高中數(shù)學(xué) 2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第53講 雙曲線（含答案）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第53講 雙曲線 一、選擇題（共11小題） 1. 已知雙曲線 x24?y2m=1m>0 的漸近線方程為 3x±y=0，則雙曲線的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 233 D. 32 2. 已知拋物線 C:y2=2pxp>0 的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 且斜率為 2 的直線為 l，M?4,0，若拋物線 C 上存在一點(diǎn) N，使 M，N 關(guān)于直線 l 對稱，則拋物線 C 的方程為 ?? A. y2=2x B. y2=4x C. y2=6x D. y2=8x 3. 設(shè)雙曲線 x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的虛軸長為 2，焦距為

2、 23，則雙曲線的漸近線方程為 ?? A. y=±2x B. y=±2x C. y=±22x D. y=±12x 4. 設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，兩條漸近線為 y=±13x 則該雙曲線的離心率為 e= (??) A. 10 B. 10 C. 102 D. 103 5. 直線 y=2x 為雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線，則雙曲線 C 的離心率 ?? A. 5 B. 52 C. 3 D. 32 6. 已知雙曲線 C：x2a2?y2b2=1（a>0,b>0），F(xiàn)1 為其左焦點(diǎn)，直線 l：x5+y4=1，若過 F1 和 0,

3、?b 的直線與 l 平行，則雙曲線的離心率為 ?? A. 54 B. 53 C. 43 D. 5 7. 設(shè) F1，F(xiàn)2 是雙曲線 x2?y224=1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P 是雙曲線上的一點(diǎn)，且 3∣PF1∣=4∣PF2∣ ，則 △PF1F2 的面積等于 ?? A. 42 B. 83 C. 24 D. 48 8. 雙曲線 C:x2?y2b2=1 的漸近線與直線 x=1 交于 A，B 兩點(diǎn)，且 AB=4，那么雙曲線 C 的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 9. 已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線 C:x2a2?y2=1a>0 上有一點(diǎn) P，過點(diǎn)

4、P 作雙曲線 C 的兩條漸近線的平行線，與兩漸近線的交點(diǎn)分別為 A，B，若平行四邊形 OAPB 的面積為 1，則雙曲線 C 的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 52 10. 已知 F1，F(xiàn)2 是雙曲線 x2a2?y2b2=1a＞0,b＞0 的左、右焦點(diǎn)，M 為雙曲線左支上一點(diǎn)，且滿足 ∣MF1∣=2∣F1F2∣，若 cos∠MF1F2=?516，則該雙曲線的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 92 11. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的離心率為 32，過右焦點(diǎn) F 作漸近線的垂線，垂足為 M，若 △FOM 的面

5、積為 5，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的方程為 ?? A. x2?4y25=1 B. x22?2y25=1 C. x24?y25=1 D. x216?y220=1 二、多選題（共1小題） 12. 已知雙曲線 C 過點(diǎn) 3,2 且漸近線為 y=±33x，則下列結(jié)論正確的是 ?? A. C 的方程為 x23?y2=1 B. C 的離心率為 3 C. 曲線 y=ex?2?1 經(jīng)過 C 的一個(gè)焦點(diǎn) D. 直線 x?2y?1=0 與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn) 三、填空題（共11小題） 13. 設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是雙曲 x2a2?y2b2=1a>0,b>0

6、的左、右焦點(diǎn)，P 為雙曲線上一點(diǎn)．若 ∣PF1∣=2∣PF2∣，則雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 ?． 14. 在 △ABC 中，AB=4，BC=62，∠CBA=π4，若雙曲線 Γ 以 AB 為實(shí)軸，且過點(diǎn) C，則 Γ 的焦距為 ?． 15. 過點(diǎn) M?6,3 且和雙曲線 x2?2y2=2 有相同的漸近線的雙曲線方程為 ?． 16. 已知雙曲線 C：x2a2?y2b2=1 的焦距為 10，點(diǎn) P2,1 在 C 的漸近線上，則雙曲線 C 的方程為 ?．

7、 17. 雙曲線 x2a2?y29=1a>0 的一條漸近線方程為 y=35x，則 a= ?． 18. 雙曲線 x2?y2b2=1b>0 的一條漸近線方程為 y=3x，則 b= ?． 19. 已知雙曲線 C 的焦點(diǎn)為 F10,2，F(xiàn)20,?2，實(shí)軸長為 2，則雙曲線 C 的離心率是 ?；若點(diǎn) Q 是雙曲線 C 的漸近線上一點(diǎn)，且 F1Q⊥F2Q，則 △QF1F2 的面積為 ?． 20. 已知雙曲線過點(diǎn) 4,3，且漸近線方程為 y=±12x，則該

8、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ?． 21. 設(shè)雙曲線 x29?y216=1 的右頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F．過點(diǎn) F 平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn) B，則 △AFB 的面積為 ?． 22. 雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的漸近線為正方形 OABC 的邊 OA，OC 所在的直線，點(diǎn) B 為該雙曲線的焦點(diǎn)．若正方形 OABC 的邊長為 2，則 a= ?． 23. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為 A，以 A 為圓心，b 為半徑作圓

9、 A，圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于 M，N 兩點(diǎn)．若 ∠MAN=60°，則 C 的離心率為 ?． 四、解答題（共3小題） 24. 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． （1）焦點(diǎn)在 x 軸上，虛軸長為 12，離心率為 54； （2）頂點(diǎn)間的距離為 6，漸近線方程為 y=±32x． 25. 設(shè)雙曲線 C:x2a2?y2=1a>0 與直線 l:x+y=1 相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A，B，求雙曲線的離心率 e 的取值范圍． 26. 已知等軸雙曲線 C：x2?y2=a2a>0 的右焦點(diǎn)為 F，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過 F 作一條漸近線的

10、垂線 FP 且垂足為 P，OP=2． （1）假設(shè)過點(diǎn) F 且方向向量為 d=1,2 的直線 l 交雙曲線 C 于 A，B 兩點(diǎn)，求 OA?OB 的值； （2）假設(shè)過點(diǎn) F 的動直線 l 與雙曲線 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，試問：在 x 軸上是否存在定點(diǎn) P，使得 PM?PN 為常數(shù)?若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由． 答案 1. A 【解析】±ba=±3， b=m=23， e=42=2． 2. B 【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn) F 的坐標(biāo) p2,0， 由題意直線 l 的方程為：y=2x?p2，即 2x?y?p=0， 由題意設(shè) Ny022p,

11、y0， 由題意可得 2?y022p?42?y0+02?p=0,y02=?12,y022p+4, 整理可得 y0=?16?2p5,???① 再由 ∣MF∣=∣FN∣（中垂線的性質(zhì)），∣MF∣=p2+4，∣NF∣=y022p+p2， 所以 y022p=4，所以 y02=8p,???② 由①②可得 ?16?2p52=8p， 解得：p=32（舍）或 p=2， 所以拋物線的方程為：y2=4x． 3. C 【解析】因?yàn)殡p曲線 x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的虛軸長為 2，焦距為 23， 所以 b=1，c=3， 所以 a=c2?b2=2， 所以雙曲線的漸近線方程為 y=

12、±bax=±12x=±22x． 4. D 5. A 【解析】因?yàn)殡p曲線 C:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線為 y=±bax， 所以 ba=2， 所以離心率 e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=5． 6. B 【解析】由雙曲線 C：x2a2?y2b2=1（a>0,b>0）得其左焦點(diǎn) F1?c,0， 直線 l：x5+y4=1 的斜率為 ?45， 過 F1 和 0,?b 的直線斜率為 ?bc， 又過 F1 和 0,?b 的直線與 l 平行， 所以 ?bc=?45，可得 cb=54， 在雙曲線中，b2=c2?a2， 可得 c2c2?a2=2516，

13、 可得 c2a2=259， 所以雙曲線的離心率 e=ca=53． 7. C 【解析】F1?5,0，F(xiàn)25,0，∣F1F2∣=10 ， 因?yàn)?3∣PF1∣=4∣PF2∣ ，所以設(shè) ∣PF2∣=x ，則 ∣PF1∣=43x ， 由雙曲線的性質(zhì)知 43x?x=2，解得 x=6， 所以 ∣PF1∣=8，∣PF2∣6 ，所以 ∠F1PF2=90° ， 所以 △PF1F2的面積=12×8×6=24 . 8. D 9. D 【解析】漸近線方程是 x±ay=0，設(shè) Pm,n，過點(diǎn) P 且平行于 x+ay=0 的直線為 l，則 l 的方程為 x+ay?m?an=0，設(shè) l 與漸近線

14、x?ay=0 的交點(diǎn)為 A，則 Am+an2,m+an2a，∣OA∣=m+an21+1a2，P 點(diǎn)到 OA 的距離是 d=∣m?an∣1+a2．因?yàn)?∣OA∣?d=1，所以 m+an2?1+1a2?∣m?an∣1+a2=1，因?yàn)?m2a2?n2=1，所以 a=2，所以 c=5，所以 e=52． 10. C 【解析】設(shè)雙曲線的焦距為 2c，則 ∣MF1∣=7∣F1F2∣=4c， 由雙曲線的定義知，∣MF2∣﹣∣MF1∣=2a， 所以 ∣MF2∣=4c+2a， 在 △MF1F2 中，由余弦定理知 cos∠MF1F2=∣MF1∣2+∣F1F2∣2?∣MF2∣22∣MF1∣?∣F1F2∣，

15、 即 ?516=4c2+2c2?4c+2a22×4c×2c， 化簡得，4a2+16ac?9c2=0， 解得 c=2a 或 c=?29a（舍）， 所以雙曲線的離心率 e=ca=2． 11. C 12. A， C 【解析】設(shè)雙曲線 C 的方程為 x2a2?y2b2=1，根據(jù)條件可知 ba=33， 所以方程可化為 x23b2?y2b2=1，將點(diǎn) 3,2 代入得 b2=1， 所以 a2=3，所以雙曲線 C 的方程為 x23?y2=1，故A對； 離心率 e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B錯； 雙曲線 C 的焦點(diǎn)為 2,0，?2,0，將 x=2 代入得 y=

16、e0?1=0，所以C對； 聯(lián)立 x23?y2=1,x?2y?1=0, 整理得 y2?22y+2=0， 則 Δ=8?8=0，故只有一個(gè)公共點(diǎn)，故D錯． 13. 1,3 【解析】因?yàn)?∣PF1∣=2∣PF2∣， 所以點(diǎn) P 在雙曲線的右支上．又由雙曲線的定義得 ∣PF1∣?∣PF2∣=2a， 所以 ∣PF1∣=4a，∣PF2∣=2a． 因?yàn)?∣PF1∣+∣PF2∣≥2c， 所以 6a≥2c，即 ca≤3．又 e>1， 所以 10,b>0， 根據(jù)題意 2a=4，a=2． 在

17、△ABC 中，AB=4，BC=62，∠CBA=π4， 所以 C?4,6，雙曲線過點(diǎn) C，則 164?36b2=1， 所以 b2=12， 所以 c2=a2+b2=16， 所以 c=4，則 Γ 的焦距為 8． 15. x218?y29=1 【解析】設(shè)雙曲線方程為 x2?2y2=λ，雙曲線過點(diǎn) M?6,3， 則 λ=x2?2y2=36?2×9=18， 故雙曲線方程為 x2?2y2=18，即 x218?y29=1． 16. x220?y25=1 【解析】因?yàn)殡p曲線 C 的焦距為 10，點(diǎn) P2,1 在 C 的漸近線上， 所以 a2+b2=25,2ba=1, 解得 b=5，

18、a=25， 所以雙曲線 C 的方程為 x220?y25=1． 17. 5 【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程為 y=±3ax，解得 a=5． 18. 3 19. 2，23 20. x24?y2=1 【解析】法一：雙曲線的漸近線方程為 y=±12x， 所以可設(shè)雙曲線的方程為 x2?4y2=λλ≠0， 因?yàn)殡p曲線過點(diǎn) 4,3， 所以 λ=16?4×32=4， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24?y2=1． 法二： 因?yàn)闈u近線 y=12x 過點(diǎn) 4,2，而 3<2， 所以點(diǎn) 4,3 在漸近線 y=12x 的下方，在 y=?12x 的上方（如圖）． 所以雙曲

19、線的焦點(diǎn)在 x 軸上， 故可設(shè)雙曲線方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0， 由已知條件可得 ba=12,16a2?3b2=1, 解得 a2=4,b2=1, 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24?y2=1． 21. 3215 【解析】a2=9，b2=16，故 c=5， 所以 A3,0，F(xiàn)5,0， 不妨設(shè) BF 的方程為 y=43x?5， 代入雙曲線方程解得：B175,?3215． 所以 S△AFB=12∣AF∣?∣yB∣=12×2×3215=3215． 22. 2 【解析】不妨令 B 為雙曲線的右焦點(diǎn)，A 在第一象限，則雙曲線如圖所示． 因?yàn)樗倪呅?OAB

20、C 為正方形，∣OA∣=2， 所以 c=∣OB∣=22，∠AOB=π4． 因?yàn)橹本€ OA 是漸近線，方程為 y=bax， 所以 ba=tan∠AOB=1，即 a=b． 又因?yàn)?a2+b2=c2=8， 所以 a=2． 23. 233 【解析】如圖所示， AP⊥MN，MN 為雙曲線的漸近線 y=bax 上的點(diǎn)，Aa,0，AM=AN=b， 因?yàn)?AP⊥MN， 所以 ∠PAN=30°， Aa,0 到直線 y=bax 的距離 AP=∣b∣1+b2a2， 在 Rt△PAN 中，cosPAN=PANA， 代入計(jì)算得 a2=3b2，即 a=3b， 由 c2=a2+b2 得

21、 c=2b， 所以 e=ca=2b3b=233． 24. （1） 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0． 由題意，得 2b=12,ca=54,a2+b2=c2, 解得 a=8,b=6,負(fù)值已舍去,c=10. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x264?y236=1． ??????（2） 方法一：當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0． 由題意，得 2a=6,ba=32, 解得 a=3,b=92. 所以焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x29?y2814=1． 同理可求得焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

22、程為 y29?x24=1． 方法二：設(shè)以 y=±32x 為漸近線的雙曲線的方程為 x24?y29=λλ≠0． 當(dāng) λ>0 時(shí)，24λ=6，解得 λ=94． 此時(shí)，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x29?y2814=1． 當(dāng) λ<0 時(shí)，2?9λ=6，解得 λ=?1． 此時(shí)，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y29?x24=1． 25. 由 x+y=1 得 y=1?x， 代入雙曲線的方程 x2?a2y2=a2 并整理得 1?a2x2+2a2x?2a2=0． 因?yàn)?l 與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以 1?a2≠0,4a4+8a21?a2>0, 解得 a2<2 且 a2≠1． 所以 e=c

23、a=a2+1a=1+1a2>62 且 e≠2． 故雙曲線的離心率 e 的取值范圍為 e>2 或 620， 因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，則漸近線為 y=±x， 由對稱性可知，右焦點(diǎn) F 到兩條漸近線距離相等，且 ∠POF=π4． 所以 △OPF 為等腰直角三角形，則由 OP=2?OF=c=2， 又因?yàn)榈容S雙曲線中，c2=2a2?a2=2， 所以等軸雙曲線 C 的方程為：x2?y2=2． 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2 為雙曲線 C 與直線 l 的兩個(gè)交點(diǎn)， 因?yàn)?F2,0，直線 l 的方向向量為 d=1,2， 所以直線 l

24、的方程為 x?21=y2，即 y=2x?2， 代入雙曲線 C 的方程，可得 x2?4x?22=2?3x2?16x+18=0， 所以 x1+x2=163，x1x2=6，而 OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+x1?2x2?2=5x1x2?8x1+x2+16=103. ??????（2） 假設(shè)存在定點(diǎn) P，使得 PM?PN 為常數(shù)， 其中 Mx1,y1，Nx2,y2 為雙曲線 C 與直線 l 的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)． ①當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 y=kx?2， 代入雙曲線 C 的方程，可得 1?k2x2+4k2x?4k2+2=0， 由題意可知，k=±1

25、，則有 x1+x2=4k2k2?1，x1x2=4k2+2k2?1， 所以 PM?PN=x1?mx2?m+k2x1?2x2?2=4k2+1x1x2?2k2+mx1+x2+4k2+m2=k2+14k2+2k2?1?4k22k2+mk2?1+4k2+m2=21?2mk2+2k2?1+m2=41?mk2?1+m2+21?2m, 要使 PM?PN 是與 k 無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) m=1，此時(shí)，PM?PN=?1； ②當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí)，可得點(diǎn) M2,2，N2,?2， 若 m=1，PM?PN=?1 亦為常數(shù)． 綜上可知，在 x 軸上是否存在定點(diǎn) P1,0，使得 PM?PN=?1 為常數(shù)． 第10頁（共10 頁）