、n個節(jié)點(diǎn)的電路,其獨(dú)立KVL方程數(shù)等于b - (n - 1)。 對于所有節(jié)點(diǎn) KCL 方程,根據(jù) KCL 在閉合曲面中的推廣應(yīng)用,可以知道其中任意一個節(jié)點(diǎn) KCL方程都可從其余的節(jié)點(diǎn)KCL方程中推導(dǎo)得出。因此,對于一個具有b條支路、n個節(jié) 點(diǎn)的電路,其獨(dú)立KCL方程數(shù)等于(n - 1)。 綜上所述,對于一個具有丄條支路、工個節(jié)點(diǎn)的電路,其獨(dú)立方程數(shù)由(n - 1)個獨(dú)立的節(jié)點(diǎn) KCL方程和b - (n - 1)個獨(dú)立

9、的回路KVL方程組成,共b個獨(dú)立方程。聯(lián)合應(yīng)用這些獨(dú)立電 路方程,最多可以求取b個未知電路變量。 3.2 電路的支路電流分析法 一、支路電流法基本思想 以各支路電流為未知變量,按KCL、KVL以及電路元件的VAR列出個數(shù)與支路電流數(shù)量相 同的相互獨(dú)立的電路方程,即可求得各支路電流,再在各支路電流基礎(chǔ)上按要求求取其它電 路變量。 二、支路電流法分析步驟 1. 以各支路電流為未知變量,選定標(biāo)注其參考方向; 2. 任意選定n - 1個節(jié)點(diǎn),按KCL列出n - 1個獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)KCL 方程; 3. 選定1 = b - ( n - 1)個基本回路并規(guī)定標(biāo)注其繞行方向,結(jié)合元件特性并按KVL列

10、出 b - (n - 1)個獨(dú)立的回路KVL方程; 4. 聯(lián)立求解以上b個相互獨(dú)立的電路方程,得到各支路電流。 5. 根據(jù)分析要求,以支路電流為基礎(chǔ)求取其它電路變量。 例1:求各支路電流及各電壓源發(fā)出的功率。 7Q 70V 解:①n-1=1個KCL方程: 結(jié)點(diǎn) a: -I -I +I =0 1 2 3 ② b-( n-1)=2 個 KVL 方程: 7I -11I =70-6=64 12 11I+7I= 6 23 -1 -1 1 0 -1 1 -1 0 1 因△= 7 -11 0 =203 , A = 1 64 -1

11、1 0 =1218 , A = 2 7 64 0 =-406 0 11 7 6 11 7 0 6 7 故解得 : I1 =1218 /203 =6A , I2 =-406 /‘203 = - 2A , I=I 31 + I 2 =6 -2 = 4A P = 6 70 x 70 =420W , P6 = -2x6 = - 12W 。 三、應(yīng)用注意 1. 支路電流法適用于分析含受控源的電路; 2. 支路電流法要求每條支路的電壓可用支路電流來表示,否則須另行處理。如:一

12、條支路僅 含電流源且不直接與任何電阻并聯(lián)情況下,可以增加一個未知變量(電流源兩端電壓),最后 再補(bǔ)充一個電路方程(該支路電流等于電流源電流)。 例 2:列寫支路電流方程.(電路中含有理想電流源) 例3:列寫支路電流方程.(電路中含有受控源) 3 70 3 7Q 7Q + 70 注意:有受控源的電路,方程列寫分兩步:①先將受控源看作獨(dú)立源列方程;②將控制量用 未知量表示,并代入①中所列的方程,消去中間變量。 四、支路電流法特點(diǎn) 從支路電流法分析思想可知,為求取各支路電流,必須列出b個相互獨(dú)立的電路方程。一個 電路包含的支路數(shù)目越多,求取各支路電流所需的電路

13、方程數(shù)目就越多,解方程組的難度就 越大。因此支路電流分析法宜于利用計算機(jī)求解。人工計算時,對于支路數(shù)不太少的電路, 可以應(yīng)用支路電流法,但為進(jìn)一步減少分析所需的電路方程數(shù)量,可采用網(wǎng)孔電流法和節(jié)點(diǎn) 電壓法。 3.3 網(wǎng)孔電流法 一、網(wǎng)孔電流及其特點(diǎn) 對于一個含b條支路、n個節(jié)點(diǎn)的平面電路,從電路圖論可知,其網(wǎng)孔數(shù)為l = b -(n - 1), 顯然l

14、只有支路電流)。網(wǎng)孔電流具有以下特點(diǎn): 1?電路中實(shí)際上不存在網(wǎng)孔電流,網(wǎng)孔電流是一種假想電流; 2. 引入網(wǎng)孔電流旨在簡化電路分析,減少分析所需的電路獨(dú)立方程數(shù); 3. 引入網(wǎng)孔電流后,電路中各支路電流可以用網(wǎng)孔電流來表示; 4. 一般指定網(wǎng)孔電流的參考方向與網(wǎng)孔的繞行方向一致; 如: u s1 + u s3 i ,i 為 網(wǎng) 孔 電 流 m 1 m 2 5. 電路中各網(wǎng)孔電流在任意節(jié)點(diǎn)上自動滿足acj。 各支路電流j可用網(wǎng)孔電流表示: i i ,i i i ,i i 1 m 1 2 m 1 m 2 3 m 2 各網(wǎng)孔電流自動滿足KCL: i ,i從節(jié)點(diǎn)a 一

15、邊流入, m 1 m 2 又從節(jié)點(diǎn)a的另一邊流出 二、網(wǎng)孔電流分析法基本思想 以網(wǎng)孔電流為未知變量,根據(jù)KVL列出l = b - (n - 1)個網(wǎng)孔的KVL方程,(由于網(wǎng)孔電流自 動滿足KCL,故不必再列節(jié)點(diǎn)KCL方程),聯(lián)立求得各網(wǎng)孔電流,最后根據(jù)網(wǎng)孔電流特點(diǎn)求 取和支路電流及其它電路變量。 三、網(wǎng)孔電流法分析步驟 1. 確定各網(wǎng)孔電流,指定其參考方向并以其參考方向作為網(wǎng)孔的繞行方向; 2?按KVL列寫l = b - (n - 1)個網(wǎng)孔的KVL方程(共l = b - (n - 1)個且相互獨(dú)立); 3. 聯(lián)立求解得到各網(wǎng)孔電流; 例2用網(wǎng)孔電流法列寫圖示電路的電路方程。

16、4. 在所得網(wǎng)孔電流基礎(chǔ)上,按分析要求再求取電路變量。 (R + R + R ) i - R i - R i = - u 1 2 3 a 3 b 2 c s 3 彳-R i + (R + R + R ) i - R i = u 3 a 3 4 5 b 4 c s3 、一 R i - R i + (R + R + R ) i = - u 2 a 4 b 6 4 2 c s6 四、用觀察法列寫網(wǎng)孔電流電路方程 =u s11 =u s 22 =u snn 1. 用觀察法列出的網(wǎng)孔電流電路方程一般形式: i nn R l + R l + …+ R 11 1 12 2

17、 1 R l + R l + …+ R v 21 1 22 2 2 、R l + R l + …+ R n 1 1 n 2 2 nn 其中,R為網(wǎng)孔i的自(電)阻,R為網(wǎng)孔i與網(wǎng)孔j之間的互(電)阻,u為網(wǎng)孔i的等效電 ii ij sii 源。 2. 網(wǎng)孔的自阻、等效電源以及不同網(wǎng)孔之間的互阻: 網(wǎng)孔i自阻R : R.=網(wǎng)孔內(nèi)所有電阻之和 ii ―ii 網(wǎng)孔i與網(wǎng)孔j之間的互阻R : Rij R,;,. = 土(網(wǎng)孔i與網(wǎng)孔j之間所有公共電阻之和) 并且規(guī)定:若網(wǎng)孔電流i與網(wǎng)孔電流i在這些公共電阻上的流向相同,則互阻前取“+”,否 ij 則互阻前取“-”。 注意

18、:1) 在不含受控源的電路中, R = R ,系數(shù)矩陣為對稱陣;2) 當(dāng)網(wǎng)孔電流均取順(或 ij j i 逆)時針方向時, R 均為負(fù)。 ij 網(wǎng)孔i的等效電源u : u =網(wǎng)孔內(nèi)所有獨(dú)立電源之代數(shù)和。 sii sii 五、幾種特殊情況 1. 電路中含有電流源與電阻的并聯(lián)組合:將其等效變換成電壓源與電阻的串聯(lián)組合后列電路 方程。 2. 電路中含有受控電壓源:列電路方程時,先用網(wǎng)孔電流將控制量表示出來,并暫時將受控 電壓源當(dāng)作獨(dú)立電壓源,最后再將用網(wǎng)孔電流表示的受控源電壓移至方程的左邊。 例3用網(wǎng)孔電流法求圖示電路的電壓U。 解法 1: 3. 電路中含有電流源且無電阻直接與

19、之并聯(lián):處理方法:①選取網(wǎng)孔電流時只讓一個回路電 流通過電流源,該網(wǎng)孔電流僅由電流源電流決定;②以電流源兩端電壓為變量,并且在每引 入一個這樣的變量的同時,增加一個網(wǎng)孔電流與電流源電流間的約束關(guān)系的方程。 61 + U = 3U a < -U + 6 / = -10 ( U = - 34 V) b 、增加方程:Ib 一 Ia = 4 解法 2: 'I = - 4 a < U = 61” + 10 ( Ib = — 22/2, U = - 34 V) I 6( I + I ) - 3U + U = 0 ab 3.4 節(jié)點(diǎn)電壓法 一、節(jié)點(diǎn)電壓 1. 節(jié)點(diǎn)電壓的概念: 在

20、一個含b條支路、n個節(jié)點(diǎn)的電路中,任選一個節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn),其它節(jié)點(diǎn)(稱為獨(dú)立 節(jié)點(diǎn))與參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓稱為節(jié)點(diǎn)電壓。可見共有(n - 1)個節(jié)點(diǎn)電壓,并且一般規(guī)定各 節(jié)點(diǎn)電壓的極性為參考節(jié)點(diǎn)為“-”,非參考節(jié)點(diǎn)為“+”。 2.節(jié)點(diǎn)電壓的性質(zhì): 對于任一節(jié)點(diǎn)電壓,一般具有以下兩個性質(zhì) 1) 各支路電流可以用節(jié)點(diǎn)電壓來表示; 2) 節(jié)點(diǎn)電壓總是自動滿足KVL。 如: i i 1 2 屮R j S 6F I t 1 1 1 1 耳 ; c i l r 3 2 5 3 以節(jié)點(diǎn)0為參考節(jié)點(diǎn),有節(jié)點(diǎn)電壓: u , u , u 并 且 它 們 自 動 滿

21、 足 KVL n1 n 2 n 3 Us 3 用節(jié)點(diǎn)電壓表示支路電流: i = g u 一 i 1 1 n 1 s 1 1 = g u 2 2 n 2 z = G (u 一 u 3 3 n 3 i = g (u 一 u ) 4 4 n 1 n 2 i = G (u - u ) 5 5 n 2 n3 )z = g (u 一 u ) + i 3 6 6 n1 n3 s 6 二、節(jié)點(diǎn)電壓分析法思想 由于節(jié)點(diǎn)電壓自動滿足KVL,各支路電流又可以用節(jié)點(diǎn)電壓來表示,因此如果以節(jié)點(diǎn)電壓 為未知變量列出除參考節(jié)點(diǎn)以外的其它(n - 1)個節(jié)點(diǎn)的KCL方程,即可求得(n - 1

22、)個節(jié)點(diǎn) 電壓,最后在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步求取電路其它變量。這就是節(jié)點(diǎn)電壓分析方法的基本思想。 三、節(jié)點(diǎn)電壓法分析步驟 1.選擇參考節(jié)點(diǎn),指定各節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓; 2. 用節(jié)點(diǎn)電壓表示各支路電流,并根據(jù)KCL列出各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的KCL方程(共n - 1個); 3. 聯(lián)立求解得到各節(jié)點(diǎn)電壓,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步求取其它電路變量。 如在上圖中,n - 1個非參考節(jié)點(diǎn)的KCL方程為: 一 G u + g (u - u ) + g (u - u ) — i - i 1 n 1 4 n 1 n 2 6 n1 n 3 s1 s 6 < -g (u - u ) + g u + g (u - u ) —

23、0 4 n1 n 2 2 n 2 5 n 2 n3 —g (u — u ) — g (u — u ) + g u — i + g u 6 n1 n3 5 n2 n3 3 n3 s6 3 s3 KCL方程可以用觀察法列出。 在以上分析步驟中,其實(shí)n - 1個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的 對于一個具有n個節(jié)點(diǎn)的電路, 形式: G u + G u 11 n1 12 G u + G u 21 n1 22 +…+ G 21 +…+ G 2 u — i -1 n (n-1) s 11 u —i 2n-1 n(n-1) s22 用觀察法列出其 n -1 個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的 KCL 方程具有以下一

24、般 G u + G ( n -1)1 n1 G ii u + …+ g u — i 其中, ( n -1) 2 n 2 ( n -1)( n -1) n ( n -1) s ( n -1)( n -1) 為節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo),g =連于節(jié)點(diǎn)i上的所有電導(dǎo)之和 ii G是節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的互導(dǎo): ij Gi.—-(節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的所有公共電導(dǎo)之和) ij i ??是節(jié)點(diǎn)i上的等效電流源,并且流入的電流為“+”,流出的為“-”。 sii 如上圖電路中,用觀察法列出n - 1個非參考節(jié)點(diǎn)的KCL方程為: (G + G + G ) u - g u - g u

25、— i - i 1 4 6 n1 4 n 2 6 n 3 s 1 s 6 <—G u + ( g + G + G ) u - g u — 0 4 n1 2 4 5 n 2 5 n3 、一G u - g u + ( g + G + G ) u — i + g u 6 n1 5 n2 3 5 6 n3 s6 3 s3 『R 2 四、應(yīng)用節(jié)點(diǎn)電壓法分析時的幾種特殊情況 1丄 si 1. 電路中含有受控電流源: 該情況下建立電路方程時,先把控制量用節(jié) 點(diǎn)電壓表示,并暫時將受控電流源當(dāng)作獨(dú)立 電流源處理即可。如: 2. 電路中具有某些電壓源支路并且沒有電阻直接與電壓源串聯(lián)(無伴電壓源

26、支路): 這種情況的處理方法較多。其中一種常見的處理方法是:將電壓源的電流作為未知變量,并 且在每引入一個這樣的變量的同時增加一個節(jié)點(diǎn)電壓與電壓源電壓之間的約束關(guān)系。如: Q G3 u s 例4試證明彌爾曼定理,即對于圖示由電壓源和電阻組成的具有一個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電路,其節(jié) 點(diǎn)電壓為 工G「u u — ksk n1 R u s1 工Gk 三種電路一般分析方法小節(jié): 在三種一般分析方法中,就電路方程數(shù)目而言,支路電流法需要 b 個電路方程,網(wǎng)孔電流法 需要b — (n - 1)個電路方程,節(jié)點(diǎn)電壓法需要(n - 1)個電路方程,因此手工分析中對這些分 析方法的選用,需要首先比較b、b - (n - 1)、(n - 1)三數(shù)大小,然后再選取與數(shù)值最小的 那種分析方法進(jìn)行分析。 作業(yè):

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