第3章 電路的一般分析方法

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1、第 3 章 電路的一般分析方法 主要內容： 1. 電路圖論初步及電路的獨立方程數(shù)； 2. 電路的支路電流分析法；、； 3. 網孔電流分析法； 4. 節(jié)點電壓分析法。 學習要求： 本章內容以基爾霍夫定律為基礎，介紹支路電流法、回路電流法和節(jié)點電壓法等電路一般分 析方法。這些方法適用于所有線性電路問題的分析，在后面章節(jié)中都要用到。要求做到： 1. 理解電路圖論的基本概念，掌握電路方程的建立方法以及電路獨立方程的個數(shù)； 2. 深刻理解支路電流法、網孔法、節(jié)點法等基本電路分析方法的基本思想，能靈活運用這些 方法進行電路分析，求取電路中的未知變量。 本章重點： 1. KCL 和 K

2、VL 獨立方程數(shù)的概念； 2. 結點電壓法； 3. 回路電流法（網孔電流法）。 本章難點： 1. 獨立回路的確定； 2. 正確理解每一種方法的依據(jù)； 3. 含獨立電流源和受控電流源的電路的回路電流方程的列寫； 4. 含獨立電壓源和受控電壓源的電路的結點電壓方程的列寫。 計劃課時：8 3.1電路的圖及其KCL與KVL獨立方程數(shù) 一、引言 等效變換是一種重要的電路分析方法，但只對具有一定結構形式的簡單電路行之有效。對于 較復雜的電路，必須有一些更普遍、更一般的分析手段。 電路的一般分析方法基本上基于以下思想： 選擇適當?shù)碾娐纷兞坎⒁运鼈冏鳛榍笾恳桓鶕?jù) KCL 、 KVL 以

3、及電路元件的VAR 建立足夠 數(shù)量的電路方程f聯(lián)立求解，得到未知電路變量f根據(jù)要求或分析目的，求取與未知電路變 量相關的其它電路變量。 可見，進行電路的一般分析方法關鍵在于建立一定數(shù)量的電路方程，并且這些電路方程必須 互不相關,即這些方程中的任意一個都不能由其余電路方程推導得到。為解決獨立電路方程 的建立問題，本節(jié)首先介紹電路圖論的初步知識，然后再討論一個具有b條支路、n個節(jié)點 電路中包含的KCL和KVL獨立方程個數(shù)。 二、電路圖論初步 圖論是拓撲學的一個分支，是富有趣味和應用極為廣泛的一門學科。圖論的概念由瑞士數(shù)學 家歐拉最早提出，歐拉在 1736年發(fā)表的論文《依據(jù)幾何位臵的解題方法》

4、中應用圖的方法 討論了各尼斯堡七橋難題；19?20世紀，圖論主要研究一些游戲問題和古老的難題，如哈 密頓圖及四色問題。1847 年，基爾霍夫首先用圖論來分析電網絡，如今在電工領域，圖論 被用于網絡分析和綜合、通訊網絡與開關網絡的設計、集成電路布局及故障診斷、計算機結 構設計及編譯技術等等。 1. 電路的圖:用G表示，是用于說明電路的連接特點或拓樸性質的圖，是支路（線段）和節(jié)點 電路 電路的無向圖a 電路的無向圖b 電路的有向圖 注意：①支路是實體，節(jié)點是支路的匯集點；②電路的圖中允許有孤立節(jié)點存在；③移去圖 中一條支路并不意味著移去相應節(jié)點，但移去節(jié)點則意味著移去連于該節(jié)點上的所

5、有支路； ④當用不同結構或內容（如復合支路）定義支路時，電路的圖將發(fā)生改變（節(jié)點與支路數(shù)量不 同）。 2. 無向圖與有向圖:指定電路圖圖中各支路電流的參考方向并在圖中予以標注，則得到電路 的有向圖；否則為電路的無向圖。 3. 圖G中的路徑、閉合路徑及回路： 從G中某節(jié)點出發(fā)，沿著一些支路連續(xù)移動而到達另一節(jié)點，這樣的一系列支路構成圖G中 的一條路徑。 起始節(jié)點與終止節(jié)點重合的路徑為閉合路徑。 在一條閉合路徑中，若閉合路徑所歷節(jié)點均相異，則該閉合路徑構成圖g的一個回路。 注意：兩個回路組合起來可以構成一個新回路。 4. 連通圖、子圖及其樹、樹支、連支： 連通圖g :任意兩個節(jié)點之間

6、至少存在一條支路的圖稱連通圖。（非連通圖至少存在兩個分 離部分。 ） 子圖：若圖⑦中所有支路和結點都是圖G中的支路和結點，則稱⑦是圖G的子圖。 連通圖G的樹T :包含G的全部節(jié)點但不含有回路的連通子圖。（具備3個條件） 注意：一個連通圖一般具有多個不同的樹。 樹支：既屬于連通圖g又是屬于樹T的支路稱為樹支。 連支：只屬于連通圖G而不屬于樹T的支路稱為連支。 定理1：對于連通圖G，若G具有丄條支路、工個節(jié)點，則仝的任意一個樹的樹支數(shù)為（n — 1）， 連支數(shù)為b-（n - 1）。 5. 連通圖G的基本回路: 對于連通圖G的某一樹T，在T上每增加一條連支便構成一個回路，這樣的回路稱為單

7、連支 回路或基本回路。 （條件： （1）連通； （2）每個節(jié)點關聯(lián)2條支路） 定理2：對于連通圖G，若G具有b條支路、n個節(jié)點，則G包含的基本回路數(shù)等于連支數(shù)， 共l = b - （n - 1）個基本回路，并且各基本回路相互獨立。 定理3：除所聯(lián)接的節(jié)點外，各支路互不交叉的圖稱為平面圖。平面圖的基本回路數(shù)等于它的全部網孔數(shù)。 結論：電路中結點、支路和基本回路關系為：支路數(shù)=樹枝數(shù)+連支數(shù)=結點數(shù)- 1 +基本 回路數(shù)。 例：圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應的基本回路。 三、電路的獨立方程數(shù) 一個電路的電路方程可以根據(jù)KCL、KVL以及電路元件的VAR來建立，對每一個回路

8、可建 立一個回路kvl方程，對每一個節(jié)點可建立一個節(jié)點KCL方程。 對于所有回路KVL方程，要使它們相互獨立，必須保證這些回路是獨立的。根據(jù)定理1易 知，對于一個具有b條支路、n個節(jié)點的電路，其獨立KVL方程數(shù)等于b - (n - 1)。 對于所有節(jié)點 KCL 方程，根據(jù) KCL 在閉合曲面中的推廣應用，可以知道其中任意一個節(jié)點 KCL方程都可從其余的節(jié)點KCL方程中推導得出。因此，對于一個具有b條支路、n個節(jié) 點的電路，其獨立KCL方程數(shù)等于(n - 1)。 綜上所述，對于一個具有丄條支路、工個節(jié)點的電路，其獨立方程數(shù)由(n - 1)個獨立的節(jié)點 KCL方程和b - (n - 1)個獨立

9、的回路KVL方程組成，共b個獨立方程。聯(lián)合應用這些獨立電 路方程，最多可以求取b個未知電路變量。 3.2 電路的支路電流分析法 一、支路電流法基本思想 以各支路電流為未知變量，按KCL、KVL以及電路元件的VAR列出個數(shù)與支路電流數(shù)量相 同的相互獨立的電路方程，即可求得各支路電流，再在各支路電流基礎上按要求求取其它電 路變量。 二、支路電流法分析步驟 1. 以各支路電流為未知變量，選定標注其參考方向； 2. 任意選定n - 1個節(jié)點，按KCL列出n - 1個獨立的節(jié)點KCL 方程； 3. 選定1 = b - ( n - 1)個基本回路并規(guī)定標注其繞行方向，結合元件特性并按KVL列

10、出 b - (n - 1)個獨立的回路KVL方程； 4. 聯(lián)立求解以上b個相互獨立的電路方程，得到各支路電流。 5. 根據(jù)分析要求，以支路電流為基礎求取其它電路變量。 例1：求各支路電流及各電壓源發(fā)出的功率。 7Q 70V 解：①n-1=1個KCL方程： 結點 a： -I -I +I =0 1 2 3 ② b-( n-1)=2 個 KVL 方程: 7I -11I =70-6=64 12 11I+7I= 6 23 -1 -1 1 0 -1 1 -1 0 1 因△= 7 -11 0 =203 , A = 1 64 -1

11、1 0 =1218 , A = 2 7 64 0 =-406 0 11 7 6 11 7 0 6 7 故解得 ： I1 =1218 /203 =6A ， I2 =-406 /‘203 = - 2A ， I=I 31 + I 2 =6 -2 = 4A P = 6 70 x 70 =420W ， P6 = -2x6 = - 12W 。 三、應用注意 1. 支路電流法適用于分析含受控源的電路; 2. 支路電流法要求每條支路的電壓可用支路電流來表示，否則須另行處理。如：一

12、條支路僅 含電流源且不直接與任何電阻并聯(lián)情況下，可以增加一個未知變量（電流源兩端電壓），最后 再補充一個電路方程（該支路電流等于電流源電流）。 例 2：列寫支路電流方程.（電路中含有理想電流源） 例3:列寫支路電流方程.（電路中含有受控源） 3 70 3 7Q 7Q + 70 注意：有受控源的電路,方程列寫分兩步：①先將受控源看作獨立源列方程；②將控制量用 未知量表示，并代入①中所列的方程，消去中間變量。 四、支路電流法特點 從支路電流法分析思想可知，為求取各支路電流，必須列出b個相互獨立的電路方程。一個 電路包含的支路數(shù)目越多，求取各支路電流所需的電路

13、方程數(shù)目就越多，解方程組的難度就 越大。因此支路電流分析法宜于利用計算機求解。人工計算時，對于支路數(shù)不太少的電路， 可以應用支路電流法，但為進一步減少分析所需的電路方程數(shù)量，可采用網孔電流法和節(jié)點 電壓法。 3.3 網孔電流法 一、網孔電流及其特點 對于一個含b條支路、n個節(jié)點的平面電路，從電路圖論可知，其網孔數(shù)為l = b -（n - 1）， 顯然l

14、只有支路電流）。網孔電流具有以下特點: 1?電路中實際上不存在網孔電流，網孔電流是一種假想電流； 2. 引入網孔電流旨在簡化電路分析，減少分析所需的電路獨立方程數(shù); 3. 引入網孔電流后，電路中各支路電流可以用網孔電流來表示; 4. 一般指定網孔電流的參考方向與網孔的繞行方向一致； 如： u s1 + u s3 i ,i 為 網 孔 電 流 m 1 m 2 5. 電路中各網孔電流在任意節(jié)點上自動滿足acj。 各支路電流j可用網孔電流表示： i i ,i i i ,i i 1 m 1 2 m 1 m 2 3 m 2 各網孔電流自動滿足KCL: i ，i從節(jié)點a 一

15、邊流入, m 1 m 2 又從節(jié)點a的另一邊流出 二、網孔電流分析法基本思想 以網孔電流為未知變量，根據(jù)KVL列出l = b - （n - 1）個網孔的KVL方程，（由于網孔電流自 動滿足KCL，故不必再列節(jié)點KCL方程），聯(lián)立求得各網孔電流，最后根據(jù)網孔電流特點求 取和支路電流及其它電路變量。 三、網孔電流法分析步驟 1. 確定各網孔電流，指定其參考方向并以其參考方向作為網孔的繞行方向； 2?按KVL列寫l = b - （n - 1）個網孔的KVL方程（共l = b - （n - 1）個且相互獨立）; 3. 聯(lián)立求解得到各網孔電流； 例2用網孔電流法列寫圖示電路的電路方程。

16、4. 在所得網孔電流基礎上，按分析要求再求取電路變量。 (R + R + R ) i - R i - R i = - u 1 2 3 a 3 b 2 c s 3 彳-R i + (R + R + R ) i - R i = u 3 a 3 4 5 b 4 c s3 、一 R i - R i + (R + R + R ) i = - u 2 a 4 b 6 4 2 c s6 四、用觀察法列寫網孔電流電路方程 =u s11 =u s 22 =u snn 1. 用觀察法列出的網孔電流電路方程一般形式： i nn R l + R l + …+ R 11 1 12 2

17、 1 R l + R l + …+ R v 21 1 22 2 2 、R l + R l + …+ R n 1 1 n 2 2 nn 其中，R為網孔i的自（電）阻，R為網孔i與網孔j之間的互（電）阻，u為網孔i的等效電 ii ij sii 源。 2. 網孔的自阻、等效電源以及不同網孔之間的互阻： 網孔i自阻R : R.=網孔內所有電阻之和 ii ―ii 網孔i與網孔j之間的互阻R : Rij R,；,. = 土（網孔i與網孔j之間所有公共電阻之和） 并且規(guī)定：若網孔電流i與網孔電流i在這些公共電阻上的流向相同，則互阻前取“+”，否 ij 則互阻前取“-”。 注意

18、:1） 在不含受控源的電路中， R = R ，系數(shù)矩陣為對稱陣；2） 當網孔電流均取順（或 ij j i 逆）時針方向時， R 均為負。 ij 網孔i的等效電源u : u =網孔內所有獨立電源之代數(shù)和。 sii sii 五、幾種特殊情況 1. 電路中含有電流源與電阻的并聯(lián)組合：將其等效變換成電壓源與電阻的串聯(lián)組合后列電路 方程。 2. 電路中含有受控電壓源：列電路方程時，先用網孔電流將控制量表示出來，并暫時將受控 電壓源當作獨立電壓源，最后再將用網孔電流表示的受控源電壓移至方程的左邊。 例3用網孔電流法求圖示電路的電壓U。 解法 1： 3. 電路中含有電流源且無電阻直接與

19、之并聯(lián)：處理方法：①選取網孔電流時只讓一個回路電 流通過電流源，該網孔電流僅由電流源電流決定；②以電流源兩端電壓為變量，并且在每引 入一個這樣的變量的同時，增加一個網孔電流與電流源電流間的約束關系的方程。 61 + U = 3U a < -U + 6 / = -10 ( U = - 34 V) b 、增加方程：Ib 一 Ia = 4 解法 2： 'I = - 4 a < U = 61” + 10 ( Ib = — 22/2， U = - 34 V) I 6( I + I ) - 3U + U = 0 ab 3.4 節(jié)點電壓法 一、節(jié)點電壓 1. 節(jié)點電壓的概念： 在

20、一個含b條支路、n個節(jié)點的電路中，任選一個節(jié)點作為參考節(jié)點，其它節(jié)點(稱為獨立 節(jié)點)與參考節(jié)點之間的電壓稱為節(jié)點電壓?？梢姽灿?n - 1)個節(jié)點電壓，并且一般規(guī)定各 節(jié)點電壓的極性為參考節(jié)點為“-”，非參考節(jié)點為“+”。 2.節(jié)點電壓的性質： 對于任一節(jié)點電壓，一般具有以下兩個性質 1) 各支路電流可以用節(jié)點電壓來表示； 2) 節(jié)點電壓總是自動滿足KVL。 如： i i 1 2 屮R j S 6F I t 1 1 1 1 耳 ； c i l r 3 2 5 3 以節(jié)點0為參考節(jié)點,有節(jié)點電壓： u , u , u 并 且 它 們 自 動 滿

21、 足 KVL n1 n 2 n 3 Us 3 用節(jié)點電壓表示支路電流： i = g u 一 i 1 1 n 1 s 1 1 = g u 2 2 n 2 z = G (u 一 u 3 3 n 3 i = g (u 一 u ) 4 4 n 1 n 2 i = G (u - u ) 5 5 n 2 n3 )z = g (u 一 u ) + i 3 6 6 n1 n3 s 6 二、節(jié)點電壓分析法思想 由于節(jié)點電壓自動滿足KVL，各支路電流又可以用節(jié)點電壓來表示，因此如果以節(jié)點電壓 為未知變量列出除參考節(jié)點以外的其它(n - 1)個節(jié)點的KCL方程，即可求得(n - 1

22、)個節(jié)點 電壓，最后在此基礎上可進一步求取電路其它變量。這就是節(jié)點電壓分析方法的基本思想。 三、節(jié)點電壓法分析步驟 1.選擇參考節(jié)點，指定各節(jié)點的節(jié)點電壓； 2. 用節(jié)點電壓表示各支路電流，并根據(jù)KCL列出各獨立節(jié)點的KCL方程(共n - 1個)； 3. 聯(lián)立求解得到各節(jié)點電壓，并在此基礎上進一步求取其它電路變量。 如在上圖中，n - 1個非參考節(jié)點的KCL方程為： 一 G u + g (u - u ) + g (u - u ) — i - i 1 n 1 4 n 1 n 2 6 n1 n 3 s1 s 6 < -g (u - u ) + g u + g (u - u ) —

23、0 4 n1 n 2 2 n 2 5 n 2 n3 —g (u — u ) — g (u — u ) + g u — i + g u 6 n1 n3 5 n2 n3 3 n3 s6 3 s3 KCL方程可以用觀察法列出。 在以上分析步驟中，其實n - 1個獨立節(jié)點的 對于一個具有n個節(jié)點的電路， 形式： G u + G u 11 n1 12 G u + G u 21 n1 22 +…+ G 21 +…+ G 2 u — i -1 n (n-1) s 11 u —i 2n-1 n(n-1) s22 用觀察法列出其 n -1 個獨立節(jié)點的 KCL 方程具有以下一

24、般 G u + G ( n -1)1 n1 G ii u + …+ g u — i 其中， ( n -1) 2 n 2 ( n -1)( n -1) n ( n -1) s ( n -1)( n -1) 為節(jié)點i的自導，g =連于節(jié)點i上的所有電導之和 ii G是節(jié)點i與節(jié)點j之間的互導： ij Gi.—-(節(jié)點i與節(jié)點j之間的所有公共電導之和) ij i ??是節(jié)點i上的等效電流源，并且流入的電流為“+”，流出的為“-”。 sii 如上圖電路中，用觀察法列出n - 1個非參考節(jié)點的KCL方程為： (G + G + G ) u - g u - g u

25、— i - i 1 4 6 n1 4 n 2 6 n 3 s 1 s 6 <—G u + ( g + G + G ) u - g u — 0 4 n1 2 4 5 n 2 5 n3 、一G u - g u + ( g + G + G ) u — i + g u 6 n1 5 n2 3 5 6 n3 s6 3 s3 『R 2 四、應用節(jié)點電壓法分析時的幾種特殊情況 1丄 si 1. 電路中含有受控電流源： 該情況下建立電路方程時，先把控制量用節(jié) 點電壓表示，并暫時將受控電流源當作獨立 電流源處理即可。如： 2. 電路中具有某些電壓源支路并且沒有電阻直接與電壓源串聯(lián)(無伴電壓源

26、支路): 這種情況的處理方法較多。其中一種常見的處理方法是：將電壓源的電流作為未知變量，并 且在每引入一個這樣的變量的同時增加一個節(jié)點電壓與電壓源電壓之間的約束關系。如： Q G3 u s 例4試證明彌爾曼定理,即對于圖示由電壓源和電阻組成的具有一個獨立節(jié)點的電路，其節(jié) 點電壓為 工G「u u — ksk n1 R u s1 工Gk 三種電路一般分析方法小節(jié)： 在三種一般分析方法中，就電路方程數(shù)目而言，支路電流法需要 b 個電路方程，網孔電流法 需要b — (n - 1)個電路方程，節(jié)點電壓法需要(n - 1)個電路方程，因此手工分析中對這些分 析方法的選用，需要首先比較b、b - (n - 1)、(n - 1)三數(shù)大小，然后再選取與數(shù)值最小的 那種分析方法進行分析。 作業(yè)：