3、B. b0，b>0，若不等式 m3a+b?3a?1b≤0 恒成立，則 m 的最大值為 ??
A. 4 B. 16 C. 9 D. 3
9. 若函數(shù) fx=x+1x?2x>2 在 x=a 處取最小值，則 a 等于 ??
A. 1+2 B. 1+3 C. 3 D. 4
二、選擇題（共3小題）
10. 下列不等式的證明過(guò)程正確的是 ??
A. 若 a<0，b<0，則 ba+ab≥2ba?ab=2
B. 若 x,y∈R*，則 lgx+lgy≥2lgx
4、lgy
C. 若 x 為負(fù)實(shí)數(shù)，則 x+4x≥?2x?4x=?4
D. 若 x 為負(fù)實(shí)數(shù)，則 2x+2?x≥22x?2?x≥2
11. 在下列函數(shù)中，最小值是 2 的函數(shù)有 ??
A. fx=x2+1x2 B. fx=cosx+1cosx01，b>1，且 ab?a+b=1，那么 ??
A. a+b 有最小值 22+1 B. a+b 有最大值 2+12
C. ab 有最大值 3+22 D. ab 有最小值 3+22
三、填空題（共24小題）
13.
5、已知 a>b>0，那么 a2+1ba?b 的最小值為 ?．
14. 如圖所示的兩種廣告牌，其中①是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，②是一個(gè)矩形，從圖形上判斷這兩個(gè)廣告牌的面積的大小關(guān)系，并將這種關(guān)系用含字母 a，ba≠b 的不等式表示出來(lái) ?．
15. 函數(shù) fx=2x2?4x+5x?1x>1 的最小值是 ?．
16. 已知 x>0，y>0，且 2x+8y?xy=0，則 x+y 的最小值為 ?．
17. 已知直線 xa+yb=3a>0,b>0
6、 過(guò)點(diǎn) 2,3，則 3a+2b 的最小值是 ?．
18. 若 4x>y>0，則 y4x?y+xy 的最小值為 ?．
19. 當(dāng) x≠0 時(shí)，x2+2x2 的最小值是 ?．
20. 已知 x>a，當(dāng) x+1x?a 取到最小值時(shí)，x 的值為 ?．
21. 設(shè) a>0，則 a+a+4a 的最小值為 ?．
22. 設(shè) a>3，則 4a?3+a?316 的最小值為 ?．
23.
7、設(shè) a>b>0，則 a，b，ab，a+b2，21a+1b，a2+b22 按從小到大順序排列是 ?．
24. 一批救災(zāi)物資隨 17 列火車(chē)以 v?km/h 的速度勻速直達(dá) 400?km 以外的災(zāi)區(qū)，為了安全起見(jiàn)，兩列火車(chē)的間距不得小于 v202km，則這批物資全部運(yùn)送到災(zāi)區(qū)最少需 ? h．
25. 已知實(shí)數(shù) a，b 滿足 ab>0，則 aa+b?aa+2b 的最大值為 ?．
26. 若 x>0，y>0，則當(dāng) ?時(shí)，x2+y2+2xy 取到最小值
8、 ?．
27. 已知 a>0，b>0，且 1a+2+1b+2=13，則 a+2b 的最小值為 ?．
28. 若 a>0，b>0，a+b=2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的 a，b 恒成立的是 ?（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
① ab≤1；② a+b≤2；③ a2+b2≥2；④ 1a+1b≥2．
29. 設(shè) a，b，c 為正實(shí)數(shù)，則 ab+c+bc+a+ca+b 的最小值為 ?．
30. 設(shè) a，b 都為正數(shù)，且 a+b=4，則 1a+1b 的最小值為
9、 ?．
31. 已知 a>0，b>0，則 a2+b2+3a+2b 的最小值為 ?．
32. 已知 5x+12xy≤ax+y 對(duì)所有正實(shí)數(shù) x，y 都成立，則實(shí)數(shù) a 的最小值是 ?．
33. 若 x,y∈R，x+y=1，則 2x+2y 的最小值為 ?．
34. 設(shè)常數(shù) a>0，若 9x+a2x≥a+1 對(duì)一切正實(shí)數(shù) x 成立，則 a 的取值范圍是 ?．
35. 設(shè) a>0，b>0，且 a+b=1a+1b，則 a
10、+b 的最小值是 ?．
36. 若 a，b，c 均為正數(shù)，且滿足 a+b+c=3，則 b2a+c2b+a2c 的最小值為 ?．
四、解答題（共5小題）
37. 已知 a，b 為正數(shù)，求證：
（1）若 a+1>b，則對(duì)于任何大于 1 的正數(shù) x，恒有 ax+xx?1>b 成立；
（2）若對(duì)于任何大于 1 的正數(shù) x，恒有 ax+xx?1>b 成立，則 a+1>b．
38. 運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí) x 千米的速度勻速行駛 1300 千米，按交通法規(guī)限制 40≤x≤100（單位：千米/小時(shí)）．假設(shè)柴油的價(jià)格是每
11、升 7 元，而汽車(chē)每小時(shí)耗油 2+x2360 升，司機(jī)的工資是每小時(shí) 30 元．
（1）求這次行車(chē)總費(fèi)用 y 關(guān)于 x 的表達(dá)式（總費(fèi)用為油費(fèi)與司機(jī)工資的綜合）；
（2）當(dāng) x 為何值時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．
39. 某單位計(jì)劃建造一間背面靠墻的小屋，其地面面積為 12?m2，墻面的高度為 3?m，經(jīng)測(cè)算，屋頂?shù)脑靸r(jià)為 5800 元，房屋正面每平方米的造價(jià)為 1200 元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為 800 元，設(shè)房屋正面地面長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為 x?m，房屋背面和地面的費(fèi)用不計(jì)．
（1）用含的表達(dá)式表示出房屋的總造價(jià)；
（2）當(dāng) x 為多少時(shí)，總造價(jià)最低?最低
12、造價(jià)是多少?
40. 某居民小區(qū)欲在一塊空地上建一面積為 1200m2 的矩形停車(chē)場(chǎng)，停車(chē)場(chǎng)的四周留有人行通道．設(shè)計(jì)要求停車(chē)場(chǎng)外側(cè)南北的人行通道寬 3m，東西的人行通道寬 4m，如圖所示（圖中單位：m）．問(wèn)如何設(shè)計(jì)停車(chē)場(chǎng)的邊長(zhǎng)，才能使人行通道占地面積最小?最小面積是多少?
41. 某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi) S 與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為 k，輪船的最大速度為 15 海里/小時(shí)．當(dāng)船速為 10 海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí) 96 元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計(jì)是每小時(shí) 150 元．假定運(yùn)行過(guò)程中輪船以速度 v 勻速航行．
（1）求
13、 k 的值；
（2）求該輪船航行 100 海里的總費(fèi)用 W（燃料費(fèi) + 航行運(yùn)作費(fèi)用）的最小值．
答案
1. A
2. B
3. B
4. D
5. B
6. C 【解析】由 a?1b2=a2+1b2?2ab=ba 得，a2+1b2=2ab+ba，
a+1b2=a2+1b2+2ab=2ab+ba+2ab=4ab+ba≥4，
等號(hào)成立時(shí) 4ab=ba，即 b=2a，
此時(shí) a2+1b2=2ab+ba=3．
7. A
8. B
9. C
【解析】當(dāng) x>2 時(shí)，x?2>0，fx=x?2+1x?2+2≥2x?2×1x?2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)
14、 x?2=1x?2x>2，即 x=3 時(shí)取等號(hào)，
即當(dāng) fx 取得最小值時(shí)，x=3，即 a=3．
10. A， D
【解析】由 a<0，b<0 可得 ba>0，ab>0，則由基本不等式可得，ba+ab≥2ba?ab=2，故A正確；
x,y∈R 時(shí)，lgx，lgy 有可能為 0 或負(fù)數(shù)，不符合基本不等式的條件，B錯(cuò)誤；
若 x<0，則 x+4x<0，C錯(cuò)誤；
x<0 時(shí)，2x>0，由基本不等式可得，2x+2?x≥2，故D正確．
11. A， D
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?x2>0，所以由基本不等式可得 x2+1x2≥2，
當(dāng)且僅當(dāng) x2=1x2，即 x=1?或?
15、?1 時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?00，所以由基本不等式可得 fx=3x+43x?2≥24?2=2，
當(dāng)且僅當(dāng) 3x=4
16、3x，即 x=log32 時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確．
12. A， D
【解析】因?yàn)?a>1，b>1，所以 a+b≥2ab，當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)，
所以 1=ab?a+b≤ab?2ab，解得 ab≥2+1，
所以 ab≥2+12=3+22，所以 ab 有最小值 3+22；
因?yàn)?ab≤a+b22，當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)，
所以 1=ab?a+b≤a+b22?a+b，所以 a+b2?4a+b≥4，
所以 a+b?22≥8，解得 a+b?2≥22，即 a+b≥22+1，
所以 a+b 有最小值 22+1．
13. 4
【解析】因?yàn)?a>b>0，ba?b≤b+a?b2
17、2=a24，
所以 a2+1ba?b≥a2+4a2≥4，
當(dāng)且僅當(dāng) b=a?b,a2=2, 即 a=2,b=22 時(shí)取等號(hào)．
那么 a2+1ba?b 的最小值是 4．
14. 12a2+b2>ab
【解析】設(shè)題圖①中圖形的面積為 S1，題圖②中圖形的面積為 S2．由題圖，知 S1>S2．又因?yàn)?S1=12a2+12b2，S2=ab，所以 12a2+b2>ab．
15. 26
【解析】因?yàn)?x>1，
所以 x?1>0，
所以
fx=2x2?4x+5x?1=2x?12+3x?1=2x?1+3x?1≥22x?13x?1=26.
當(dāng)且僅當(dāng) 2x?1=3x?1 時(shí)取等號(hào)，即
18、 x=1+62 時(shí)，函數(shù) fx=2x2?4x+5x?1 的最小值是 26．
16. 18
17. 8
18. 54
19. 22
【解析】由于 x≠0，
所以 x2+2x2≥2x2?2x2=22（當(dāng)且僅當(dāng) x4=2 時(shí)，等號(hào)成立．）
故最小值為 22．
20. a+1
21. 5
22. 1
23. b<21a+1b
19、 x=y=1，4
【解析】x2+y2+2xy≥2xy+2xy≥4，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) x=y 且 xy=1 即 x=y=1 時(shí)成立．
27. 3+62
【解析】因?yàn)?a>0，b>0，且 1a+2+1b+2=13，
所以
a+2b=a+2+2b+2?6=3a+2+2b+21a+2+1b+2?6=9+6b+2a+2+3a+2b+2?6≥9+26b+2a+2?3a+2b+2?6=3+62,
當(dāng)且僅當(dāng) 6b+2a+2=3a+2b+2 且 1a+2+1b+2=13，
即 b=1+322，a=1+32 時(shí)取等號(hào)，
故 a+2b 的最小值為 3+62．
28. ①③④
【解析】①
20、 ab≤a+b22=1 成立．
②欲證 a+b≤2，即證 a+b+2ab≤2，
即 2ab≤0，顯然不成立．
③欲證 a2+b2=a+b2?2ab≥2，即證 4?2ab≥2，即 ab≤1，由①知成立．
④欲證 1a+1b≥2，即證 a+bab≥2，即 ab≤1，由①知成立．
29. 32
【解析】設(shè) a+b=u，b+c=v，c+a=t，
則 u>0，v>0，t>0，
則 a+b+c=12u+v+t，
a=12u?v+t，b=12u+v?t，c=12?u+v+t，
ab+c+bc+a+ca+b=u+t?v2v+u+v?t2t+v+t?u2u=12uv+tv+ut+vt+
21、vu+tu?3=12uv+vu+tv+vt+ut+tu?3≥122+2+2?3=32,
當(dāng)且僅當(dāng) u=v=t，即 a=b=c 時(shí)取得等號(hào)，
則 ab+c+bc+a+ca+b≥32，
所以 ab+c+bc+a+ca+b 的最小值為：32．
故答案為：32．
30. 1
【解析】a，b 都為正數(shù)，且 a+b=4，則
1a+1b=141a+1ba+b=142+ba+ab≥142+2ab?ba=1,
當(dāng)且僅當(dāng) ba=ab 且 a+b=4，即 a=b=2 時(shí)取等號(hào)．
31. 2
32. 9
33. 22
34. 15,+∞
35. 2
36. 3
【解析
22、】由 a>0，b>0，c>0，且 a+b+c=3，b2a+a≥2b2a?a=2b，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)成立，
c2b+b≥2c，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) c=b 時(shí)成立，a2c+c≥2a，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) a=c 時(shí)成立．
相加可得，b2a+c2b+b2c+a+b+c≥2a+2b+2c，
則 b2a+c2b+a2c≥a+b+c=3，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c 時(shí)成立．
37. （1） 因?yàn)?x>1，
所以 x?1>0，
所以
ax+xx?1=ax?1+1x?1+1+a≥2a+1+a=a+12.
因?yàn)?a+1>bb>0，
所以 a+12>b，即 ax+xx?b>b 成立．
?
23、?????（2） 因?yàn)?ax+xx?1>b 對(duì)于大于 1 的實(shí)數(shù) x 恒成立，
即 x>1 時(shí)，ax+xx?1min>b，
而 ax+xx?1=ax?1+1x?1+1+a≥2a+1+a=a+12，
當(dāng)且僅當(dāng) ax?1=1x?1，即 x=1+1a>1 時(shí)取等號(hào)．
故 ax+xx?1min=a+12．
則 a+12>b，即 a+1>b．
38. （1） 汽車(chē)行駛的時(shí)間為：1300x 小時(shí)，耗油為 1300x2+x2360，
油費(fèi)為 1300x2+x2360×7，司機(jī)的工資為：1300x×30，
所以 y=1300x2+x2360×7+1300x×30=57200x+455x18，x
24、∈40,100．
??????（2） y=57200x+455x18≥257200x×455x18=257200×45518=203130130．
當(dāng)且僅當(dāng) 57200x=455x18，x=12143091∈40,100，
所以 x=12143091 時(shí)，行車(chē)的總費(fèi)用最低，最低為 203130130 元．
39. （1） 設(shè)底面的長(zhǎng)為 x?m，寬 y?m，則 y=12x?m．
設(shè)房屋總造價(jià)為 fx，
由題意可得
fx=3x?1200+3×12x×800×2+5800=3600x+16x+5800x>0;
??????（2） fx=3600x+16x+5800≥28800+58
25、00=34600，
當(dāng)且僅當(dāng) x=4 時(shí)取等號(hào)．
答：當(dāng)?shù)酌娴拈L(zhǎng)寬分別為 4?m，3?m 時(shí)，可使房屋總造價(jià)最低，總造價(jià)是 34600 元．
40. 設(shè)矩形停車(chē)場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為 xm，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為 1200xm，
人行通道占地面積為 S=x+61200x+8?1200=8x+7200x+48m2，
由均值不等式，得 S=8x+7200x+48≥28x?7200x+48=2×240+48=528，
當(dāng)且僅當(dāng) 8x=7200x，即 x=30m 時(shí)，Smin=528m2，此時(shí) 1200x=40m．
所以，設(shè)計(jì)矩形停車(chē)場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為 30m，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為 40m，人行通道占地面積最小．
41. （1） k=0.96．
??????（2） 航行 100 海里的總費(fèi)用的最小值為 2400 元．
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2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第05講 基本不等式及應(yīng)用（含解析）
